乌龟编程精讲版-61

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万花尺，也叫繁花曲线规，是一种绘图玩具。相信许多人小时候都玩过！它由外图板及内圆图板两部分组成。内圆图板像一个齿轮，沿圆心不同半径的位置带有许多笔洞，外图板为一类似为内齿轮的大型圆孔，内圆板放在外图板的圆洞中，循着圆周转动，以铅笔或圆珠笔从笔洞可以画出像花朵一样规则图案。

万花尺画图中

万花尺配和不同半径的内圆图板，可以画出各种各样美妙的图案。回想起我们本系列教程前面给大家介绍的各色spiral螺旋线的画法，其实和这个万花尺的效果差不多。所以，我们今天就用turtle模块来模拟万花尺的效果，让turtle小乌龟代替万花尺画出各种各样的神奇图案。

数学方程

万花尺画出的复杂而奇妙的对称曲线，其实是可以用“数学方程”来表示的。有一种叫做“参数方程”——什么是“参数方程”呢？定义并不重要，举例来说，比如考虑用半径r来描述一个圆的方程，圆心位于二维平面坐标的原点(0,0)。x、 y坐标满足该方程的所有点构成了圆。于是这个半径为r的圆形我们就可以用下面这样一个“参数方程”来表示：

圆心在原点的圆参数方程

圆的参数方程就是上面了——其中角θ是参数。这方程中（ X， Y）的任何值都满足圆的方程X2 + Y2= R2（这个称为圆的“直角坐标方程”）。如果让θ从 0 变到 2π（是弧度，等于角度0到360度），就可以用这个方程来计算圆上对应的x和y坐标。

圆心在原点的圆参数方程

大家要了解的是：上面这两个方程适用于圆心在坐标系原点的圆。将圆心转换到任意点比如(a, b)，就需要修改一下上面的方程了。最终更一般的圆参数方程就变成x = a + r cos(θ)和y = b + r cos(θ)。现在，让我们先让小乌龟来画出这个圆。

小乌龟来画圆

画圆，你会说：太简单了！一个命令circle就可以了！但今天我们偏不要这么画，因为我们要给大家展示的就是“参数方程”——我们要用上面更一般的圆的参数方程来指挥“乌龟”画画。我们要实现的是：在坐标系任意一个位置(x,y)处画一个半径为r的圆形。代码见下面。

任意位置画圆的代码

上面我们建立了一个叫做drawCircleTurtle(x,y,r)的函数——第6行是先让小乌龟走到起点位置（想想起点位置为什么是x+r,y呢？），然后写一个for循环（0到365度，每5度一个阶梯往上涨），第9行将圆形的“角度”i转换成“弧度”a（因为一般计算机只认识弧度），第10行的代码的设置位置函数setposition里的两个公式是不是很熟呢？对了，就是上面说的圆的参数方程：x = a + r cos(θ)和y = b + r cos(θ)。

运行的结果怎么样呢？你可以试一下。很简单的一个圆形是不是就出来了呢！但仔细想一想：利用前面的参数方程计算圆的每个点坐标（每5度取一个点），依次设置相应的海龟位置（用setposition函数），这样就从海龟上一个位置画线到新计算的位置，但从技术上讲，我们产生的是 N 边多边形，但因为用了很小的角度（每5度取一个点）， N 将非常大，多边形看起来像一个圆，是这样吧？

万花尺的参数方程

方程确实是个很伟大的东西，上帝创造人类的时候可能用的就是方程呵，因为方程几乎可以描述任何东西——我们称为“建模”，我们将万花尺用“参数方程”表示出来，然后不就可以用turtle让它画各种美妙的图形了吗？下面的图形展示了类似万花尺运动的数学模型。

万花尺的简化模型

在图中，C是较小的圆的圆心，P是笔尖。较大的圆半径为R，较小的圆半径为r。半径之比表示如下：

将线段PC与小圆半径r之比作为变量l（l = PC / r），它决定了笔尖离小圆圆心有多远。然后，组合这些变量来表示P的运动，得到如下的参数方程：

万花尺的参数方程

上面的参数方程希望不要吓到你！看起来很难的样子其实它应该说比较容易。如果你对数学很感兴趣那你可以搜索"维基百科"看下它的推导过程。不是很难哦（网址是https://en.wikipedia.org/wiki/Spirograph，）这里我们不再推导了。

看到上面的万花尺参数方程，我们需要知道的是：它的参数就是3个：R，r，和l。当我们定了上面的三个参数就会产生一条曲线；如果我们改变上面的3个参数，就又产生了各种变化无穷的迷人曲线！

真正玩过万花尺就知道，万花尺可能需要许多转数来完成一个完整的图案。那什么时候停止绘图呢？就要利用万花尺的周期性（即万花尺图案多久开始重复），研究内外圆的半径之比：

分子分母除以它们的最大公约数（ GCD），化简该分数，分子就告诉我们需要多少圈才能完成曲线了。而化简后的分母告诉我们小圆围绕其中心旋转的圈数，它提示了曲线的形状。

你的万花尺来了

好了，你根本不用买万花尺了。根据上面万花尺的参数方程，我们用turtle模块就能简单的写出下面的代码了：

万花尺代码

随意改变spiroDrawing(R,r,l)函数中的三个参数吧，你就能画出各种奇妙的图形来了，比如下面这些。自己改变三个参数，画出更多美丽的图案，have fun!