幂律分布模型｜跬步027

今天我们学习幂律分布。

幂律分布的曲线图是一条向下的曲线，拖着一条长长的尾巴。

幂律分布含义——在随机变量中，越小的数值，出现的概率越大；越大的数值，出现的概率越小。

幂律分布特征——无标度，也叫“无尺度”“尺度无关”，意思是，在任何观测尺度下，幂律分布都呈现同样的分布特征。

幂律分布没有尺度的限制，不管截取哪个部分的数据，都会呈现出幂律分布的特征，比如，图书销量是服从幂律分布的，最畅销那本书的销量在前10名图书总销量中占的比例，前10名图书销量在前100名销量中占的比例，前100名图书销量在前1000名图书总销量中占的比例，大体都是相同的。

二八法则是幂律分布最直接的表现。

比如，全社会80%的财富集中在20%的人手里，一个行业80%的市场被20%的头部公司占据，一家公司80%的生意来自20%的重点客户。

幂律分布魔鬼的一面

第一，幂律分布让平均值失去意义。

正态分布是一种均匀对称分布，大多数数据都集中在平均值附近，所以平均值非常有用，因为它代表大多数。而幂律分布，它的数据变化幅度非常大，平均值毫无意义。拿个人收入来说，有一贫如洗的穷人，也有富可敌国的富豪，把这两群人的资产平均起来完全没有意义。

财富服从幂律分布，是高度不对称的。

如果说正态分布是概率分布的神，构建了一个稳定的秩序，那幂律分布就是一个喜怒无常的魔鬼，让已有的秩序和工具全部失效，使一切变得难以捉摸。

第二，幂律分布让原本不会发生的极端事件发生。

在数学上，那些出现概率很低的极端数据叫长尾，也叫肥尾、厚尾。简单来说，这些极端数据出现的概率虽然很低，但这个值永远不会趋近于0，永远不会小到可以忽略不计。

这一点和正态分布不同，在正态分布里，数据非常集中，非常极端的数据几乎不可能出现，可以直接忽略不计。而在幂律分布里，再极端的数据都有出现的可能性。

第三，幂律分布完全不可预测。

幂律分布产生的原因

目前没有统一答案。

有一个观点是幂律分布给人类对抗熵增、对抗世界的宿命，提供了新的希望。

这里出现了一个熵增的概念。

熵最大原理

信息论中的熵是对信息不确定性的度量，熵最大原理则是指，一个孤立系统总是朝着不确定性最大的方向发展，也就是说，在一个孤立系统中，熵总是在不断增大的。

在均值和方差确定的条件下，信息熵最大的分布方式就是正态分布。如果熵不断增长是孤立系统确定的演化方向，那熵的最大化，即正态分布，就是孤立系统演化的必然结果。

无序是熵值最大，有序是熵值最小，所以这也说明，在无序到有序这个熵减的过程中，幂律分布必然发生。

如果说熵减是幂律分布产生的原因，那幂律分布就是我们对抗熵增的必经状态。

可能大家对这段熵增、熵减的描述不太明白，我曾在《王立铭进化论》中看到过熵增的概念，下面谈谈我的理解。

一个系统是朝着不确定性最大的方向发展，这叫熵增，熵增的结果是正态分布，但是生命的存在或一个系统的演化是有序的，所以需要熵减，从不确定性向有序，这时候幂律分布出现，也就是说因为有了幂律分布才阻止了正态分布。

我的这段理解可能错误，没事，以后我们还会讨论这个问题。

上期我们学习了正态分布，这期我们学习了幂律分布，现在我们对这两个重要的概率分布有了基本认识，之后我们还会讨论正态分布和幂律分布的应用。

继续推荐刘嘉老师的《刘嘉概率论通识讲义》。