从极小到无穷小的思维突破，是连接离散与连续的桥梁

今夜，当我们仰望夜空，遥望那浩瀚的星河，我们不禁要问：宇宙到底有多大？宇宙的边缘到底在哪里？我们的心底出现两个字——“无穷”！

在遥远的古代，人类的先行者，也像我们今晚一样，仰望夜空，对“无穷”的宇宙充满了敬畏，陷入了深深的思考。

当我们人类的先行者面对大自然不可抗的强大力量时，一切归都于“神”的惩罚或恩赐。

直到被誉为“科学之祖”的泰勒斯出现，人类第一次用“科学”替代了“神学”，从此，人类文明走向了正确的光明大道。

泰勒斯在那夜，仰望夜空，发出了灵魂之问：“世界的本源是什么？”

他的学生毕达哥拉斯回答：“万物皆数（指整数）”。他所创立的“毕达哥拉斯学派”在他的那个时代，将人类文明推向了一个新的高度。

毕达哥拉斯带着门徒们在沙滩上用石子排出各种各样的数列，并且认为构成自然数列的相邻整数是“连续的”和“无穷的”，世界由整数或整数的比构成。

但是，当毕达哥拉斯将“万物皆数（指整数）”作为学派至高无上且不容违抗的信条时，从“神”的极端走向了另一个极端——“数”。

当学派的门徒希帕索斯意外发现了无理数“根号2”，并公诸于众之后，被以违反学派信条的罪名，被残忍地抛入了大海。

随着“根号2”的发现，如同一颗巨石投入了平静的湖面，一石激起千层浪，第一次数学危机爆发了。

人们第一次发现，自然数列是“离散的”而不是“连续的”，两个相邻的整数之间，还存在着其它的数。

那么原本人们认为的“万物皆数（指整数）”所对应的世界本原，到底是“离散的”还是“连续的”呢？

数十年之后，芝诺提出了著名的“芝诺悖论”——“飞矢不动”悖论。

“飞矢不动悖论”是这样的：

设想一支飞行的箭，在任何给定的瞬间，飞箭都会占据一个与它自身等长的空间。

在这个瞬间，它是静止的（因为它没有时间移动到另一个位置）。

既然运动路径上的每一个“瞬间”箭都是静止的，那么整个飞行过程中，箭也始终是静止的。因此，运动是不可能的。

这是第一次关于“极小”与“无穷小”的朴素的认识，此时，二者并没有被严格的区分开来。

同时也是第一次关于“时间”、“空间”到底是“离散”的还是“连续”的最早的追问。

在此前后很长的一段时间里，人们对“无穷”的认识一直存在着激烈的对立与讨论。

最早的系统性的讨论“无穷问题”始于亚里士多德，而实际应用则可追溯到德谟克利特和阿基米德。

亚里士多德在《物理学》中明确区分了“潜无穷”和“实无穷”。

他认为“潜无穷”是存在的，例如将一条线段不断地一分为二，它是一个永远在进行的、未完成的状态。

但是他坚决否认“实无穷”的存在。比如宇宙在人类看来是“无穷的”，但是如果站在上帝的视角，宇宙也是有限的，所以他认为“实无存”是不存在的。

亚里士多德的“潜无穷”观念统治了西方数学界近两千年。

在这漫长的近两千年里，“无穷”只是做为一种观念存在，并不参与“数学运算”。

直觉主义流派代表人物布劳威尔反对“实无穷”，认为无穷是潜在的可能性，并反对在无穷集合中使用排中律。

持此“实无穷”观点的最早的代表是柏拉图。

直到时间来到17世纪晚期，莱布尼茨与牛顿分别发明了“微积分”，将“无穷小”作为最基本的量进行数学运算。

一直被人们所忌惮的“无穷”概念大模大样的走进了数学殿堂。

在微积分出现之后，在很长一段时间依然没有严格区分开“极小”与“无穷小”的概念：对于“无穷小量”是不是“0”的问题一直模糊不清。

莱布尼茨、欧拉等人将“无穷小量”视为一个非常非常小、但又不是零的固定量。

在计算导数时，他们可以随意让无穷小量做分母，然后在最后一步又宣称它“等于零”而被舍弃。

这在逻辑上是矛盾的，饱受贝克莱主教等人诟病，称之为“逝去量的鬼魂”。

高斯在哲学上反对“实无穷”，他更倾向于“潜无穷”。

他认为无穷是一个威力强大但危险的工具，因此，他会避免直接对“无穷”进行运算。

并且公开并强烈反对滥用“无穷级数”。他批评那些对“发散级数”的随意操作，是“数学中魔鬼的发明”。

这时，柯西也反对将“无穷”作为一种可以直接进行代数运算的、既“非零”又非“非零”的“形而上学实体”。他通过构建以“极限”为核心的理论体系，将其重新定义为一种描述“变量变化”趋势的“动态过程”。

通过以柯西为主的数学家们的努力，如野马一样奔驰在数学草原上的“无穷小量”被彻底驯服，将“微积分”的底层逻辑进行“严格化”，成长为今天的“数学分析”。

“无穷小量”通过用“极限”的概念严格化，也间接地回答了遥远的“芝诺悖论”中的“飞矢不动”悖论。

至此，在数学里，无穷个“无穷小量”构成了“连续的”整体。

但是与之对应的现实世界，是否也是如此呢？

在今天，随着量子力学的发展，人们发现，从宏观来看，世界是“连续的”，但是从微观来看，却是“离散的”。