线性代数--MIT18.06(三十二)

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32. 基变换和图像压缩

32.1 课程内容：基变换和图像压缩

信号压缩和图像压缩的本质是基变换，以图像压缩为例，假如我们有一张

像素的图像，每个像素的取值范围为

,用一个长为

的向量来表示, 此时我们使用标准基，也就是

会有很多的数据冗余，并且数据量太大，系统会无法承载，数据的传输也是一个很大的问题。因此，会对图像进行压缩，常用的图像压缩技术有 JPEG，本质上就是基变换，也就是使用更好的基来重现图像。

比如一组更好的基为

全为 1 的基直接能表征像素一致的图像（比如背景为纯色的图像），第二个基向量则可以很好地表征图像变化频率大的图像，第三个一半为 1 ,一半为 -1 的基向量则可以很好地表征半明半暗的图像。 在 JPEG 中则是使用的傅里叶基 （Fourier basis ） ，傅里叶矩阵我们已经在第二十七讲讲解过，并且通常是将图像先分割成

的小块，对每一小块进行基变换

基本的步骤就是

由于基的变换，我们可能只需要比原来更少的基向量的线性组合就能表示出大部分地原始图像信息，即

，这一步骤是有损失的压缩，但是如果压缩的部分对人眼来说是无法辨识的部分或者说对图像地表现来说影响很小，那么该压缩实际上接近于无损压缩。

另外一组比较好的基是小波基（Wavelets）

现在我们知道了信号或者图像压缩实际上就是基变换，那么该过程如何用矩阵表示？在上一讲我们已经知道了如何求解线性变换的变换矩阵

，在这里也是同样的原理。

对于一个线性变换，我们在标准基上得到其坐标（在这里也就是像素值），即

,表征出来原始图像，而在另一组基

下，对应它们的线性组合

也能同样表征原始图像，那么我们就可以知道，在另一组基下的线性组合系数组为

也就是说我们知道原基下的系数矩阵以及新基构成的矩阵，就可以得到新基下的系数矩阵（即新基下的新坐标）

更通用地来讲，对于一个线性变换

，对于基

，它的变换矩阵为

，而对于基

则为变换矩阵

, 他们两者是相似的，即

其中，

为基变换（旧基到新基的线性变换

）矩阵。

总结一下良好的基的性质:

1.计算要快 （也就是能快速求逆，比如 FFT--快速傅里叶变换 , FWT--快速小波变换）

2.压缩性要好(新的基下，用少量基向量即可重现原信号或图像)

32.2 习题课

2011年基的变换习题课

（https://open.163.com/movie/2016/4/E/K/MBKJ0DQ52_MBQUNJMEK.html）

已知

的二次多项式的向量空间的一组基为

，而

为另一组基，当

时可知

的值如下表所示

试回答一下问题

1.对于

使用

这组基来表示

2.求解基变换矩阵

3.分别在两组基上写出多项式求导之后的矩阵表示

解答

1.对于

将各

的值代入可知

并且假设在

基下，

的坐标为

，即可以得到

代入相应的

值得到

对于该线性方程组，我们可以写出它的矩阵形式

即得到

基下多项式的表示为

2.求解基转换矩阵，因此我们将

代入原基

于是我们便得到了

基到

基的变换矩阵为

那么从

基到

基的变换矩阵为

3.对于

基下，我们直接可以得到求导之后的结果为

而对于

即可得到，其为在原基

上求导

，表征为

，再在

基上进行表征

,即