快递包装箱的秘密

引言

近年来，由于互联网的飞速发展以及电商的大量涌入，网购已成为人们习以为常的生活方式。只要打开手机，你就能买到你想要的东西。大量的网购增加了人们对快递的需求，也促进了快递行业的迅速发展。如图 1 所示，我们对快递的需求量日益上升，预计 2020 年我国的快递量将突破 700 亿件。

图 1: 飞速增长的快递业务量

快递量几何级增长的同时，快递包装箱的消费量也十分惊人。自 2016 年起，我国每年都要消费百亿个包装箱。

图 2: 形形色色的包装箱（盒）

瓦楞纸板是最主要的快递包装材料。快递包装产生的纸张浪费和垃圾问题，开始成为城市治理的一个新难题。此外，从商家角度来讲，除了固定的商品和人工成本外，数以万计的快递包装箱也是一笔不小的开销。如何使用更少的瓦楞纸板来包裹更多的物品，这对于环境保护和商家的利益来讲都是非常重要的问题。本文以一个具体的问题为例，建立简单的数学模型，给出包装箱最经济的设计方案。

问题

逆疯快递打算为

公司设计一款如图 3 所示的瓦楞纸箱。

图 3: 瓦楞纸箱示意图

根据

公司的要求：该纸箱用于包裹体积为

的粉丝；纸箱底面必需为正方型；为了保护易碎的粉丝，纸箱的底面和顶面必须用双层瓦楞纸板制成。瓦楞纸板的市场价格大约为每平方米 0.8 元，逆疯快递如何设计该瓦楞纸箱才能使成本最低？

模型

基础模型

根据

公司的要求，纸箱的容积

是固定的，并且纸箱底面为正方型，即

。因此，可以在保持体积固定的情况下，优化纸箱的底面尺寸

和高度

来使纸箱的表面积最小。基于这个想法，我们首先定义出纸箱的体积因此有

。纸箱的底面和顶面的面积为

，侧面的面积为

。

图 4: 包装箱展开成平面

考虑到纸箱的底面和顶面必须用双层瓦楞纸板制成，如图 4 所示，纸箱的表面积为 因此，纸箱的材料成本为 其中

为单位面积的瓦楞纸板价格。将

代入上式消去

得 其中

元/平米，

。至此，我们得了纸箱的底面尺寸

和成本

的关系： 其中

。问题转化为求上式中的

使得

值最小。通过绘制函数

的图像（图 5），我们很容易确定出能使

值最小的

= 0.22 m，对应的单个纸箱成本为 0.45 元。

图 5: 基础模型中

与

的关系

如果学过函数的导数与极值，也可直接令函数

的导数为零来求函数的极值点。通过观察曲线，不难发现只要纸箱的底面尺寸在 0.15 至 0.3 米之间，纸箱的成本就能控制在 0.5 元以内。实际应用中，一个可接受的尺寸范围可能更为重要。厂商可以根据所要包裹的物品对纸箱的尺寸在一定范围内进行调整。

改进模型

在上文的基础模型中，我们直接把纸箱的体积看作容积，而并没有考虑纸板的厚度。

图 6: 纸版的厚度

实际上，纸箱的真实容积是小于其外观体积的（图 7）。

图 7: 纸箱的容积

对于大规模的工业生产，纸板厚度对容积的影响也许不能忽略。考虑纸板的厚度为

mm，注意在高度方向上有四层纸板，则纸箱的容积可表示为 因此有 我们将

代入表面积公式，可得纸箱的材料成本为

如果上式中的

，模型即退化为不考虑纸板厚度的基础模型。代入纸板价格

元/平米，厚度

m，纸箱容积

，可得纸箱的底面尺寸

和成本

的关系： 重新绘制函数

的图像（图 8），可以确定出能使

值最小的

= 0.23 m，对应的单个纸箱成本为 0.50 元。这与基础模型给出的结果相差 0.05 元。

图 8: 改进模型中

与

的关系

对于大规模的工业生产，这个差别是不可忽略的。通过观察曲线，我们发现只要纸箱的底面尺寸在 0.17 至 0.3 米之间，纸箱的成本都能控制在 0.55 元以内。

实践

在上文的模型中，我们对固定容积的纸箱尺寸进行了优化，使其表面积最小。生活中，纸箱（盒）随处可见。大到冰箱洗衣机的外包装，小到蛋糕的外包装。我们可以找出一两个纸箱进行拆解。

图 9: 长方体展开成六个面

直观感觉长方体的包装盒可以展开成六个面（图 9），但实际拆解完会发现可能并不止六个面（图 10）。

图 10: 拆解和还原纸盒包装

此外，我们也可以用纸张制作出各种形状的包装盒。图 11 和 12 分别是方形礼品包装盒和三角蛋糕包装盒的制作图纸。

图 11: 方形礼品包装盒

读者可以根据上面的模型结果设计出类似的图纸（可适当等比例缩小尺寸），并根据设计的图纸制作出包装盒。

图 12: 三角蛋糕包装盒

通过观察和动手制作，你一定会发现用于制作包装盒的纸板并不止我们看到的六或八个面（本文的问题中，纸箱上下面为双层），还有用于粘贴或卡扣的窄边。在大规模的工业生产中，这些窄边的面积也不能忽略。根据这一点可以进一步对模型进行改进。

结论

本文通过建立纸箱的成本和体积模型，绘制纸箱尺寸与成本的曲线，找出了固定体积下最节约纸张的纸箱尺寸。此外，我们还考虑了纸板厚度的影响。结果表明，考虑了纸板厚度的成本比未考虑的高出 10%。因此在大规模的工业生产中，纸板厚度对容积的影响也是不能忽略的。

根据

公司的要求，我们的模型最终给出的设计方案为：底面长宽

=

= 0.23 m，高

= 0.45 m。相应的成本为 0.50 元。在实际应用中，纸箱底面的尺寸只要在 0.17 至 0.30 米之间，纸箱的成本都能控制在 0.55 元以内。厂商可以根据所要包裹的物品对纸箱的尺寸在一定范围内进行调整。

参考资料[1]

绿色和平、摆脱塑缚. 中国快递包装废弃物产生特征与管理现状, 2019:https://www.greenpeace.org.cn/wp-content/uploads/2019/11/中国快递包装废弃物产生特征与管理现状研究报告-.pdf

[2]

MathsIsFun. Mathematical models, 2017:https://www.mathsisfun.com/algebra/mathematical-models.html.

[3]

Template maker, 2019:https://www.templatemaker.nl