原 初学算法-快速排序与线性时间选择（De
快速排序算法其实只做了两件事：寻找分割点（pivot）和交换数据。
所谓寻找分割点，既找到一个预计会在中间位置附近的点，当然尽量越接近中点越好。
所谓交换数据，就是把比这个分割点小的数据，最终都放在分割点左边，比它大的都放在右边。
设要排序的数组是A[left]……A[right]，首先任意选取一个数据（一般算法：使用随机数选取一个区间内的数。 文艺算法：取A[left]、A[right]和A[rand()]的中值。 二笔算法：选用数组的第一个数）作为关键数据，然后将所有比它小的数都放到它前面，所有比它大的数都放到它后面，这个过程称为一趟快速排序。值得注意的是，快速排序不是一种稳定的排序算法，也就是说，多个相同的值的相对位置也许会在算法结束时产生变动。
快速排序的具体算法是：
1）设置两个变量i、j，排序开始的时候：i=left，j=left+1；
2）取关键数据和A[left]交换，赋值给key，即key=A[left]；
3）从j开始向后搜索，即由前开始向后搜索(j++)，找到第一个小于key的A[j]，将A[++i]和A[j]互换。
4）重复第3步，直到 j>right，此时循环结束
5）此时令 int q=i；在A[left]...A[q-1]和A[q+1]...A[right]上重复1-4过程直到递归结束。
这样，我们就可以将它兑现为代码：
/**
* The Quick Sort Algorithm by C++
* Average Time Cost: nlogn
* Author: Zheng Chen / Arc001
* Copyright 2015 Xi'an University of Posts & Telecommunications
*/
#include <iostream>
#include <ctime>
#include <cstdlib>
#include <fstream>
using namespace std;
long long ans = 0;
void swap(int &a, int &b)
{
int c = a;
a = b;
b = c;
}
int partition(int A[],int l,int r)
{
int t = rand()%(r-l);
int x = A[l+t];
int i = l;
int j = l+1;
swap(A[l+t],A[l]);
for(;j<=r;j++){
if(A[j]<=x){
++i;
swap(A[i],A[j]);
}
}
swap(A[i],A[l]);
return i;
}
void Quick_Sort(int A[],int l,int r)
{
if(l<r){
int q = partition(A,l,r);
Quick_Sort(A,l,q-1);
Quick_Sort(A,q+1,r);
}
}
int main()
{
/*int A[] = {7,6,5,4,3,2,1};
Quick_Sort(A,0,6);
for(int i=0;i<7;i++)
cout<<A[i]<<' ';
*/
fstream in;
in.open("QuickSort.txt");
int *A = new int[10000];
int i = 0;
for(i=0;i<10000;i++)
in>>A[i];
Quick_Sort(A,0,9999);
for(i=0;i<10;i++)
cout<<A[i]<<' ';
return 0;
}现在我们来看一个问题：如何找出数组A中的第 k 小的元素？ (1<=k<=n)
在笔者看来，至少有以下三种方法：
比如我们可以分为两种情况：k>n/2时，问题化为找到第 n-k 大的元素。我们可以构造一个长度为 n-k 的数组，然后维持这个数组的单调性。这样每一个元素都可以进来数组“打擂”，找到合适的位置。到了最后我们取数组的首元素或者末元素（具体要看聪明的你选用递增还是递减），就是答案了。
当k<=n/2时，也是同样的道理。
很容易看到，这种算法的时间复杂度在O(n^2)，实在无法令人满意。
但是，Can we do better?
是的，我们可以通过维持一个堆来加速，由于堆的优秀的特性，我们可以把时间复杂度降低到O(nlogn)
我们还可以先将这些元素排序，再取出A[k-1]即可，时间复杂度也是O(nlogn)。
还是那个问题，Can we do better?
可以。
还记得快速排序的算法吗？我们进行一次partition操作后，我们的分割点(pivot)元素一定“归位”了。我们再比较分割点元素和待查找元素的大小，就可以舍去左边或右边部分，只看剩下那部分。可以证明，这种算法的平均时间复杂度为Θ(n)。
我们可以很容易的将其兑现为代码：
/**
* Find out the n th smallest number in an array.
* Coursera : Algorithms: Design and Analysis, Part 1 by Tim Roughgarden
* Average Time Cost : θ(n)
* Worst Time Cost: O(n^2) when every time the smallest number was chosen.
*
* Author: Zheng Chen / Arclabs001
* Copyright 2015 Xi'an University of Posts & Telecommunications
*/
#include <iostream>
#include <ctime>
#include <cstdlib>
using namespace std;
void swap(int &a, int &b)
{
int c = a;
a = b;
b = c;
}
int partition(int A[],int l,int r)
{
int t = rand()%(r-l);
int x = A[l+t];
int i = l;
int j = l+1;
swap(A[l+t],A[l]);
for(;j<=r;j++){
if(A[j]<=x){
++i;
swap(A[i],A[j]);
}
}
swap(A[i],A[l]);
return i;
}
int Quick_Sort(int A[],int l,int r, int target)
{
if(target > r)
return -1;
if(l<r){
int q = partition(A,l,r);
if(q==target)
return A[q];
else if(q>target)
return Quick_Sort(A,l,q-1,target);
else
return Quick_Sort(A,q+1,r,target);
}
else return A[l];
}
int main()
{
int A[] = {3,4,6,1,5,9,2,8,7};
int n;
for(int i=0;i<9;i++)
cout<<A[i]<<' ';
cout<<endl;
cin>>n;
cout<<"The "<<n<<"th largest number in the array is: "<<Quick_Sort(A,0,8,n-1);
return 0;
}进阶篇：
但是，这种实现也有缺点：可能我们就是点背，每次选的元素，不是待排序元素的最小值、就是最大值。这样我们每次只能排除一个元素，而每次操作的代价都是O(n)，因此算法的最坏时间复杂度可能达到O(n^2)。
还是那个问题，Can we do better?
Yes.
我们如果能让分割点在在数组中至少为 2n/3 大，且不大于 n/3 个元素（就是排序后的位置应该在中间的1/3），这样每次我们至少可以排除 n/3 个元素。T(n) <= T(2n/3) + O(n)，解得 T(n) = O(n)。
那么，我们如何做到这点呢？
这里有一个解法：
1.我们准备 upper(n/5) 个长度为5的数组，把A中所有元素“装进去”。
2.使用低级排序把它们分别排序，由于每次只有5个元素，因此低级排序更快。然后取每组第三个元素（中间元素）放到另一个数组Sub中。
3.对长度为n/5的Sub数组，调用主算法查找第n/10大的数。
可以证明，尽管可能看起来有些复杂，但是每次确实只需要O(n)的时间代价即可查找到适合的分割点、并至少能舍弃 n/3 个一定不符合条件的元素，达到我们对时间复杂度的需求。
当然不能忘了代码实现：
/**
* Deterministic Selection Algorithm in C++
* Below is the pseudo-code
* Coursera : Algorithms: Design and Analysis, Part 1 by Tim Roughgarden
* Time cost: O(n)
* Author: Zheng Chen / Arclabs001
* Copyright 2015 Xi'an University of Posts & Telecommunications
*/
#include <iostream>
using namespace std;
int Quick_Sort(int A[],int l,int r, int target);
void swap(int &a, int &b)
{
int c = a;
a = b;
b = c;
}
void insersion_sort(int A[] , int len)
{
for(int j = 1; j<len; j++){
int i = j -1;
int key = A[j];
while(i>0 && A[i] > key){
A[i+1] = A[i];
i--;
}
A[i+1] = key;
}
}
int ChoosePivot(int A[], int l, int r)
{
int size = r-l+1;
int sub_num = size/5 ;
int i, j, k=0;
int tmp[sub_num][5];
int Sub[sub_num];
for(i=0; i<sub_num; i++){
for(j=0; i<5; j++)
tmp[i][j] = A[k++];
Sub[i] = Quick_Sort(tmp[i], 0, 4, 2);
}
return Quick_Sort(Sub , 0, sub_num-1, sub_num/2);
}
int partition(int A[],int l,int r,int M)
{
int x = A[M];
int i = l;
int j = l+1;
swap(A[M],A[l]);
for(;j<=r;j++){
if(A[j]<=x){
++i;
swap(A[i],A[j]);
}
}
swap(A[i],A[l]);
return i;
}
int Quick_Sort(int A[],int l,int r, int target)
{
if(target > r)
return -1;
if(l<r){
if( r-l+1 <10){
int tmp[r-l+1];
for(int i=l;i<r-l+1;i++)
tmp[i] = A[i];
insersion_sort( tmp , r-l+1 );
return tmp[target];
}
int M = ChoosePivot(A,l,r);
int q = partition(A,l,r,M);
if(q==target)
return A[q];
else if(q>target)
return Quick_Sort(A,l,q-1,target);
else
return Quick_Sort(A,q+1,r,target);
}
else return A[l];
}
int main()
{
int A[] = {3,4,6,1,5,9,2,8,7};
int n;
for(int i=0;i<9;i++)
cout<<A[i]<<' ';
cout<<endl;
cin>>n;
cout<<"The "<<n<<"th largest number in the array is: "<<Quick_Sort(A,0,8,n-1);
return 0;
}
/**
* select(L,k)
{
if (L has 10 or fewer elements)
{
sort L
return the element in the kth position
}
partition L into subsets S[i] of five elements each
(there will be n/5 subsets total).
for (i = 1 to n/5) do
x[i] = select(S[i],3)
M = select({x[i]}, n/10)
partition L into L1<M, L2=M, L3>M
if (k <= length(L1))
return select(L1,k)
else if (k > length(L1)+length(L2))
return select(L3,k-length(L1)-length(L2))
else return M
}
*/本文参考资料：
[1].Coursera : Algorithms: Design and Analysis, Part 1 by Tim Roughgarden (斯坦福大学算法课)
[2].《Introduction to Algorithms》 by Thomas H. Cormen，Charles E. Leiserson，Ronald L. Rivest，Clifford Stein. Chapter 7, Quick Sort and Chapter 9, Medians and Order Statics.
[3].ICS 161 : Design and Analysis of Algorithms. Lecture notes for Jan 30th, 1996. http://www.ics.uci.edu/~eppstein/161/960130.html
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