从数学的角度解释只需一勺就知道整锅汤味道如何的原因

终于要学习推断统计学啦！推断统计和品尝味噌汤是一个道理。不论是谁，放好作料后，都会用汤勺等工具舀一小勺尝尝味道如何。通过这种方法判断汤的问题，前提是汤勺舀起的那部分汤，味道要与整锅汤的味道相似，这样尝味道才有意义‍‌‍‍‌‍‌‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‌‍‍‌‍‌‍‌‍。

在统计学中，所有数据“没有集中偏向某一方”的分布叫作正态分布（超出初中数学范围）。

全数调查与抽样调查

首先我们来整理一下下列词汇的意思。

全数调查

对需要调查的对象进行逐个调查

（例）人口普查、健康诊断

抽样调查

调查总体的一部分，从而推测出总体的状况

（例）民意调查、收视率、家电茶品的耐久检查

·总体：在抽样调查中，作为调查对象的总体

·样本：在抽样调查中，从总体中抽取的部分

·样本的容量：样本的个数

其实，初中数学的内容到这里已经结束了，但如果就此打住，大家就不会明白为什么通过抽样调查能推测出整体状况了，所以我想给各位成年人读者讲解一下后面的知识。

不过，这些内容不属于初中数学范围，所以没有兴趣的读者可以跳过。

正态分布（超出初中数学范围）

之所以会通过样本了解总体，是因为我们了解的正态分布是比较常见的分布状况。正态分布是指，生物的身高、工厂里出现不良品的频率等数据的柱状图中出现的山形分布。

在调查硬币出现正面的次数时，有人发现了这个规律，扔硬币的次数越多，柱状图的形状就越容易确定下来。对于不可预测的现象，只要采用大量的数据，柱状图就会呈现出“美丽的山形”，数学家柯尔莫哥洛夫在20世纪初做出了证明（中心极限定理）。

之前看到的柱状图都是柱形图，如果将组段的幅度压缩到最小，那么图像就是一条平滑的曲线，此时正态分布可以用下面这个复杂的式子表示。

x是数据的值，σ是标准差，μ是平均值，e是自然对数的底数（常数2.71828……）。

但是，当平均值（μ）为0，标准差（σ）为1时，

如此一来，式子就变得简单多了，图像如下，线条是不是很优美？这种分布就叫作标准正态分布。

看到这里你是不是看不下去了？请放心！为了让更多人能够利用统计，复杂的计算都是由专家们完成的，因此，我们无需掌握上述函数的计算方法。

目前，我们已经对标准正态分布有了一定的认识，这就够了。

标准正态分布的特征

所有数据的95%处在-1.96≤x≤1.96区间。

本应是柱状图的正态分布图的面积，之所以可以从概率的角度思考，是因为各个数据都是“一样的”。在标准正态分布和其他概率密度函数（柱状图中的组段幅度缩小到极限后的曲线式子）中，

面积=比例=概率

这个关系式是成立的。

这就是原因！因为我们认识到这一点，所以才会只依靠样品就做出判断。或许有人会提出疑问：

“可是，数据即便是正态分布，也未必是标准正态分布吧？”

能提出这种疑问的人，真的是相当敏锐啊！确实，一般的正态分布不是标准正态分布，但是，我们可以通过简单的计算，将一般的正态分布改成标准正态分布（平均值为0，标准差为1的正态分布）。

我们来试一下吧。

假设有个数据集X。

之后的2页都是算式的罗列，请忍耐一下。不过，如果你能认真读完并理解这2页的算式，那么你的计算能力就是高中级别了。

假设X=

先计算X的平均值μ，

从X的各个数据中减掉μ，得出一个数据集Y。

Y=X-μ={-20、-10、0、10、20}

Y的平均值μ就是，

从数据X中减掉它的平均值后得到数据Y，这时数据Y的平均值为0。

接下来，我们用算式证明一下。

接下来计算数据X的标准差σ，

现在设Y除以σ后得到的数据集为Z。

因为Y的平均值为0，所以要注意Z的平均值也为0，然后求出Z的标准差σ，

标准差为1！也就是说Z是平均值为0，标准差为1的数据集！

数据集X的平均值为μ，标准差为σ时，

Z就是平均值为0，标准差为1的数据集！

这个我也证明一下吧。

值得高兴的是，正态分布的数据都可以变形成标准正态分布，所以在各种各样的数据集之中，都能使用标准正态分布的性质。