本文是我在阅读 Erik Learned-Miller 的《Vector, Matrix, and Tensor Derivatives》时的记录。 本文的主要内容是帮助你学习如何进行向量、矩阵以及高阶张量（三维及以上的数组）的求导。并一步步引导你来进行向量、矩阵和张量的求导。
1 简化、简化，还是简化（重要的事情说三遍）
在求解涉及到数组的导数时，大部分的困难是因为试图一次性做太多事情。比如说同时求解多个组成部分的导数，在求和符号存在的情况下求解导数，或者使用链式法则。在有丰富的求导经验之前，同时执行所有的这些操作，我们就很容易出错。
1.1 将矩阵计算分解为单个标量的计算
为了简化给定的计算，我们将矩阵的求导分解为每个单独标量元素的表达式，每个表达式只包含标量变量。在写出单个标量元素与其他标量值的表达式后，就可以使用微积分来计算。这比同时进行矩阵的求和以及求导要容易一些。（看起来有点晕，没关系，看后面的案例就清晰了）。
例如：假设我们有一个 阶列向量 ，它是由 维矩阵 和 阶列向量 计算得到：
\overrightarrow{y} = W\overrightarrow{x}
假设我们计算 关于 的导数。要完完全全的求解导数，就需要计算 中的每一个元素对 中的每一个元素的（偏）导数。那么在本例中，因为 中有 个元素， 中有 个元素，所以一个包含 次运算。
比如说，我们要计算 的第 3 个元素对 的第 7 个元素的（偏）导数，这就是向量中的一个标量对其他向量中的一个标量求导：
\frac{\partial \overrightarrow{y_3}}{\partial \overrightarrow{x_7}}\\
在求导之前，首先要做的就是写下计算 的公式， 根据矩阵-向量乘法的定义， 等于矩阵 中的第 3 行和向量 的点积。
\overrightarrow{y_3} = \sum_{j=1}^{D}W_{3,j}\cdot \overrightarrow{x_j}
现在，我们将原始的矩阵方程式（1）简化成了标量方程式。此时再进行求导就简单多了。
1.2 去除求和符号
虽然可以直接在上述公式中求导，但是在包含求和符号（ ）或者连乘符号（ ）的方程式中求导很容易出错。在求导之前，最好先去掉求和符号，把各项相加的表达式写出来，确保每一项不出错。去掉求和符号的表达式如下所示（下标从 1 开始）：
\overrightarrow{y_3}=W_{3,1}\overrightarrow{x_1}+W_{3,2}\overrightarrow{x_2}+...+W_{3,7}\overrightarrow{x_7}+...+W_{3,D}\overrightarrow{x_D}
在这个表达式中，我们专门把 凸显出来，这是因为这一项正是我们要求导的项。显然，可以看出在求 对 的偏导数时，我们只需要关心 这一项即可。因为其他项都不包含 ，它们对 的偏导数均为 0。接下来就很清晰了：
\begin{equation} \begin{aligned} \overrightarrow{y_3}&=W_{3,1}\overrightarrow{x_1}+W_{3,2}\overrightarrow{x_2}+...+W_{3,7}\overrightarrow{x_7}+...+W_{3,D}\overrightarrow{x_D}\\ &=0 +0+...+\frac{\partial}{\partial \overrightarrow{x_7}}\left [W_{3,7}\overrightarrow{x_7} \right ]+...+0\\ &=\frac{\partial}{\partial \overrightarrow{x_7}}\left [W_{3,7}\overrightarrow{x_7} \right ]\\ &=W_{3,7} \end{aligned} \end{equation}
在求导过程中，只关注 中的一个量和 中的一个量，能够把求导过程简化很多。如果以后进行求导时遇到问题，采取这种方式可以帮助我们把问题简化至最基础的程度，这样便于理清思绪、找出问题所在。
1.2.1 完成求导：雅可比矩阵
我们的最终目标是计算出 中的每个元素对 中每个元素的导数，共计 个。
下面的这个雅克比矩阵直观的表示了这些导数：
\begin{bmatrix} \frac{\partial \overrightarrow{y*1}}{\partial \overrightarrow{x_1}}& \frac{\partial \overrightarrow{y_1}}{\partial \overrightarrow{x_2}}& \frac{\partial \overrightarrow{y_1}}{\partial \overrightarrow{x_3}}&\cdots & \frac{\partial \overrightarrow{y_1}}{\partial \overrightarrow{x_D}}\\ \frac{\partial \overrightarrow{y_2}}{\partial \overrightarrow{x_1}}& \frac{\partial \overrightarrow{y_2}}{\partial \overrightarrow{x_2}}& \frac{\partial \overrightarrow{y_2}}{\partial \overrightarrow{x_3}}&\cdots & \frac{\partial \overrightarrow{y_2}}{\partial \overrightarrow{x_D}}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial \overrightarrow{y_C}}{\partial \overrightarrow{x_1}}& \frac{\partial \overrightarrow{y_C}}{\partial \overrightarrow{x_2}}& \frac{\partial \overrightarrow{y_C}}{\partial \overrightarrow{x_3}}&\cdots & \frac{\partial \overrightarrow{y_C}}{\partial \overrightarrow{x_D}}\\ \end{bmatrix}\\
对于公式 来说， 对 的偏导数可以用 来表示。实际上对于所有的 和 来说，都有
\frac{\partial \overrightarrow{y_i}}{\partial \overrightarrow{x_j}}=W_{i.j}\\
即上述的偏导数矩阵等于：
\begin{bmatrix} \frac{\partial \overrightarrow{y_1}}{\partial \overrightarrow{x_1}}& \frac{\partial \overrightarrow{y_1}}{\partial \overrightarrow{x_2}}& \frac{\partial \overrightarrow{y_1}}{\partial \overrightarrow{x_3}}&\cdots & \frac{\partial \overrightarrow{y_1}}{\partial \overrightarrow{x_D}}\\ \frac{\partial \overrightarrow{y_2}}{\partial \overrightarrow{x_1}}& \frac{\partial \overrightarrow{y_2}}{\partial \overrightarrow{x_2}}& \frac{\partial \overrightarrow{y_2}}{\partial \overrightarrow{x_3}}&\cdots & \frac{\partial \overrightarrow{y_2}}{\partial \overrightarrow{x_D}}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial \overrightarrow{y_C}}{\partial \overrightarrow{x_1}}& \frac{\partial \overrightarrow{y_C}}{\partial \overrightarrow{x_2}}& \frac{\partial \overrightarrow{y_C}}{\partial \overrightarrow{x_3}}&\cdots & \frac{\partial \overrightarrow{y_C}}{\partial \overrightarrow{x_D}}\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} W_{1,1}& W_{1,2}& W_{1,3}&\cdots & W_{1,D}\\ W_{2,1}& W_{2,2}& W_{2,3}&\cdots & W_{2,D}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ W_{C,1}& W_{C,2}& W_{C,3}&\cdots & W_{C,D}\\ \end{bmatrix}
显然，就是 本身嘛。
因此，我们最终可以得出，对于 ， 对于 的偏导数为：
\frac{\partial \overrightarrow{y}}{\partial \overrightarrow{x}}=W\\
2 行向量的情况
现在关于神经网络的第三方包特别多，在使用这些包的时候，要特别关注权值矩阵、数据矩阵等的排列。例如：数据矩阵 中包含非常多的向量，每个向量代表一个输入，那到底是矩阵中的每一行代表一个输入，还是每一列代表一个输入呢？
在第一节中，我们介绍的示例中使用的向量 是列向量。不过当 是行向量时，求导的基本思想是一致的。
2.1 示例 2
在本例中， 是一个 阶行向量，它是由 阶行向量 和 维矩阵 和计算得到：
\overrightarrow{y} =\overrightarrow{x}W\\
虽然 和 的元素数量和之前的列向量是一样的，但矩阵 相当于第一节使用的矩阵 的转置。并且本例中是矩阵 左乘 ，而不是之前的右乘。
在本例中，我们同样可以写出 的表达式：
\overrightarrow{y_3} = \overrightarrow{x_j}\sum_{j=1}^{D}W_{j,3} \\
同样地，
\frac{\partial \overrightarrow{y_3}}{\partial \overrightarrow{x_7}}=W_{7,3}\\
注意本例中的 的下标和第一节中的相反。如果我们写出完整的雅克比矩阵的话， 我们仍然可以得出完整的求导结果：
\frac{\partial \overrightarrow{y}}{\partial \overrightarrow{x}}=W\\
3 维度大于 2 的情况 让我们考虑另一个密切相关的情形，如下式：
\frac{\partial\overrightarrow{y}}{\partial W}
在这种情形中， 沿着一个坐标变化，而 沿着两个坐标变化。因此，整个导数自然是一个三维数组。一般避免使用“三维矩阵”这种术语，因为矩阵乘法和其他矩阵操作在三维数组中的定义尚不明确。
在处理三维数组时，试图去找到一种展示它们的方法可能带来不必要的麻烦。直接将结果定义为公式会更简单一些，这些公式可用于计算三维中的任何元素。
我们继续从计算标量的导数开始，比如 中的一个元素 和 中的一个元素 。首先要做的还是写出 的表达式：
\overrightarrow{y_3}=\overrightarrow{x_1}W_{1,3}+\overrightarrow{x_2}W_{2,3}+...+\overrightarrow{x_D}W_{D,3}
显然， 在 的表达式中没有起到任何作用，因此，
\frac{\partial\overrightarrow{y_i}}{\partial W_{7,8}}=0
同时， 对 中第 3 列元素的求导结果是非零的，正如 表达式中展示的那样。例如 对 的偏导数为：
\frac{\partial\overrightarrow{y_3}}{\partial W_{2,3}}=\overrightarrow{x_2}
一般来说，当 中元素的下标等于 中元素的第二个下标时，其偏导数就是非零的，其他情况则为零。整理如下：
\frac{\partial\overrightarrow{y_i}}{\partial W_{i,j}}=\overrightarrow{x_i}
除此之外，三维数组中其他的元素都是 0。如果我们用 来表示 对 的导数,
F_{i,j,k}= \frac{\partial\overrightarrow{y_i}}{\partial W_{j,k}}\\
那么， ，其余的情况等于 0 此时如果我们使用一个二维数组 来表示三维数组 ，
G_{i,j}=F*{i,j,i}\\
可以看出，三维数组 中的全部数据实际上都可以使用二维数组 来存储，也就是说， 中的非零部分其实是二维的，而非三维的。 以更加紧凑的方式来表示导数数组对于神经网络的高效实现来说，意义重大。
4 多维数据
前面提到的实例中，不论是还是都只是一个向量。当需要多条数据时，例如多个向量组成一个矩阵时，又该如何计算呢？
我们假设每个单独的都是一个阶行向量，矩阵则是一个的二维数组。而矩阵和之前实例中的一样，为的矩阵。此时的表达式为：
Y = XW
是一个行列的矩阵。因此， 中的每一行给出一个与输入中对应行相关的行向量。按照之前的方式，可以写出如下表达式：
Y_{i,j} = \sum_{k=1}^{D}X_{i,k}W_{k,j}
从这个方程式可以看出，对于偏导数，只有当的情况下不为0，其他情况均为0。因为 中的每一个元素都只对 与中对应的那一行求导， 与 的不同行元素之间的导数均为0。 还可以进一步看出，计算偏导数
\frac{\partial Y_{i,j}}{\partial X_{i,k}}=W_{k.j} 与和 的行没关系。
实际上，矩阵包含了所有的偏导数，我们只需要根据上述公式来找到我们想要的某个具体地偏导数。
如果用来表示中的第行，用来表示中的第行，那么
\frac{\partial Y_{i,:}}{\partial X_{i,:}}=W5 链式法则
上面介绍了两个基本示例和求导方法，本节将上述方法和链式法则结合起来。
同样，假设和为两个列向量，
\overrightarrow{y}=VW\overrightarrow{x}
在计算对的导数时，我们可以直观地将两个矩阵和的乘积视为另一个矩阵，则
\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{y}}{\mathrm{d}\overrightarrow{x}}=VW=U
但是，我们想明确使用链式法则来定义中间量的过程，从而观察非标量求导是如何应用链式法则的。我们将中间量定义为
\overrightarrow{m}=W\overrightarrow{x}
此时，
\overrightarrow{y}=V\overrightarrow{m}
那么在求导时，我们使用链式法则：
\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{y}}{\mathrm{d}\overrightarrow{x}}=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{y}}{\mathrm{d}\overrightarrow{m}}\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{m}}{\mathrm{d}\overrightarrow{x}}
为了确保确切地清楚该式的含义，我们还是使用每次只分析一个元素的方法，中的一个元素对中的一个元素的导数为：
\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{y_i}}{\mathrm{d}\overrightarrow{x_j}}=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{y_i}}{\mathrm{d}\overrightarrow{m}}\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{m}}{\mathrm{d}\overrightarrow{x_j}}
链式法则的思想是当某个函数由复合函数表示，那么该复合函数的导师，可以用构成复合函数的各个函数的导数乘积来表示。
如果中有M个元素，那么上式可以写成：
\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{y_i}}{\mathrm{d}\overrightarrow{x_j}}=\sum_{k=1}^{M}\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{y_i}}{\mathrm{d}\overrightarrow{m_k}}\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{m_k}}{\mathrm{d}\overrightarrow{x_j}}
回忆一下之前向量对向量的求导方法，我们可以发现，
\left\{\begin{matrix} \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{y_i}}{\mathrm{d}\overrightarrow{m_k}}= V_{i,k}& \\ \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{m_k}}{\mathrm{d}\overrightarrow{x_j}}= W_{k,j}& \end{matrix}\right.
整理可得：
\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{y_i}}{\mathrm{d}\overrightarrow{x_j}}=\sum_{k=1}^{M}V_{i,k}W_{k,j}
至此，我们用和中的元素表示出了求导表达式。
