梯度下降法公式推导过程--再次补充:导数部分化简

前面一篇就是基础性的推导过程。从反馈的情况看，总体还是讲明白了。但是在导数的部分，仍有不少的存疑。 其实在数学方面，我也是学渣。所以尽我所能，希望再次的补充能讲的明白。若有谬误，期盼指正。

基础公式

所需基础公式抄录于下，不明白的请至上篇查看详解。

假设函数

$$ y' = h_θ(x) = \sum_{i=0}^nθ_ix_i $$

均方差损失函数

$$ J(θ) = \frac1{2m}\sum_{i=1}^m(h_θ(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 $$

梯度下降求解θ

$$ θ_j := θ_j - α\frac∂{∂θ_j}J(θ) $$ 摘出来上面公式步长α之后的部分： $$ \begin{align} \frac∂{∂θ_j}J(θ) & = \frac∂{∂θ_j}\frac1{2m}\sum_{i=1}^m(h_θ(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 \\ & = \frac1m\sum_{i=1}^m(h_θ(x^{(i)}) - y^{(i)})x_j^i \end{align} $$

嗯，问题一般就是出在这里了，很多人尝试了化简，得不到上面的化简结果。

导数公式

化简上面的式子，需要微积分导数的一些知识，我抄录用到的部分于此，以方便对照查看：

导数

导数的目的是求得在给定点的切线方向，以保证梯度下降的下一步会向收敛方向（也即上面的损失函数最小化方向）迭代一个步长α。这个很多教程都讲过了，这里不再废话。

(偷懒从网上搜了张图，侵删。图中的W实际是我们公式中的θ，J(W)就是我们讲的J(θ))

首先公式(\frac∂{∂θ_j})就是求导数的意思，别当做普通的分式，直接分子、分母把∂化简掉成为(\frac1{θ_j})。当然大多数人不会这样做了，我只是见过这样的情况，说出来以防万一。

事实上，你把(\frac∂{∂θ_j})换成常用的函数描述(f(θ_j))可能更贴切。

对函数的和求导法则

为了描述起来方便，我们下面使用'符号来代表求导：

\[ (u + v)' = u' + v' \] 在上面的公式中推广一下，Sigma求和不影响求导的传导，直接把Sigma符号提到前面就好： \[ (\sum_{i=1}^mu^{(i)})' = \sum_{i=1}^m(u^{(i)})' \]

对函数的积求导法则

$$ (uv)' = u'v+uv' $$

幂函数求导法则

$$ (x^u)' = ux^{(u-1)} $$

对常数求导

这是我最爱的部分：

\[ (C)' = 0 \]

链式法则

这是我最不喜欢的部分： 假设我们希望对变量z求导，而变量z依赖变量y,变量y又依赖变量x。例如：

\[ z = f(y) \\ y = g(x) \] 也即: \[ z = f(g(x)) \] 那么对z求导就构成了链式法则： \[ (z)' = (f(g(x)))'·（g(x))' \] 注意最后面乘上内部依赖函数求导的过程，简直是反人类的天外来客，经常会忘。但我等遵循自然界规则的凡人又能如何，死记而已。

推导

基本公式列完，开始推导过程：

\[ \frac∂{∂θ_j}J(θ) = \frac∂{∂θ_j}\frac1{2m}\sum_{i=1}^m(h_θ(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 \] 根据上面说的求和函数求导法则： \[ = \frac1{2m}\sum_{i=1}^m(\frac∂{∂θ_j}(h_θ(x^{(i)}) - y^{(i)})^2) \] 别急着对幂求导，考虑对中间的损失函数的依赖，实际要先处理链式法则： \[ = \frac1{2m}\sum_{i=1}^m(\frac∂{∂θ_j}(h_θ(x^{(i)}) - y^{(i)})^2)·(\frac∂{∂θ_j}(h_θ(x^{(i)}) - y^{(i)}) \] 现在方程式前面的部分可以幂求导了，后面的部分把假设函数先展开： \[ = \frac1{2m}\sum_{i=1}^m2·(h_θ(x^{(i)}) - y^{(i)}))·(\frac∂{∂θ_i}(\sum_{i=0}^nθ_ix_i - y^{(i)})) \] 因为展开的假设函数中使用i代表第i个权重，所以前面的求导也换成了(θ_i)，不是指第i个批次的样本数据。这里原来没有打算展开讲，所以使用的符号名称有点容易混，但概念清楚的话不应当闹误会。

继续，式子前半部分的2跟1/2会抵消掉，这是前篇做均方差时候乘1/2的目的；后面的Sigma求导继续使用求和函数求导法则展开：

\[ = \frac1{m}\sum_{i=1}^m(h_θ(x^{(i)}) - y^{(i)}))·(\sum_{i=0}^n\frac∂{∂θ_i}θ_ix_i - \frac∂{∂θ_i}y^{(i)}) \] 前半部分的化简已经完成，简单起见，我们只把后面部分摘出来： \[ \sum_{i=0}^n\frac∂{∂θ_i}θ_ix_i - \frac∂{∂θ_i}y^{(i)}\\ = \frac∂{∂θ_i}(θ_0x_0+θ_1x_1+...+θ_ix_i+...+θ_nx_n) - \frac∂{∂θ_i}y^{(i)} \] 根据求和函数求导法则展开，等于对其中每一项求导。而我们在对(θ_i)进行求导的时候，其余各项对我们来说，实际上就是一个常数，它们在求导这一刻是固定不能变的。嗯嗯，记得上一篇最后的提醒吗？θ在每个循环内固定不变，在计算完所有的θ之后，才一次代入，并在下个循环内保持不变。

而对常数求导，刚才说过了，那是我的最爱，因为结果是0。还有我们抄了好几行的(y^{(i)})求导，我忍得好辛苦，因为那也是样本集给出的常数，所以结果也是0： \[ = 0 + 0 + ... + \frac∂{∂θ_i}θ_ix_i + ... + 0 - 0 \] 现在需要对乘积函数求导展开了： \[ = \frac∂{∂θ_i}θ_i·x_i + θ_i·\frac∂{∂θ_i}x_i \] 你看，这世界不总是那么残酷的，后面的(x_i)又双叒叕是一个常量，所以求导之后乘上(θ_i)仍然是0。 前面对(θ_i)的求导结果是1，原因很简单，你可以把(θ_i)看做1次幂。 \[ \begin{align} & = \frac∂{∂θ_i}(θ_i)^1·x_i + 0 \\ & = 1·θ_i^{(1-1)}·x_i \\ & = 1·1·x_i \\ & = x_i \\ \end{align} \] 只是瞬间，这个世界就清净了。原来对假设函数求导的最终结果，不过是(θ_i)的系数(x_i)。

前面我们两次把等式的局部摘出来化简，现在是把它们组合回去的时候了：

\[ \begin{align} θ_j & = θ_j - α\frac∂{∂θ_j}J(θ) \\ & = α\frac∂{∂θ_j}\frac1{2m}\sum_{i=1}^m(h_θ(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 \\ & = α\frac1m\sum_{i=1}^m(h_θ(x^{(i)}) - y^{(i)})x_j^i \end{align} \]

希望不用再写补充的补充的补充了吧。