文心一言 VS 讯飞星火 VS chatgpt （394）-- 算法导论25.1 8题

九、修改 FASTER-ALL-PAIRS-SHORTEST-PATHS ，使其可以判断一个图是否包含一个权重为负值的环路。如果要写代码，请用go语言。

文心一言：

要判断一个图中是否包含一个权重为负值的环路，可以修改 Floyd-Warshall 算法（也称为 FASTER-ALL-PAIRS-SHORTEST-PATHS），在算法的执行过程中检查是否出现了负权重的环路。

Floyd-Warshall 算法的基本思想是通过逐步考虑图中的每个顶点，来更新所有顶点对之间的最短路径。如果在更新过程中发现某个顶点对的最短路径通过某个中间顶点变得比原来的直接路径更短（并且路径的权重和仍为负值），则可能存在负权重的环路。

以下是一个用 Go 语言实现的代码示例，该代码可以判断图中是否包含一个权重为负值的环路：

package main

import(

"fmt"

"math"

)

const INF = math.MaxInt32

func containsNegativeWeightCycle(graph [][]int)bool{

n :=len(graph)

dist :=make([][]int, n)

for i :=range dist {

dist[i]=make([]int, n)

for j :=range dist[i]{

dist[i][j]= graph[i][j]

}

}

for k :=0; k < n; k++{

for i :=0; i < n; i++{

for j :=0; j < n; j++{

if dist[i][k]!= INF && dist[k][j]!= INF && dist[i][k]+dist[k][j]< dist[i][j]{

if dist[i][j]>0&& dist[i][k]+dist[k][j]<0{

// 发现一个负权重的环路

returntrue

}

dist[i][j]= dist[i][k]+ dist[k][j]

}

}

}

}

// 进一步检查是否存在从某个顶点到自身的负权重路径（除了直接连接的边）

for i :=0; i < n; i++{

if graph[i][i]!=0&& dist[i][i]<0{

returntrue

}

}

returnfalse

}

func main(){

// 示例图（邻接矩阵表示法）

// 0 表示没有直接路径，其他数值表示边的权重

graph :=[][]int{

{0,3, INF,-1},

{2,0, INF, INF},

{INF,-4,0,1},

{INF, INF,2,0},

}

if containsNegativeWeightCycle(graph){

fmt.Println("图中包含一个权重为负值的环路")

}else{

fmt.Println("图中不包含权重为负值的环路")

}

}代码说明：

1.INF：表示无穷大，用于表示两个顶点之间没有直接路径。

2.containsNegativeWeightCycle：这是主要的函数，它使用 Floyd-Warshall 算法来计算所有顶点对之间的最短路径，并检查是否存在负权重的环路。

3.graph：图的邻接矩阵表示法，其中graph[i][j]表示顶点i到顶点j的边的权重。如果没有直接路径，则用INF表示。

4.dist：用于存储中间结果的最短路径矩阵。

5.三重循环：标准的 Floyd-Warshall 算法结构，用于更新所有顶点对之间的最短路径。

6.负权重环路检测：如果在更新过程中发现某个路径dist[i][k] + dist[k][j]比dist[i][j]更短，并且路径权重和为负值，则存在负权重的环路。

7.直接连接的负权重边：最后一步检查图中是否存在直接连接的负权重边，这些边也可能构成负权重的环路（尽管在这个例子中，这种检查可能是多余的，但为了确保完整性，还是保留了）。

注意事项：

• 该代码假设输入的图是合法的，即没有重复的边和自环（除了直接连接的负权重边）。

• 如果输入的图包含自环（且权重不为 0），则需要在初始化dist矩阵时特别处理这些自环。

希望这个示例能够帮助你理解如何修改 Floyd-Warshall 算法来检测负权重的环路。

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述讯飞星火：

要修改 FASTER-ALL-PAIRS-SHORTEST-PATHS 算法以检测图中是否存在负权重环路，我们可以使用 Bellman-Ford 算法。Bellman-Ford 算法不仅能够找到单源最短路径，还能检测图中是否存在负权重环路。

以下是用 Go 语言实现的代码：

package main

import(

"fmt"

"math"

)

// Edge represents an edge in the graph

typeEdgestruct{

src, dest, weight int

}

// Graph represents a graph with a list of edges

typeGraphstruct{

vertices int

edges    []Edge

}

// NewGraph creates a new graph with a given number of vertices

func NewGraph(vertices int)*Graph{

return&Graph{

vertices: vertices,

edges:[]Edge{},

}

}

// AddEdge adds an edge to the graph

func (g *Graph)AddEdge(src, dest, weight int){

g.edges =append(g.edges,Edge{src, dest, weight})

}

// BellmanFord detects negative weight cycles and finds shortest paths from a single source

func (g *Graph)BellmanFord(src int)([]float64,bool){

distance :=make([]float64, g.vertices)

for i :=range distance {

distance[i]= math.Inf(1)

}

distance[src]=0

// Relax all edges |V| - 1 times

for i :=0; i < g.vertices-1; i++{

for _, edge :=range g.edges {

if distance[edge.src]!= math.Inf(1)&& distance[edge.src]+float64(edge.weight)< distance[edge.dest]{

distance[edge.dest]= distance[edge.src]+float64(edge.weight)

}

}

}

// Check for negative weight cycles

for _, edge :=range g.edges {

if distance[edge.src]!= math.Inf(1)&& distance[edge.src]+float64(edge.weight)< distance[edge.dest]{

returnnil,true// Negative cycle detected

}

}

return distance,false

}

func main(){

graph :=NewGraph(5)

graph.AddEdge(0,1,-1)

graph.AddEdge(0,2,4)

graph.AddEdge(1,2,3)

graph.AddEdge(1,3,2)

graph.AddEdge(1,4,2)

graph.AddEdge(3,2,5)

graph.AddEdge(3,1,1)

graph.AddEdge(4,3,-3)

distances, hasNegativeCycle := graph.BellmanFord(0)

if hasNegativeCycle {

fmt.Println("Graph contains a negative weight cycle")

}else{

fmt.Println("Shortest distances from source:", distances)

}

}解释：

1.Graph 结构：定义了一个图的结构，包含顶点数和边的列表。

2.NewGraph：创建一个新的图实例。

3.AddEdge：向图中添加一条边。

4.BellmanFord：实现了 Bellman-Ford 算法，用于检测负权重环路并计算从源点到所有其他顶点的最短路径。如果检测到负权重环路，返回true，否则返回false。

5.main：创建一个示例图并调用BellmanFord方法来检测负权重环路并输出结果。

这个实现可以检测图中是否存在负权重环路，并在没有负权重环路的情况下计算从源点到所有其他顶点的最短路径。

360智脑：

要在FASTER-ALL-PAIRS-SHORTEST-PATHS算法中添加检测负权重环的功能，我们可以利用 Floyd-Warshall 算法的一个变种。Floyd-Warshall 算法本身可以用于计算所有节点对之间的最短路径，并且在迭代过程中可以检测到负权重环。

以下是用 Go 语言实现的代码：

package main

import(

"fmt"

"math"

)

const(

INF = math.MaxInt64

)

// Function to detect negative weight cycles using a modified Floyd-Warshall algorithm

func hasNegativeWeightCycle(graph [][]int)bool{

n :=len(graph)

dist :=make([][]int, n)

for i :=range dist {

dist[i]=make([]int, n)

copy(dist[i], graph[i])

}

// Run the Floyd-Warshall algorithm

for k :=0; k < n; k++{

for i :=0; i < n; i++{

for j :=0; j < n; j++{

if dist[i][k]!= INF && dist[k][j]!= INF && dist[i][k]+dist[k][j]< dist[i][j]{

dist[i][j]= dist[i][k]+ dist[k][j]

}

}

}

}

// Check for negative weight cycles

for i :=0; i < n; i++{

if dist[i][i]<0{

returntrue

}

}

returnfalse

}

func main(){

// Example graph with 4 nodes and some edges with negative weights

graph :=[][]int{

{0,3, INF, INF},

{INF,0,-2, INF},

{INF, INF,0,-1},

{-4, INF, INF,0},

}

if hasNegativeWeightCycle(graph){

fmt.Println("The graph contains a negative weight cycle.")

}else{

fmt.Println("The graph does not contain a negative weight cycle.")

}

}解释

1.初始化距离矩阵：我们首先将输入的图复制到dist矩阵中。初始时，dist[i][j]表示从节点i到节点j的直接边的权重，如果没有直接边则设为INF（表示无穷大）。

2.Floyd-Warshall 算法：通过三重循环更新dist矩阵，计算所有节点对之间的最短路径。

3.检测负权重环：在算法执行完毕后，检查对角线上的元素dist[i][i]是否小于 0。如果有任意一个dist[i][i] < 0，则说明存在负权重环。

运行结果

对于给定的示例图，程序会输出：

The graph contains a negative weight cycle.

这是因为图中存在一个负权重环（例如，从节点 1 到节点 2 再到节点 3 再回到节点 1）。

智谱清言：

在Go语言中修改FASTER-ALL-PAIRS-SHORTEST-PATHS算法以检测图中是否存在负权重环路，可以通过以下步骤实现：

1. 使用FASTER-ALL-PAIRS-SHORTEST-PATHS算法计算所有顶点对之间的最短路径。

2. 在计算过程中，如果发现某个顶点到自身的最短路径权重小于0，则说明图中存在负权重环路。 以下是Go语言实现的示例代码：package main

import(

"fmt"

"math"

)

// Graph 表示图的邻接矩阵

typeGraph[][]int

// FASTER_ALL_PAIRS_SHORTEST_PATHS 计算所有顶点对之间的最短路径

// 如果检测到负权重环路，则返回false

func FASTER_ALL_PAIRS_SHORTEST_PATHS(g Graph)(dist [][]int, hasNegativeCycle bool){

V :=len(g)

dist =make([][]int, V)

for i :=range dist {

dist[i]=make([]int, V)

for j :=range dist[i]{

dist[i][j]= math.MaxInt64

}

}

// 初始化距离矩阵

for i :=0; i < V; i++{

dist[i][i]=0

for j :=0; j < V; j++{

if g[i][j]!=0{

dist[i][j]= g[i][j]

}

}

}

// 使用FASTER算法更新距离矩阵

for k :=0; k < V; k++{

for i :=0; i < V; i++{

for j :=0; j < V; j++{

if dist[i][k]!= math.MaxInt64&& dist[k][j]!= math.MaxInt64&& dist[i][k]+dist[k][j]< dist[i][j]{

dist[i][j]= dist[i][k]+ dist[k][j]

}

}

}

}

// 检测负权重环路

for i :=0; i < V; i++{

if dist[i][i]<0{

returnnil,true// 发现负权重环路

}

}

return dist,false

}

func main(){

// 示例图

graph :=Graph{

{0,1, math.MaxInt64,-2},

{math.MaxInt64,0,3, math.MaxInt64},

{math.MaxInt64, math.MaxInt64,0,4},

{2, math.MaxInt64, math.MaxInt64,0},

}

dist, hasNegativeCycle := FASTER_ALL_PAIRS_SHORTEST_PATHS(graph)

if hasNegativeCycle {

fmt.Println("图中存在负权重环路。")

}else{

fmt.Println("图中不存在负权重环路。")

fmt.Println("最短路径矩阵：")

for _, row :=range dist {

fmt.Println(row)

}

}

}在这个代码中，我们首先定义了一个图的类型，然后实现了FASTER_ALL_PAIRS_SHORTEST_PATHS函数，该函数计算所有顶点对之间的最短路径，并在最后检查是否存在负权重环路。如果存在，则返回false和hasNegativeCycle为true。如果不存在，则返回计算出的最短路径矩阵和hasNegativeCycle为false。 请注意，由于Go语言标准库中没有定义无穷大的常量，我们使用了math.MaxInt64来表示无穷大。在实际使用中，可能需要根据图的具体情况来定义无穷大值。

天工：

以下是一个使用Go语言修改后的FASTER - ALL - PAIRS - SHORTEST - PATHS算法，用于判断图是否包含权重为负值的环路。

package main

import(

"fmt"

"math"

)

// 定义一个非常大的数，表示初始的距离为无穷大

const INF = math.MaxInt32

// 图结构体

typeGraphstruct{

V     int

graph [][]int

}

// 创建一个新的图

func NewGraph(v int)*Graph{

g :=&Graph{

V:     v,

graph:make([][]int, v),

}

for i :=range g.graph {

g.graph[i]=make([]int, v)

for j :=range g.graph[i]{

if i!= j {

g.graph[i][j]= INF

}

}

}

return g

}

// 添加边到图中

func (g *Graph)AddEdge(u, v, w int){

g.graph[u][v]= w

}

// 判断图是否包含负权重环路

func (g *Graph)HasNegativeWeightCycle()bool{

dist :=make([][]int, g.V)

for i :=range dist {

dist[i]=make([]int, g.V)

for j :=range dist[i]{

dist[i][j]= g.graph[i][j]

}

}

// 进行V - 1次迭代

for k :=0; k < g.V-1; k++{

for i :=0; i < g.V; i++{

for j :=0; j < g.V; j++{

if dist[i][k]!= INF && dist[k][j]!= INF {

dist[i][j]= min(dist[i][j], dist[i][k]+dist[k][j])

}

}

}

}

// 再进行一次迭代来检查是否存在负权重环路

for i :=0; i < g.V; i++{

for j :=0; j < g.V; j++{

if dist[i][k]!= INF && dist[k][j]!= INF && dist[i][j]> dist[i][k]+dist[k][j]{

returntrue

}

}

}

returnfalse

}

func min(a, b int)int{

if a < b {

return a

}

return b

}

你可以使用以下方式调用这个函数：

func main() {

g :=NewGraph(5)

g.AddEdge(0,1,5)

g.AddEdge(1,2,20)

g.AddEdge(2,3,1)

g.AddEdge(3,4,-15)

g.AddEdge(4,2,-2)

if g.HasNegativeWeightCycle(){

fmt.Println("图包含负权重环路")

}else{

fmt.Println("图不包含负权重环路")

}

}

1.初始化图结构

• 首先创建了一个Graph结构体来表示图，其中包含顶点数量V和邻接矩阵graph。

• 在NewGraph函数中初始化图，将非对角线元素的初始距离设为无穷大（INF）。

2.添加边

•AddEdge函数用于向图中添加边，通过更新邻接矩阵来表示边的连接和权重。

3.判断负权重环路

• 首先将距离矩阵dist初始化为图的邻接矩阵。

• 然后进行V - 1次迭代，按照FASTER - ALL - PAIRS - SHORTEST - PATHS算法更新距离矩阵。

• 最后再进行一次迭代，如果发现距离可以进一步缩短（dist[i][j]>dist[i][k]+dist[k][j]），则说明存在负权重环路。

• 在HasNegativeWeightCycle函数中：

chatgpt：

要修改 FASTER-ALL-PAIRS-SHORTEST-PATHS 算法以判断一个图是否包含权重为负值的环路，可以使用 Floyd-Warshall 算法的思想。在此基础上，我们可以检查在最终路径中是否存在能够返回自己且路径权重为负的情况。

下面是用 Go 语言实现的代码示例，该代码可以判断一个加权图是否存在负权重环路：

package main

import(

"fmt"

"math"

)

const INF = math.MaxInt32// 定义无穷大

// 检查图是否存在负权重环

func hasNegativeCycle(graph [][]int)bool{

n :=len(graph)

// 初始化距离矩阵

dist :=make([][]int, n)

for i :=range dist {

dist[i]=make([]int, n)

for j :=range dist[i]{

if i == j {

dist[i][j]=0

}elseif graph[i][j]==0{

dist[i][j]= INF // 表示没有边

}else{

dist[i][j]= graph[i][j]

}

}

}

// 执行 Floyd-Warshall 算法

for k :=0; k < n; k++{

for i :=0; i < n; i++{

for j :=0; j < n; j++{

if dist[i][k]< INF && dist[k][j]< INF {

dist[i][j]= min(dist[i][j], dist[i][k]+dist[k][j])

}

}

}

}

// 检查是否存在负权重环

for i :=0; i < n; i++{

if dist[i][i]<0{// 负权重环的检测

returntrue

}

}

returnfalse

}

// 辅助函数，返回两个整数的较小值

func min(a, b int)int{

if a < b {

return a

}

return b

}

func main(){

// 示例图（使用邻接矩阵表示）

graph :=[][]int{

{0,1,4,0,0},

{0,0,2,5,0},

{0,0,0,0,-3},

{0,0,3,0,2},

{0,0,0,0,0},

}

if hasNegativeCycle(graph){

fmt.Println("图中包含负权重环路")

}else{

fmt.Println("图中不包含负权重环路")

}

}代码说明：

1.邻接矩阵：我们使用二维切片graph来表示图，矩阵中的值表示权重，如果没有边则使用0（在初始化时替换为无穷大）。

2.Floyd-Warshall 算法：通过三重循环更新最短路径的距离矩阵。

3.负权重环检测：通过检查dist[i][i]是否小于零来确定是否存在负权重环，若存在则返回true。

运行示例：

在这个示例中，图的结构与权重被定义在graph变量中。你可以根据需要修改这个图并进行测试。运行程序后，如果图中存在负权重环路，将输出 "图中包含负权重环路"，否则输出 "图中不包含负权重环路"。

kimi：

FASTER (Faster Algorithm for Shortest Paths from Externally-specified Sources) 是一个用于求解所有对最短路径问题的算法。它基于贝尔曼-福特算法，但是通过使用多个源点来加速计算。要修改这个算法以检测负权重环路，我们可以在算法的每一步检查是否有任何顶点的距离被更新，如果有，则表明存在负权重环路。

以下是使用 Go 语言实现的修改后的 FASTER 算法，用于检测图中是否存在负权重环路：

package main

import(

"fmt"

)

const(

INF =int(1e9)// 用一个足够大的数表示无穷大

)

typeEdgestruct{

to, weight int

}

typeGraphstruct{

V    int

Edges[][]Edge

}

func (g *Graph)BellmanFord(src int)bool{

dist :=make([]int, g.V)

for i :=range dist {

dist[i]= INF

}

dist[src]=0

// Relax all edges |V| - 1 times

for i :=0; i < g.V-1; i++{

updated :=false

for v :=0; v < g.V; v++{

for _, e :=range g.Edges[v]{

if dist[e.to]> dist[v]+ e.weight {

dist[e.to]= dist[v]+ e.weight

updated =true

}

}

}

if!updated {

break

}

}

// Check for negative-weight cycles

for v :=0; v < g.V; v++{

for _, e :=range g.Edges[v]{

if dist[e.to]> dist[v]+ e.weight {

returntrue// Negative-weight cycle detected

}

}

}

returnfalse// No negative-weight cycle detected

}

func main(){

// Example usage:

g :=&Graph{4,[][]Edge{

[]Edge{},// 0

[]Edge{{1,2},{2,3}},// 1

[]Edge{{3,1},{1,1},{2,2}},// 2

[]Edge{{0,-2}},// 3

}}

hasNegativeCycle := g.BellmanFord(0)

if hasNegativeCycle {

fmt.Println("The graph contains a negative-weight cycle.")

}else{

fmt.Println("The graph does not contain a negative-weight cycle.")

}

}

在这个代码中，我们定义了一个Graph结构体来表示图，其中包含了顶点数V和边的列表Edges。BellmanFord函数实现了修改后的 FASTER 算法，它返回一个布尔值，表示图中是否存在负权重环路。

请注意，这个实现是基于单个源点的贝尔曼-福特算法。FASTER 算法通常涉及多个源点和更复杂的数据结构来加速计算，但为了检测负权重环路，我们只需要这个简化的版本。如果你需要完整的 FASTER 算法实现，那将是一个更复杂的任务，涉及到并行计算和更高级的数据结构。

混元：

要修改FASTER-ALL-PAIRS-SHORTEST-PATHS算法以检测负权重环，我们需要在算法中添加一个步骤来检查是否存在负权重环。FASTER-ALL-PAIRS-SHORTEST-PATHS算法通常基于Johnson's algorithm，它结合了Bellman-Ford算法和Dijkstra算法。我们可以利用Bellman-Ford算法来检测负权重环。

以下是用Go语言实现的代码，它修改了FASTER-ALL-PAIRS-SHORTEST-PATHS算法以检测负权重环：

package main

import(

"container/heap"

"fmt"

)

typeEdgestruct{

to     int

weight int

}

typeGraphstruct{

vertices int

edges    [][]Edge

}

func NewGraph(vertices int)*Graph{

return&Graph{

vertices: vertices,

edges:make([][]Edge, vertices),

}

}

func (g *Graph)AddEdge(from, to, weight int){

g.edges[from]=append(g.edges[from],Edge{to, weight})

}

typeItemstruct{

vertex int

dist   int

index  int

}

typePriorityQueue[]*Item

func (pq PriorityQueue)Len()int{returnlen(pq)}

func (pq PriorityQueue)Less(i, j int)bool{

return pq[i].dist < pq[j].dist

}

func (pq PriorityQueue)Swap(i, j int){

pq[i], pq[j]= pq[j], pq[i]

pq[i].index = i

pq[j].index = j

}

func (pq *PriorityQueue)Push(x interface{}){

n :=len(*pq)

item := x.(*Item)

item.index = n

*pq =append(*pq, item)

}

func (pq *PriorityQueue)Pop()interface{}{

old :=*pq

n :=len(old)

item := old[n-1]

old[n-1]=nil

item.index =-1

*pq = old[0: n-1]

return item

}

func BellmanFord(g *Graph, source int)([]int,bool){

vertices := g.vertices

dist :=make([]int, vertices)

for i :=range dist {

dist[i]=1e9

}

dist[source]=0

for i :=1; i < vertices; i++{

for u :=0; u < vertices; u++{

for _, edge :=range g.edges[u]{

v := edge.to

if dist[u]+edge.weight < dist[v]{

dist[v]= dist[u]+ edge.weight

}

}

}

}

for u :=0; u < vertices; u++{

for _, edge :=range g.edges[u]{

v := edge.to

if dist[u]+edge.weight < dist[v]{

returnnil,true// Negative cycle detected

}

}

}

return dist,false

}

func FASTERAllPairsShortestPaths(g *Graph)([][]int,bool){

vertices := g.vertices

dist :=make([][]int, vertices)

for i :=range dist {

dist[i], hasNegativeCycle :=BellmanFord(g, i)

if hasNegativeCycle {

returnnil,true// Negative cycle detected

}

}

return dist,false

}

func main(){

g :=NewGraph(4)

g.AddEdge(0,1,1)

g.AddEdge(1,2,-1)

g.AddEdge(2,3,-1)

g.AddEdge(3,0,-1)

dist, hasNegativeCycle :=FASTERAllPairsShortestPaths(g)

if hasNegativeCycle {

fmt.Println("Graph contains a negative weight cycle")

}else{

fmt.Println("Shortest paths between all pairs of vertices:")

for _, row :=range dist {

fmt.Println(row)

}

}

}解释

1.Graph结构体: 表示图，包含顶点数和边列表。

2.BellmanFord函数: 实现Bellman-Ford算法，用于计算从单个源点到所有其他顶点的最短路径，并检测负权重环。

3.FASTERAllPairsShortestPaths函数: 对每个顶点调用Bellman-Ford算法，计算所有顶点对之间的最短路径，并在检测到负权重环时返回。

4.main函数: 创建一个图并调用FASTERAllPairsShortestPaths函数，输出结果。

这个实现会在检测到负权重环时返回true，并在没有负权重环时返回所有顶点对之间的最短路径。