（7.7）James Stewart Calculus 5th Edition：Approximate Integration

Approximate Integration 近似积分

黎曼求和，我们把对应的[a, b]分成n份，每份大概为 Δx = (b - a)/n 这个时候，有：

我们可以用左边的顶点求和，为：

对应的图像为：

或者，我们用右边的顶点求和，为：

对应的图像为：

当我们用中点去求近似的时候，会比左边，右边要更好

Midpoint Rule 中点原则

原则定义：

Trapezoidal Rule 梯形原则

原则定义：

这里，我们可以通过

化简为上面的公式

例子

一些例子， 因为比较简单，只是应用，这里就截个图

例子1

这里分别用 梯形原则 ， 中点原则 求值 n为5的时候，带入即可：

对应的图像为：

对应的 中点原则 求值，为：

对应的图像为：

我们通过积分，求得对应的真实值为：

这个时候，我们对比一下对应的error误差： (Et 表示 Trapezoidal Rule 梯形原则的误差， Em 表示 Midpoint Rule 中点原则的误差）

根据上面的值，我们可以得到，对应的值大约为：

例子1的地方， 我们用 L 表示左顶点求值， R表示右顶点求值， T表示梯形求值， M表示中点求值 我们可以得到对应n的时候，对应的值

根据上面的近似值，可以得到对应的相对误差E

我们可以通过表格发现，对应的 L， R， 没有 T 和 M相对误差小

Error Bounds 误差范围

对应的误差范围：

例子2

根据上面的公式，这里 根据

可以得到：

最后得到结果：

即：

所以， n = 41的时候， 可以满足对应的精度。

同理， 对 Midpoint Rule 中点原则 有：

例子3

（a）我们当 a = 0，b = 1，n = 10， 和 中点原则 可以有：

（b）我们可以得到

可以求得：

根据上面的公式，可以得到：

Simpson’s Rule 辛普森法则

例子4

简单套 Simpson’s Rule 辛普森法则 公式，

Error Bound for Simpson’s Rule

这里当2次翻倍的时候，也就是4次求导 可以得到对应的 辛普森法则， 求出 辛普森法则 的误差范围

例子6

这个时候，我们要对应的进度到达0.0001 我们先多次求导，可以得到：

这里因为自变量范围是在1和2之间，所以

根据上面的公司，有不等式：

有：

即：