余弦定理、正弦定理、海伦公式

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这三个可以说都是勾股定理引申出的定理，从小小的三角形出发，发挥了巨大的作用。

我们先来画一个三角形，它分别有三个边，abc，如图所示。

它同时也有三个角，1.2.3。

现在咱们做个垂线，让AD垂直BC，垂点是D。

好，△ABC被分成了两个直角三角形。

于是，我们就可以有以下定理。

这就是余弦定理，当我们知道了2个边，和它们的夹角，就能算出第三边。

相应的还有以下边角关系。

这个定理在做题中没太多用处，但在生活中应用很广，很重要。

比如测距。

在地图上测量距离，在导航时计算航线和位置。

在物理中计算受力，进一步延伸到工程上，计算桥梁受力。

还可以计算向量之间的角度——这一点在互联网分类方面很有用。

如果把一组信息抽象为一组向量，另一组信息抽象成另一组向量。

两组向量之间的夹角可算，如果夹角大，就说明两个信息的相关度不大。

如果夹角小，就说明两个信息的相关度不大。

于是，一个人的网络画像，一个产品跟什么样的人群相关，就可以计算了。

你看，你的行为逃不过数学之眼。

02

下面再说正弦定理。

这次我们画一个△ABC，然后画它的外接圆，以外接圆的半径CD，再跟B点相连，就有了另外一个三角形。

既然CD等于直径，那么圆周角DBC就是90度。

于是，有下图的边角关系。

也就是说，三角形的边与对标的正弦比是定值。

在求边和求正弦值的时候，这个公式在题目中会有用。

在生活中，应用更广泛。

比如建筑中用来计算建筑物之间的夹角和距离。

在测距领域，用来计算地球上不同地点之间的夹角。

甚至可应用到宇宙中，测算天体之间的距离和角度。

导航的时候，配合余弦定理用来测算角度和距离。

其实导航员知道原理，现在他们不用自己算，有电脑程序。

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海伦公式。

我们再画一个三角形，知道它的三边长，abc，我们通过余弦定理可以推出，下面的边角关系。

也就是说，我们根本不用做垂线，知道三边边长，就可以求三角形面积。

做数学题时，我没少用这个公式，很方便。

由于很多不规则形状都可以拆分成三角形，所以，在建筑中，在测量中，不规则形状的面积可以用这个公式近似计算。

也可以让计算机用海伦公式来画图，用来做测绘。

04

你看，简单的三角形，能够延伸这么多。

所以初中考试的一个重点就是“解三角形”，用处太大了。

其实还有好多，只是我没有写。

如果你感兴趣，有一本书叫《挑战极限思维：勾股定理的365种证明》，可以买来看看。

这里面有各种三角形知识，也涉及好多数学分析方法。

不仅能对三角形了解得更透彻，也是解题思维的一种提升。