时隔243年，欧拉的「三十六军官」排列问题，在量子态中得到解决

量子在解决数学问题中发挥了它们的魔法。

1779 年，瑞士大名鼎鼎的数学家莱昂哈德 · 欧拉（Leonhard Euler）曾提出一个问题：即从不同的 6 个军团（army regiment）各选 6 种不同军阶（rank）的 6 名军官（officers）共 36 人，排成一个 6 行 6 列的方队，使得各行各列的 6 名军官恰好来自不同的军团而且军阶各不相同，应如何排这个方队？历史上称这个问题为「三十六军官问题」。三十六军官问题提出后，很长一段时间没有得到解决。

图源：irishtimes.com

当有 5 个军阶和 5 个军团，或者 7 个军阶和 7 个军团时，这个难题就很容易解决。但欧拉没有找到三十六军官的解决方案，他得出结论：这样的排列是不可能的，尽管无法给出严格的证明。

一个多世纪后的 1901 年，法国数学家加斯顿 · 塔里（Gaston Tarry）证明，确实没有办法将欧拉的 36 名军官排列在一个 6×6 的正方形中而不重复，他写出了 6x6 正方形的所有可能排列，证明 36 个军官问题是不可能的。时间到了 1960 年，数学家们使用计算机证明了对于任何数量的军阶和军团问题，都有解决方案，除了 6 个军阶和 6 个军团。

200 多年来，这个谜题吸引了无数的数学家。他们制作了「魔方」，魔方由一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及每一条主对角线的和均相等；除此以外，还有研究者制作了「拉丁方阵」，这是一种 n × n 的方阵，在这种 n × n 的方阵里，恰有 n 种不同的元素，每一种不同的元素在同一行或同一列里只出现一次。

目前，流行着一种拉丁方阵，即数独 (Sudoku)，数独中也没有重复的符号。欧拉三十六军官问题要求一个「正交拉丁方阵」，需要满足两组属性，例如军阶和军团，都同时满足拉丁方阵的规则。

一个五乘五的网格可以填充五个不同等级和五种不同颜色的棋子，这样任何行或列都不会有重复的等级或颜色。

尽管欧拉认为不存在这样的 6×6 方阵，但这一结论正在发生变化。

在提交给《物理评论快报》的一篇论文《 Thirty-six entangled officers of Euler: Quantum solution to a classically impossible problem 》中，来自印度理工学院（马德拉斯理工学院校区）、雅盖隆大学等机构的一组量子物理学家证明，可以以符合欧拉标准的方式安排 36 名军官 ——只要军官可以拥有军阶和军团的量子混合。这是魔方和拉丁方阵的在量子版本的最新研究，这不仅是有趣的游戏，还可以应用于量子通信和量子计算。

论文地址：https://arxiv.org/pdf/2104.05122.pdf

因斯布鲁克大学的量子物理学家 Gemma De las Cuevas（她并没有参加这项研究）表示：「我认为他们的论文非常有意义，里面介绍了很多量子魔法。不仅如此，你还可以在整篇论文中感受到他们对这个问题的热爱。」

量子拉丁方阵概念的引入

在量子力学中，电子等物体可以处于多个可能状态的「叠加」中，这些状态可以是这里和那里，也可以是上下磁定向。量子物体在被测量前一直处于中间或不定的状态，测量后则处于一个状态。量子拉丁方阵也可以处于量子叠加的量子态。在数学上，量子态由一个向量来表示，这个向量像箭头一样有长度和方向。一个叠加即是结合多个向量组成的箭头。并且，类似于沿着拉丁方阵每行和每列的符号不重复的要求，沿着量子拉丁方阵每行或每列的量子态也必须对应彼此垂直的向量。

后来，量子拉丁方阵的特殊属性令一群理论物理学家和数学家非常感兴趣，并很快采用了这一概念。2020 年，法国数学物理学家 Ion Nechita 和 Jordi Pillet 创建了数独游戏（Sudoku）的量子版本——SudoQ。他们没有使用 0 到 9 之间的整数，相反 SudoQ 中的每个行、列和字方格都有 9 个垂直的向量。

Ion Nechita

这些进展令波兰雅盖隆大学的博士后研究员 Adam Burchardt（这项工作的共同一作）及其同事重新审视欧拉关于 36 军官方阵的古老谜题。他们想知道，如果欧拉问题中的军官是量子态的，又该如何呢？

Adam Burchardt

在该问题的经典版本中，每个条目（entry）都是具有明确军阶和军团的军官。将这 36 名军官想象成彩色的棋子很有帮助，他们的军阶可以是国王、王后、车、象、马或兵（国际象棋）。这些军官所属的军团可以用红色、橙色、黄色、绿色或紫色来表示。但在量子版本中，军官是由军阶和军团的叠加形成的，例如一名军官可以是红色国王和橙色王后的叠加。

至关重要的是，组成这些军官的量子态具有纠缠关系，它涉及到了不同实体之间的关联性。例如，如果一个红色的国王与橙色的王后纠缠在一起，那么即使国王和王后都处于多个军团的叠加态中，我们观察到国王是红色的，则会立刻知道王后是橙色的。正是因为纠缠的特殊属性，沿着每条线的军官都可以是垂直的。

用近似解和算法实现真正解

上述理论似乎有效，但为了证明这一点，研究者必须构建一个量子态军官组成的 6×6 方阵。大量可能的配置和纠缠意味着他们必须借助计算机。因此，研究者插入了一个经典近似解（由 36 名经典军官组成的排列，一行或一列中只有少数军官的军阶和团是重复的），并应用了一种算法，将排列调整为真正的量子解。该算法的工作原理有点像使用蛮力玩魔方，首先固定第一行，然后是第一列、第二列，以此类推。当他们一遍遍地重复该算法时，36 军官方阵谜题越来越接近真正解了。

最终，研究者得到了这种模式，并手动地填写了剩余少数条目。

从某种意义上来说，欧拉被证明是错误的，尽管在 18 世纪，他不可能知道量子军官存在的可能性。

「他们关闭了关于这个问题的书，这已经很好了，」Ion Nechita 说。「这是一个非常漂亮的结果，我喜欢他们获得它的方式。」

根据合著者、钦奈印度马德拉斯理工学院物理学家苏海尔 · 拉瑟的说法，他们的解决方案的一个令人惊讶的特点是，军官等级只与相邻等级（国王与皇后、白车与主教、骑士与棋子）纠缠在一起。与相邻团的团。另一个惊喜是出现在量子拉丁方格中的系数。这些系数本质上是告诉你在叠加中赋予不同项多少权重的数字。奇怪的是，该算法所采用的系数的比率是 Φ，即 1.618……，即著名的黄金比例。

该解决方案也被称为绝对最大纠缠态 (AME，Absolutely Maximally Entangled state)，这是一种关于量子对象的排列问题，在包括量子纠错在内的许多应用都很重要，例如在量子计算机中存储冗余信息的方式，这样即使数据损坏，信息也能保存下来。在 AME 中，量子对象的测量值应该存在比较强的相关性：我们以抛硬币来说，如果两个人（Alice、Bob）抛纠缠硬币，其中 Alice 抛硬币并得到正面，那么他定肯知道 Bob 是反面，反之亦然。两枚硬币可以最大限度地纠缠在一起，三枚也可以，但四枚不行：如果有两个人一起加入抛硬币，Alice 就永远不知道 Bob 得到了什么。

然而，新的研究证明，如果你有一组四个纠缠在一起的骰子，而不是硬币，它们可以被最大程度地纠缠在一起。六面骰子的排列相当于 6×6 量子拉丁方阵。由于解决方案中存在黄金比例，研究人员将其称为「黄金 AME」。

研究人员已经从经典的纠错码开始设计其他的 AME，并找到了类似的量子版本。但是新发现的黄金 AME 是不同的，它没有经典的加密模拟。Burchardt 认为这些发现可能是新的第一类量子纠错码。