线性代数--MIT18.06(十七)

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17. 正交矩阵和施密特正交化

17.1 课程内容：正交矩阵和施密特正交化

在上一讲我们证明了

如果

的各列线性无关，那么必然可以求解得到

。这里我们需要提到一种特殊的系数矩阵

,

中的每一列都是正交的向量，与

不同的是，这些向量的长度都是 1 ，也就是说这些向量都是单位正交向量，同时他们的集合也就是正交基（Orthogonal Basis，标准正交基Orthonormal Basis），特别的，当

为方阵时，我们称

为正交矩阵，同时根据正交向量的长度为 1 ， 我们可以写出单位（标准）正交向量的定义

那么，为什么要使用

？

的作用是什么？ 答案是：

能使计算简化。

因为

的列向量是单位正交向量，因此

，即

就可以将原式（第十五讲我们最后得出的结论）转化为更简洁的形式

仔细观察

，可以发现

重点： 也就是说第

个分量就是第

个正交基向量与

的点积！上述过程，我们不再需要求解逆矩阵，同时，解的形式也很好给出！这就是使用

的好处！

既然

如此方便，那么一个很重要的问题就是，我们常见的都是由线性无关向量构成的系数矩阵

, 如何将

转化为

？ 这就要提到施密特正交化（Gram-Schmidt Orthogonalization）。

施密特正交化思路：

1. 先将线性无关的向量组构建成为正交的向量组

2. 然后将这些正交的向量分别除以它们各自的长度构建为标准正交向量

3. 最后将他们组合成矩阵

第一步构建正交向量组，方法其实我们在之前的章节已经讲过了，就是利用投影，对于第二个向量来说，它减去它在第一个向量上的投影，那么得到的就是我们之前所说的

，这个分量是与第一个向量正交的。

那么对于第三个向量，我们也很自然地可以利用投影，也就是它减去它在第一个向量上的投影以及它在第二个向量的分量

上的投影，那么此时得到的向量就是和他们都正交的了。以此类推，我们就可以得到所有的正交向量，各自除以它们的长度，就是标准正交向量了。

在第十五讲讲解投影的时候我们已经做过推导

和

正交吗？

确实是正交的！

对于第三个向量

呢？

举个施密特正交化的例子：

那么求解正交向量：

由此得到

在消元法中，我们使用

,在这里我们也使用类似的方式来表示原系数矩阵

其中

为上三角矩阵。

17.2 施密特正交化习题课

2011年施密特正交化习题课

(http://open.163.com/movie/2016/4/F/C/MBKJ0DQ52_MBO4C07FC.html)

由

向量构成的矩阵

,求解其列向量所对应的标准正交向量

，并且将

表示成

的形式。

解答

因为

的长度正好为 1 ，因此

由此得到

可以发现

同时也是一个置换矩阵，它实现了对于

的第二行和第三行的换行操作，之后得到了

, 所以