MATLAB中的机械臂算法

目录

1. 机械臂算法简介

2. 运动学部分

2.1.1. Rigid Body Tree (刚体树)

2.1.2. 反向运动学算法

2.1.3. Simulink示例

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机械臂算法简介

MATLAB在2016年就推出了Robotics System Toolbox(RST)，其中有很多关于机械臂方面的算法。而且随着客户需求的增加，也在加入一些新的功能。为了试图让读者了解更多RST在机械臂方面的支持，让我们来看一下机械臂方面的算法概貌。

这些名词听起来都比较深奥，但是在机械臂的世界里，这些都非常有用。让我们看一个简单的例子。下图是一个简单的机械臂示意：机械臂的end-effector(末端机构)受到4个旋转关节和3个连杆的共同作用，可以到达不同的作业地点，也可以处于不同的旋转角度。

为了分析end-effector的具体位置和角度，我们看到：它相对底座开始，做了4次旋转(rotation)和3次转置(translation)。那这4次旋转和3次转置的总和，我们可以用一个矩阵来表示：

这个矩阵也叫Homogeneous Transformation（齐次变换）。有时候，对于旋转会有不同的表达方式，例如欧拉角(Euler Angles)、四元数(Quaternion)、旋转矩阵(Rotation Matrix)等等；表达转置，也可使用转置向量(Translation Vector)。有了RST这些都可以轻松通过不同的函数进行互换。下图为具体的函数列表：

例如：

将欧拉角转为Homogeneous Transformation。

由于机械臂的连杆长度是已知的，只要确定了各个关节转动的角度，我们就可以确定end-effector的最终位置和方向。这个我们称之为forward kinematics(正向运动学)。

反过来，如果我们知道了end-effector的最终位置和方向，我们也可以推导各个关节的角度，这个我们称之为inverse kinematics(反向运动学)。机械臂关注的主要是反向运动学。

如果end-effector，需要走一段比较长的路程(path)，从甲点运行到乙点。我们为了使得机械臂的end-effector 的路径平滑，需要规划一系列的路径点(waypoints)，这个我们叫做路径规划(trajectory planning)或者叫运动插补(interpolation)。

例如下图：蓝色的曲线叫path，而各个时间经过的路径点叫trajectory。如何设计经过这些路径点的trajectory，比较显而易见的指标是 “平滑” 。那什么是 “平滑” ，它可能意味着 “速度连续” 、 “加速度连续” 、 “没有顿挫” 等等。这些指标，都会转化成数学算法。RST也会有相应的算法支持，作者在MATLAB 2019a发布后，会另外写文章描述。

机械臂的关节位置我们一般用电机来驱动。电机通过产生力矩来转动机械装置，驱动机械臂。不同场合或者时机，需要的力矩不尽相同。

例如：

机械臂水平放置的时候需要关节电机产生力矩来抵消地球引力；

当机械臂需要迅速移动的时候，需要的力矩比缓慢移动的要大，当机械臂弯曲或者平展时候，重心发生变化，由于惯量(I = mr²)的不同，需要的关节力矩也不相同；

另外，在很多场合，机械臂需要和人交互(collaborative robots)，在碰到人体的时候，需要做出安全的保护动作，并对力矩进行调整。

这些需要考虑力矩的因素，我们称之为动力学(dynamics)。和运动学类似，动力学分为正向动力学(forward dynamics)和反向运动学(inverse dynamics)。RST里支持两种都有相应的MATLAB函数和Simulink block。作者也会另外写文章详细介绍RST关于动力学的部分。

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运动学部分

2.1.1

Rigid Body Tree (刚体树)

我们说研究运动学(主要是反向运动学)，就是研究end-effector的位置改变会带动各个关节的角度如何改变。RST用Rigid Body Tree这样一个对象，在这个对象上可以使运动学设计易用且可视化。下图展示了机械臂的刚体树样例，可以在MATLAB界面中展示各个body的详细参数。

一般来说，Rigid Body Tree都是直接从机械臂的CAD文件或者URDF(Unified Robot Description Format)文件导入。不过，也支持每个body的逐步添加。

我们随便敲几行MATLAB命令：

robot = importrobot('iiwa14.urdf');

show(robot);

让我们来改变一下机器人的各个关节角度(configuration)，比如让MATLAB自动给一个随机角度配置，再看一下结果。显然各个角度发生了变化。

q=randomConfiguration(robot);

show(robot,q);

我们看看这个机械臂最末端的end-effector是什么?

showdetails(robot)

我们再看看end-effector相对机器人底座(base)的Homogeneous Transformation(相对位置和角度)。

2.1.2

反向运动学算法

反向运动学算法求解分两种，一种是分析解法(Analytic solutions);一种是数值解法(Numerical solutions)。MATLAB用的是数值解法，可以理解为迭代寻优，或者近似解。

MATLAB里面的反向运动学求解器(solver)有两个：

1. Inverse Kinematics

2. Generalized Inverse Kinematics

两者的区别是，后者比前者多了很多限制(constraints) 。例如end-effector的方向限制、机械臂各个关节的角度限制、位置限制等等。

我们先看一下比较简单的Inverse Kinematics

这是一个6轴机器人，end-effector是L6。

randConfig = puma1.randomConfiguration;

tform = getTransform(puma1,randConfig,'L6','base');

show(puma1,randConfig);

我们想要的最终结果就是下图：

tform是L6相对base的位置和方向(合称pose)。

下面的MATLAB代码是计算出最终的各个关节的角度(configSoln)，由于是用了迭代的数值解法，weights为权重，initialguess为给出一个初始估计。

ik = robotics.InverseKinematics('RigidBodyTree',puma1);

weights = [0.25 0.25 0.25 1 1 1];

initialguess = puma1.homeConfiguration;

[configSoln,solnInfo] = ik('L6',tform,weights,initialguess);

我们再看一下比较复杂的Generalized Inverse Kinematics:

下面的代码，做了这么几件事情：

a) 导入了一个7自由度的rethink机械臂 -- sawyer

b) 设定反向运动学的求解限制 – 例如机械臂的end-effector永远指向地面的一个物体

c) 对反向运动学进行求解

sawyer = importrobot('sawyer.urdf', 'MeshPath', ...

fullfile(fileparts(which('sawyer.urdf')),'..','meshes','sawyer_pv'));

gik = robotics.GeneralizedInverseKinematics('RigidBodyTree',sawyer, ...

'ConstraintInputs',{'position','aiming'});

% Target Position constraint

targetPos = [0.5, 0.5, 0];

handPosTgt = robotics.PositionTarget('right_hand','TargetPosition',targetPos);

% Target Aiming constraint

targetPoint = [1, 0, -0.5];

handAimTgt = robotics.AimingConstraint('right_hand','TargetPoint',targetPoint);

% Solve Generalized IK

[gikSoln,solnInfo] = gik(sawyer.homeConfiguration,handPosTgt,handAimTgt)

show(sawyer,gikSoln);

如果我们加一段end-effector位置变化后，调用这段代码的动画效果，你会发现end-effector的指向没有变化 – 带限制的反向动力学求解成功了：

2.1.3

Simulink示例

在安装RST之后，Simulink的library里就会出现几个和机械臂(manipulator)相关的block：其中Inverse Kinematics就是反向运动学block，其他的一些模块顾名思义和动力学有关，在下一篇文章我会重点介绍。

在MATLAB Central File Exchange上搜索“Designing Robot Manipulator Algorithms”，这是一个基于Simulink和Stateflow的例子。我们先看一下运行结果：

这个例子展现了机械臂的end-effector抓了红色物体，沿着规划好的紫色trajectory，进行运动。下图的stateflow状态机是一个trajectory tracking的算法，它的作用是确保end-effctor沿着预设的trajectory运行。

状态机下面的是运动控制部分和环境和物理模型。运动控制很简单 – 直接计算反向运动学，将算好的关节角度交给物理模型去展现。物理模型构建也很简单 – 用SimScape中的SimMultibody直接导入机械臂的URDF文件即可。

这里可以看到物理模型并没有包含伺服电机，而是“透明传输”— 反向运动学的结果直接发给了机械模型去展现。实际上真实的运动控制器会将位置、速度、力矩指令通过伺服总线(例如EtherCAT)发给每个关节的电机去执行，电机通过减速器去带动机械结构。

例如

一个6轴机械臂会有6个伺服电机，运动控制器会将运动过程解析为6个电机可以理解的位置、速度、力矩指令。如果想对机械模型+电机模型+电机控制+运动控制 有深入了解，可以在MathWorks官网搜索“How a Differential Equation Becomes a Robot”。这是一个系列视频，将对上述技术点进行顺序讲解。

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