真的惊呆了！秒杀：圆中线段乘积为定值问题，这样的辅助线有几人能瞬间添加？

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解决圆中线段乘积为定值问题主要有以下几种方法。

其一为利用相似三角形。

通过寻找或构造圆中的相似三角形，依据相似三角形对应边成比例的性质，把要求证的线段乘积转化为与已知线段或定值相关的比例关系，进而证明其为定值。

这种方法关键在于准确地找到或构造出合适的相似三角形，通常需要借助圆的性质，如圆周角定理等，找到相等的角，从而确定相似关系。

在圆中高效地添加辅助线以构建相似三角形，可从以下几方面入手。

首先，利用直径所对的圆周角是直角这一性质。当圆中出现直径时，可连接直径所对的圆周角，得到直角三角形。然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等，找到其他相等的角，从而构建相似三角形。

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其次，关注圆的切线。当有圆的切线时，常连接切点与圆心，得到垂直关系。再通过连接圆上其他点与切点或圆心，利用弦切角定理等，找到与已知角相等的角，进而构造相似三角形。

再者，对于圆内的相交弦，可尝试连接弦的端点与圆上其他点，通过圆周角定理得到相等的角，以此构建相似三角形。

另外，在圆内接四边形中，可连接四边形的对角线，利用圆内接四边形的性质，即对角互补，再结合其他角的关系，构造出相似三角形。

还可以根据已知条件和所求问题，灵活地作平行线。通过作平行线，可得到同位角、内错角相等，从而为构建相似三角形创造条件。

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总之，要熟练掌握圆的各种性质定理，结合已知条件和图形特点，有针对性地添加辅助线，以高效地构建相似三角形，解决相关问题。

其二是相交弦定理。当圆内有两条弦相交时，被交点分成的两条线段长的积相等。

利用此定理，若能确定相交弦以及它们被交点所分的线段长度，就可以直接得出线段乘积为定值的结论，应用时需明确相交弦的位置和各线段的对应关系。

其三切割线定理及其推论也是常用方法。

切割线定理指出从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；

其推论为从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

在已知圆外一点与圆的切线、割线等相关线段长度时，可借助该定理及推论来证明线段乘积为定值，要注意区分切线和割线的不同情况。

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其四托勒密定理同样可用于解决此类问题。对于圆内接四边形，两对对边乘积之和等于两条对角线的乘积。

当四边形的某些边长度固定时，利用该定理可得到线段乘积之间的定值关系，运用时需先判断四边形是否为圆内接四边形。

此外，还可以建立坐标系，运用解析几何的方法。（初中不做要求）

通过建立适当的平面直角坐标系，将圆以及相关点、线段用坐标表示，再结合直线方程、圆的方程和两点间距离公式等，把线段乘积表示为坐标的表达式，经过计算和化简来证明其为定值。

这种方法需要较强的坐标运算能力和方程处理技巧。

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