线性代数--MIT18.06(六)

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6. 列空间和零空间

6.1 课程内容：列空间和零空间的矩阵构造

■ 前置思考

由上一讲的内容，我们知道了向量空间和子空间的定义，那么如何使用矩阵来构造子空间呢？

■ 列空间定义

矩阵 A 的列空间，由矩阵 A 的列向量的所有线性组合即

构成，称为

■ 零空间的定义

方程组

的所有解

的集合称为 A 的零空间，记为

为了理解这两个概念，在此，我们重新来看

这个等式

我们先从左到右地来看这个等式，在讲解矩阵乘法的时候我们就已经知道，从列的角度来看，

中的每一列就是

的每一列的线性组合构成，而线性组合的系数由

的每一列的分量给出；现在从右到左的来考虑这个等式，为了使得这个等式成立，结合列空间的定义，我们又知道

，所以等式成立的条件只能是

。即

有解只能是

在

的列空间中。

以下列情况为例

我们假设

，那么我们很容易得到

, 再假设

，那么我们也很容易得到

，为了使得

成立，最简单的就是我们任意取

，然后将

算出来即可。那么为了得到所有的可能的

，实际上我们就遍历了

,即

。

下面我们还是以上面的情况为例，只不过

，即

，我们很容易得到一个解

，那么所有解呢？取

即可，即

通过这个例子，我们继续审视 子空间 这个概念

• 列空间是子空间吗？ 对于

,显然列空间不是子空间，简单来看，零向量不在其中。

• 那么零空间是子空间吗？ 是的。这就是他的定义。

列空间和子空间是两个重要的向量空间，也是构造子空间的重要方法。之后我们会经常用到这两个空间。

6.2 向量子空间习题课

2011年秋季习题

三维空间由下列向量构成

问下列条件是否是该三维空间的子空间：

1.

2.

3.

4.

解答

1. 我们可以将该等式写成矩阵形式，

由零空间的定义，我们就知道这里 b 就构成了一个零空间，因此当然是一个子空间。

1. 因为给出的是三个变量之间的非线性组合形式，因此解答此题，我们可以使用反证法，即找反例。首先我们很容易得知

是一个解，假如该等式的解空间构成一个子空间，那么

所在的直线上的任意向量应该也在该子空间内，我们简单地取 2 倍的该向量

即发现该向量不是该等式的解，因此原假设不成立，解空间无法构成一个子空间。

1. 此解给出了一个通解的形式，由向量空间的定义我们知道

构成了一个向量空间，同时我们发现

也在该空间内，因此实际上我们可以将此等式写成

，因此该解空间构成子空间，实际上是一个三维空间内的平面。

1. 此解形式上与上一问类似，但是

不在

向量空间内。由子空间定义我们知道

需要在子空间内，而在这，我们无法找到合适的

从而使得

，因此此解空间不构成子空间。