分支限界法

一.分支限界法的思想：

1）在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。

活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点

中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入

活结点表中。

2）此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述扩展

过程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。

二.分支限界法与回溯法的异同

1）求解目标：回溯法求解的目标时找出解空间树中满足约束条件的所有解，

而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束

条件的解中找出在某种意义下的最优解。

2）搜索方式不同：回溯法以深度优先的方式搜索解空间树，而分支限界法则

以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树。

三.分支界限法的边界

用分支界限法解决问题的关键是找边界，上界或下界。

1）对于一颗状态空间树的每一个结点所代表的部分解，要提供一种方法，

计算出通过这个部分解繁衍出的任何解在目标函数上的最佳值边界。

2）对于最小化问题，找下界，对于最大化问题，找上界。

四.分支界限法的分支

1）在当前树的未中止（活的）叶子节点中，选择其中最有希望的结点，

并生产它的所有子女。

2）比较活叶子结点的上界/下界，把具有最佳上界/下界的结点作为最有

希望的结点。

五.查找路径的中止条件

1）该结点的边界值不能超过目前最佳解的值。

2) 该结点无法代表任何可行解，因为它已经违反了约束条件。

3）该结点代表的可行解的子集只包含一个单独的点

(因此无法给出更多的选择)。

六。 例子

求最小值，找下界。

那么，下界如何找呢？

    我们可以按照行优先和列优先。 这里我们采用行优先，找出每一行最小值求和，那么最优解一定不会大于这个值,

因为这样选出的下界是可能违法约束条件的，这里的下界就是：

有一份工作派了两个人。

接着开始构树，start为开始的根节点，那么他会有几个分支呢？

看完第一张图再想想看，应该是4个分支，把接下来的分支都计算出

问题来了，为什么下面这张图改变了值呢？不是选3，1，4而是4，5，4

这里我们注意下不能选已经安排的工作，（这一层以前包括这一层都是已经安排的），其他行

选择最小值即可。

然后我们看，选哪一个继续扩展呢？是四个都扩展吗？

答案是否定的，因为其他三个是在未被安排的工作取最小值的情况下求的和，可能违反约束条件（每个工作派一个人），

在这种情况下都比别的小，没有必要扩展了，

接下来对第二个点扩展

重复构造的过程，

这个解即为最优解。

我们再看一个例子，

01背包问题

这个是求最大值，则求上界。

性价比最后一栏是第一个是10，不方便改啦（懒。。）

根据决策函数（这个不唯一，看个人怎么想），然后一样的每次选择当前最小（大）消耗

就是这样，嗯。