线性代数--MIT18.06(七)

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7. 求解Ax=0:主变量和特解

7.1 课程内容：求解Ax=0

本讲直接以一个例子来讲解如何求解

，令

我们首先还是使用第二讲所介绍的矩阵消元法来求解。

由此我们得到了第一行和第三行的主元分别为1,2。

之前我们考虑主元主要是从行的角度去看，现在我们主要考虑列的情况，我们称主元所在的列为主元列（pivot columns），主元的个数我们称为矩阵的秩（Rank，简写为r）,没有主元的列称为自由变量列（free variable columns）, 自由变量的个数也就很好的理解为 n-r 了，在这里就是 4-2=2 。 消元之后我们进行回代的步骤，也就求得解了，即

这里和 A 为方阵的时候有所不同，因为我们发现

实际上可以取任意值，为了得到所有解，最好的形式就是沿用我们之前的方式，先找到特解，再扩展该特解得到所有的解空间。

因此我们分别令自由变量列

的未知数

为1，其他自由变量所在列的未知数为0 ，即可得到

即得到两个特解

由零空间的定义我们知道，现在解空间就是零空间，那么我们使用这两个特解（向量）将零空间表示出来即为解了，即

再来看个例子吧，假如 A 为 A的转置，我们再求解看看。

消元

由此我们得到主元列为第 1 列和第 2 列，即秩 r = 2, 自由变量列为 n - r ，即 3 - 2 = 1。

令自由变量所在列的未知数

为1，即得到特解

，由此，解即为

观察上面的两个例子，我们可以发现：

• 求解线性方程组，我们不再受到于 A 为方阵的限制。
• 求解零空间，可以通过消元法得到主元数 r 来确定零空间的特殊的向量的数量 n - r，分别令自由变量为 1 ，求得这些特殊向量（特解），之后使用这些特解张成零空间即可。

当然我们发现实际上我们还可以对 U 进行简化，

将主元所在的上面一行也消为 0 ，同时将主元变量都化简到 1 ，我们就得到了简化行阶梯形式（reduced row echelon form，R）。

我们先假装第二列和第三列交换，就发现自由变量都在一起了，我们使用 F 来表示，我们就得到了更简洁的块矩阵的表示方法，并且我们至始至终都只是进行了行消元，因此我们很容易得到

即解没有变化。

由倒数第二项我们可以知道

, 那么为什么要这么做呢？可以发现当我们化简到 R 的形式，F 就已知了，取 -F ，然后就可以直接写出解了（实际上 matlab 就是这么求解的）。

下面我们使用上述的第二个例子（即将A转置）来检验化简到简化行阶梯形式（reduced row echelon form，R）是否有效。

这里化简后的形式很好，可以得到

,则

到这两个空间。

7.2 求解Ax=0习题课

2011年求解Ax=0习题课（http://open.163.com/movie/2016/4/V/1/MBKJ0DQ52_MBMGQU9V1.html）

设

是三维空间上所有点

组成，即

，那么

在三维空间中是什么形状？与三维空间的点集

(三维空间上所有点

组成，即

) 是什么关系？

在三维空间中是什么形状？补全

所有点的表示

答：

• 因为只有一个线性方程来对空间进行限制，因此只是降低一个维度，所以

是二维的，也就是一个平面

• 主元数量为 1，自由变量数为2，因此零空间是由两个特解向量张成的空间，也就是一个平面。
• 既然

和

都是平面，两个平面的关系也无非是相交于一条直线，平行或者重合。很简单地审视两个方程，我们只要令

就可以发现矛盾，所以它们不可能重合或者交于直线。它们只会是平行的。

上述解释实际上我觉得可能还是不直白易懂，先把

的形式转换一下就很好理解了。

将

,就可以知道现在的零空间（平面）就是对

在

方向上移动了 9 个单位，既然是平移，那么自然

和

是平行的，而

是一个平面，

自然也是一个平面。

如何求解

呢？ 令

,即知道

，之后再分别将

,

回代，即可知道