已知地球上的点E经纬度为(J1, W1),点F经纬度为(J2, W2),求两点间最短的球面距离。
假设地球是一个标准的球体,设球心为O, 地球半径为r。
线段OE, OF, EF构成一个等腰三角形,OE=OF=r,定义∠EOF弧度为δ,定义E,F两点的最短球面距离为L
则有:
根据余弦定理有:
将OE=OF=r代入得:
最后可得:
下面来求EF。
图中,B点为北极点,C点和D点位于赤道上,OB,OC,OD构造空间直角坐标系,OCD即赤道面。过E点做垂线垂直于面OCD交于E1点,过F点做垂线垂直于面OCD交于F1点,过F点做垂线垂直于线EE1于F2点。
定义\angle EOE_1弧度为α,\angle FOF_1弧度为β,\angle E_1OF_1弧度为γ,其实α即为E点的纬度弧度,β即为F点的纬度弧度,γ即为F点和E点的经度差的弧度。
勾股定理有:
又有:
则有:
\angle OE_1E、\angle OF_1F为直角,则有:
根据余弦定理有:
又有:
则有:
将公式 (3),(4),(5)代入 (2),并整理得:
代入公式(1)得:
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