线性代数--MIT18.06(二十七)

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27. 复数矩阵和快速傅里叶变换

27.1 课程内容：复数矩阵和快速傅里叶变换

对于

，我们之前讨论的都是实矩阵的情况，现在就要讨论下复矩阵的情况。

从向量的内积开始，在实向量中我们使用

表示该向量的内积，在复向量的情况下，还需要取共轭，即

,

与

表示两者共轭（比如

和

）,如果将共轭与转置一起表示，则表示为

,这里的

表示埃米尔特（Hermite）。

在上一讲我们还提到了如果是实对称矩阵，那么

, 而对于复矩阵，则还需要为共轭，即

。同时可以发现共轭前后有相同的特征值，而特征向量为共轭向量。

对于正交矩阵

，在复矩阵的情况下，则同样地也需要取共轭，即

。并且对于各个正交基向量，可以得到

同样地，对标准正交向量的共轭转置可以表示为

则正交向量

,在复数情况下

称为酉矩阵（unitary matrix）或幺正矩阵

傅里叶矩阵（Fourier Matrix）是一个特殊的复矩阵，同时也是一个酉矩阵。它来源于傅里叶转换，其矩阵的特殊性质，通过矩阵分解，可以将计算量从

量级减少到

量级。

阶的傅里叶矩阵表示如下

并且，

,

, 可以知道

即

是在复平面的单位元上移动。(特别注意，傅里叶矩阵中元素下标的位置是从0 开始计数，即

看一个 4阶傅里叶矩阵的例子

也就是将复平面上的单位圆划分为了 4 等分，每次旋转 90° 。 那么不同阶数的傅里叶矩阵就是将单位圆进行不同等分的划分，那么

的划分就可以由两个

的划分表示出来（每次旋转90度，就是两个180度的旋转的正交叠加），即那么高阶的傅里叶矩阵就可以由低阶的傅里叶矩阵表示出来，这就是傅里叶矩阵分解的思想！

以一个 64 阶傅里叶矩阵的例子来解释快速傅里叶变换(FFT)

其中

是置换矩阵，它实现将奇偶行分离

其中

为对角阵

对 64 阶分解成 32 阶的形式，32阶又可以分解为 16 阶的形式，最后逐层分解到 1 阶的形式。

傅里叶变换参考网址（http://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6919424.html）

27.2 习题课

2011年复矩阵习题课

（http://open.163.com/movie/2016/4/0/L/MBKJ0DQ52_MBQF44O0L.html）

解答

将复矩阵

对角化

首先计算特征值

即得到特征值矩阵为

计算特征向量

这里有个小技巧，因为

必然是零空间中的一个非零向量，因此

是奇异矩阵，故选择

的分量只需要考虑矩阵的第一行即可，无需化简为

或者

。 即得到

同理得到

即可得到特征向量矩阵为

可以发现复矩阵

的列向量的模是相同的，因此可以很方便地将其转化为

, 即得到

而对于正交矩阵，它有一个很好的性质，在实矩阵中为

,在复矩阵中为

由此我们得到

综上即可得到

的对角化结果为