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Jacobian矩阵和Hessian矩阵

希望看过此文后，你对这两类矩阵有一个更深刻的理解。在向量分析中，雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式....还有，在代数几何中，代数曲线的雅可比量表示雅可比簇：伴随该曲线的一个代数群，曲线可以嵌入其中。...更进一步，如果p点的雅可比行列式是正数，则F在p点的取向不变；如果是负数，则F的取向相反。而从雅可比行列式的绝对值，就可以知道函数F在p点的缩放因子；这就是为什么它出现在换元积分法中。...(或称不动点算法)求解，但对于非线性优化问题，牛顿法提供了一种求解的办法。...假设任务是优化一个目标函数f，求函数f的极大极小问题，可以转化为求解函数f的导数的问题，这样求可以把优化问题看成方程求解问题（）。剩下的问题就和第一部分提到的牛顿法求解很相似了。

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hesse矩阵和jacobi矩阵_安索夫矩阵和波士顿矩阵区别Jacobian矩阵和Hessian矩阵

Jacobian 在向量分析中, 雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵, 其行列式称为雅可比行列式....还有, 在代数几何中, 代数曲线的雅可比量表示雅可比簇：伴随该曲线的一个代数群, 曲线可以嵌入其中....而从雅可比行列式的绝对值, 就可以知道函数FF在pp点的缩放因子；这就是为什么它出现在换元积分法中....海森Hessian矩阵在数学中, 海森矩阵(Hessian matrix或Hessian)是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵, 此函数如下： 2), 最优化在最优化的问题中,...线性最优化至少可以使用单纯形法(或称不动点算法)求解, 但对于非线性优化问题, 牛顿法提供了一种求解的办法.

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Jacobian矩阵和Hessian矩阵简析

Jacobian矩阵在向量分析中，雅可比（Jacobian）矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式成为雅可比行列式。...而从雅可比行列式的绝对值, 就可以知道函数FF在pp点的缩放因子；这就是为什么它出现在换元积分法中....)海森矩阵被应用于牛顿法解决的大规模优化问题。...海森矩阵在牛顿法中的应用一般来说，牛顿法主要应用在两个方面：求方程根最优化问题 1. 求方程根并不是所有的方程都有求根公式，或者求根公式很复杂，求导求解困难。利用牛顿法，可以迭代求解。...相关介绍请参考我的另一篇博客：最小二乘法和梯度下降法的一些总结对于非线性优化问题，牛顿法提供了一种求解的方法。

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机器学习中牛顿法凸优化的通俗解释

牛顿法凸优化上一部分介绍牛顿法如何求解方程的根，这一特性可以应用在凸函数的优化问题上。机器学习、深度学习中，损失函数的优化问题一般是基于一阶导数梯度下降的。...转化为求根问题，就可以利用上一节的牛顿法了。...一阶优化和二阶优化的示意图如下所示：梯度下降，一阶优化： ? 牛顿法，二阶优化： ? 以上所说的是梯度下降和牛顿法的优化方式差异。那么谁的优化效果更好呢？首先，我们来看一下牛顿法的优点。...但是，当数据量很大，特别在深度神经网络中，计算 Hessian 矩阵和它的逆矩阵是非常耗时的。从整体效果来看，牛顿法优化速度没有梯度下降算法那么快。...总的来说，基于梯度下降的优化算法，在实际应用中更加广泛一些，例如 RMSprop、Adam等。但是，牛顿法的改进算法，例如 BFGS、L-BFGS 也有其各自的特点，也有很强的实用性。

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Python实现所有算法-牛顿优化法

-牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法 Python实现所有算法-雅可比方法(Jacobian) Python实现所有算法-矩阵的LU分解 Python实现所有算法-牛顿前向插值兄弟们！...这与优化有关，优化旨在找到函数f的（全局）最小值。优化的核心问题是函数的最小化。让我们首先考虑单变量函数的情况，即单个实变量的函数。...整个过程如下图：这是求根接下来是最优化，对一个目标函数f，求函数f的极大极小问题，可以转化为求解函数f的导数f'=0的问题，这样求可以把优化问题看成方程求解问题（f'=0）。...剩下的问题就和第一部分提到的牛顿法求解很相似了。...为了求解f'=0的根，把f（x）的泰勒展开，展开到2阶形式：当且小三角无限趋于0 的时候这个成立我们的最终迭代公式就出来了值得更新公式牛顿法用于函数最优化求解”中对函数二阶泰勒公式展开求最优值的方法称为

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Python实现所有算法-力系统是否静态平衡(补篇)

Python实现所有算法-二分法 Python实现所有算法-力系统是否静态平衡 Python实现所有算法-高斯消除法昨天第二篇文章写的有点匆忙了，有一些地方配图配错了，这里做个更正。...4、不满足结合律，但满足雅可比恒等式：a×（b×c）+b×（c×a）+c×（a×b）=0。 5、分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的R3构成了一个李代数。...是不是混进来一个雅可比？？？雅可比恒等式是椭圆函数理论中的一个著名恒等式。...雅可比恒等式就是下列等式： [X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0 满足雅可比恒等式的代数结构不一定满足反交换律。...不过既然物理这么多了，也不怕再多点：在力的作用线的延长线或反向延长线经过原点时，力矩为零。力矩在物理学里是指作用力使物体绕着转动轴或支点转动的趋向。力矩的单位是牛顿米。

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数值优化（5）——信赖域子问题的求解，牛顿法及其拓展

那么我们开始吧目录信赖域方法的子问题求解逼近信赖域子问题的狗腿法牛顿法非精确牛顿法牛顿CG方法信赖域框架下的牛顿CG方法 Source Nocedal, Wright, Numerical...牛顿CG方法牛顿CG方法是一种截断共轭梯度（Truncated Conjugate Gradient）方法，它的思想是通过带截断的共轭梯度法来求解牛顿法中涉及到的方程组。为什么说是“带截断的”呢？...是因为我们在第3节数值优化（3）——线搜索中的步长选取方法，线性共轭梯度法有说明过这么一个性质： Proposition 3: 是函数在这个空间上的最小值。在这里因为我们的。...而且事实上因为牛顿CG单独提供了求解子问题的框架，所以也不会用上开头提到的狗腿法啥的内容。...事实上，子问题的思路在拟牛顿法中得到了极为广泛的应用，这个我们下一节再说。

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Python实现所有算法-K-means

Python实现所有算法-二分法 Python实现所有算法-力系统是否静态平衡 Python实现所有算法-力系统是否静态平衡(补篇) Python实现所有算法-高斯消除法 Python实现所有算法...-牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法 Python实现所有算法-雅可比方法(Jacobian) Python实现所有算法-矩阵的LU分解 Python实现所有算法-牛顿前向插值 Python实现所有算法-正割法...（Secant） Python实现所有算法-牛顿优化法 Python实现所有算法-音频过滤器.上 Python实现所有算法-音频过滤器.下（巴特沃斯） K-means 算法是典型的基于距离的聚类算法...，cosθ越接近 1 个体越相似，可以修正不同度量标准不统一的问题； (3) K-means 算法获得的是局部最优解，在算法中，初始聚类中心常常是随机选择的，一旦初始值选择的不好，可能无法得到有效的聚类结果...），即所有样本的聚类误差（累计每个簇中样本到质心距离的平方和），随着 K 的增大每个簇聚合度会增强，SSE 下降幅度会增大，随着 K 值继续增大 SSE 的下降幅度会减少并趋于平缓，SSE 和 K 值的关系图会呈现成一个手肘的形状

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大规模 3D 重建的Power Bundle Adjustment

m .与流行的 Schur-Jacobi 预条件子相关的条件数通过这个幂级数预条件子减少了，这通过 CG 算法更好的收敛和更少的 CG 迭代次数 (b) 来说明。...这个最近的求解器通过使用具有里程碑意义的雅可比行列式的 QR 因式分解，表现出出色的性能来解决boundle adjustment。它尤其与流行的 Ceres 求解器竞争。...高效存储我们利用 BA 问题的特殊结构并设计了内存高效存储。我们按地标对雅可比矩阵和残差进行分组，并将它们存储在单独的密集内存块中。...对于具有 k 个观察值的地标，所有与观察到地标的姿势相对应的大小为 2 × dp 的雅可比位姿块被堆叠并存储在大小为 2k × dp 的内存块中。...连同大小为 2k × 3 的地标雅可比块和长度为 2k 的残差也与地标相关联，单个地标的所有信息都有效地存储在大小为 2k × (dp + 4) 的内存块中。

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非线性回归中的Levenberg-Marquardt算法理论和代码实现

雅可比行列式是一个矩阵，其中包含一个函数相对于每个参数的所有一阶偏导数。记住，下标i代表一个特定的数据点。如果数据包含100个点那么雅可比矩阵就有100行3列因为我们有3个参数。...如果我们使用雅可比行列式的概念来重写最后找到的dS / da方程。我们将有： ? 注意我是如何用矩阵来表示这个方程的。我去掉了现在雅可比矩阵的和，剩余都用矩阵来写。...另一种方法是高斯-牛顿法，它类似于梯度下降法，是一种迭代过程，我们采取多个步骤，直到我们接近正确的解。在本例中，我们通过以下方式得到一个新的参数组合: ? hGN代表我们采用高斯-牛顿法的步骤。...我们如何知道每次迭代的hGN值？在高斯-牛顿法中，函数f是使用一阶泰勒展开式近似的，这意味着 ? 还记得我们说过的术语dfi（a）/ daj也称为雅可比行列式，因此前面的等式也可以写成： ?...但是，我认为这段代码对于任何更复杂的事情以及了解“幕后”正在发生的事情都是一个很好的起点。尽管此笔记本中显示的示例涉及到二维问题，但是该算法背后的逻辑可以应用于多种情况。

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凸优化（8）——内点法中的屏障法与原始-对偶方法，近端牛顿方法

具体的可以看《数值优化》第5节（数值优化（5）——信赖域子问题的求解，牛顿法及其拓展）关于牛顿法的开头部分。具体的步骤如下设为初始值。使用牛顿法迭代得到。...一般是考虑优化问题我们可以用屏障法来解这个问题，可以看出其实只需要在优化过程中这个目标实现了，就可以提前终止，因为我们的目的就只是为了找到一个满足条件的点而已。...牛顿法的含义就是在函数的二次逼近中，使用海塞矩阵而不是这样的一个东西。所以我们改一下，就可以得到其中是海塞矩阵，那么容易验证，它和求解下面这一个优化问题是等价的。...所以在近端牛顿方法中，就需要考虑重新设置一个步长了，这个步长体现在公式里就是。第二就是在新的公式中，其实如果说，那么就和牛顿法没有区别了。...第三则是在近端牛顿方法中，的性质都会影响到问题的可解性，并且一般来说，这个近端算子不再具备解析解。这个时候究竟如何利用近端牛顿方法呢？这个我们放到之后再说。

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机器学习中导数最优化方法(基础篇)

前言熟悉机器学习的童鞋都知道，优化方法是其中一个非常重要的话题，最常见的情形就是利用目标函数的导数通过多次迭代来求解无约束最优化问题。实现简单，coding 方便，是训练模型的必备利器之一。...2) Hesse 矩阵（二阶导数） Hesse 矩阵常被应用于牛顿法解决的大规模优化问题(后面会介绍)，主要形式如下： ? 当 f(x) 为二次函数时，梯度以及 Hesse 矩阵很容易求得。...这些函数的偏导数(如果存在)可以组成一个m行n列的矩阵(m by n)，这就是所谓的雅可比矩阵： ?...牛顿法主要存在的问题是： Hesse 矩阵不可逆时无法计算矩阵的逆计算复杂为 n 的立方，当问题规模比较大时，计算量很大，解决的办法是采用拟牛顿法如 BFGS, L-BFGS, DFP, Broyden's...在优化过程中，如果我们确定了移动方向（GD：垂直于等值线，CG：共轭方向），然后在该方向上搜索极小值点（恰好与该处的等值线相切），然后移动到最小值点，重复以上过程，那么 Gradient Descent

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深度学习中的优化问题以及常用优化算法

本文主要讨论的就是这类特定的优化问题：寻找神经网络上一组参数 ? ，它能显著地降低代价函数 ? ，该代价函数通常包括整个训练集上的性能评估和额外的正则化项。...---- 3、神经网络优化中的挑战优化是一个很困难的任务，在传统机器学习中一般会很小心的设计目标函数和约束，以使得优化问题是凸的；然而在训练神经网络时，我们遇到的问题大多是非凸，这就给优化带来更大的挑战...3.1 局部极小值凸优化问题通常可以简化为寻找一个局部极小值点的问题，在凸函数中，任何一个局部极小点都是全局最小点；有些凸函数的底部是一个平坦区域，在这个平坦区域的任一点都是一个可以接受的解。...另外如果在高原处，梯度是平坦的，那么优化算法很难知道从高原的哪个方向去优化来减小梯度，因为平坦的高原处每个方向的梯度都是0。高维空间的这种情形为优化问题带来很大的挑战。...3.4 长期依赖当计算图变得极深时，神经网络优化算法会面临的另外一个难题就是长期依赖问题——由于变深的结构使模型丧失了学习到先前信息的能力，让优化变得极其困难。

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花书第一谈之数值计算

然而实数的精度是无限的，而计算机能够表达的精度是有限的，这就涉及到许多数值计算方法的问题。因此机器学习中需要大量的数值运算，通常指的是迭代更新求解数学问题。常见的操作包括优化算法和线性方程组的求解。...但是还有一个小问题：分子中的下溢仍然可以导致整体表达式被计算为零，比如计算log(softmax(x))，若传递的softmax(x)下溢为0，则log后则被错误的得到−∞。...在深度学习中，通常都是用最小化函数拉进行优化，对于最大化任务则可以通过最小化−f(x)来完成。表示为： ? 而f(x)称为目标函数，或者准则，或者损失函数，再或者代价函数，或误差函数。...3.3 梯度之上：雅可比和海森矩阵什么是雅克比矩阵？有的时候我们的映射函数可能输入和输出均是矢量，即 ?...多维情况下的二阶泰勒展开为 ? 使f(x)相对于x的导数为零，可得更新公式 ? 牛顿方法会比梯度下降算法更快的到达极值点。 4.约束优化约束极值如何处理？

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Python中的编码问题

视频汇总首页：http://edu.51cto.com/lecturer/index/user_id-4626073.html 对于Python的初学者来说，编码问题相当令人头疼。...本文就根据我在学习过程中遇到的问题简单谈一下Python中的编码。首先简单介绍一下几种常见的编码。一、几种常见的字符编码 ASCII码 ASCII码是基于拉丁字码的一套电脑编码系统。...三、python中常遇到的编码问题以下问题只有在Python2.x版本中出现，因为3.X版本中python环境就只有unicode类型的字符串了，即所有程序中处理的都会自动转换成unicode字符串。...所以关键问题是得知道文件内容是使用什么方式编码成二进制码存入到磁盘中的。 Linux中Vim下可使用命令set fileencoding来查看文件编码。...因此，Python中的编码问题解决方式总结起来就是：保证字符串的编码及解码方式一致，了解了文中提到相关知识相信能解决Python中大部分的编码问题了。

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python中的编码问题

问题在平时工作中，遇到了这样的错误： UnicodeDecodeError: 'ascii' codec can't decode byte 想必大家也都碰到过，很常见。...于是决定对python的编码做一个整理和学习。...基础知识在python2.x中，有两种数据类型，unicode和str，这两个都是basestring的子类 >>> a = '中' >>> type(a) >>> isinstance...将python看成是一根管子，管子里头处理的中间过程都是使用unicode的。入口处，全部转成unicode；出口处，再转成目标编码(当然，有例外，处理逻辑中要用到具体编码的情况)。...在linux环境中设置环境变量方法如下，具体设置什么只要与终端编码方式一直即可 export PYTHONIOENCODING=UTF-8 总结重新回到最初的那个问题，造成问题的原因是没有搞清楚unicode

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【GAN优化】详解GAN中的一致优化问题

GAN的训练是一个很难解决的问题，上期其实只介绍了一些基本的动力学概念以及与GAN的结合，并没有进行过多的深入。...但是这里有一个矛盾点，如果你将学习速率设置得太小，你的训练时长将会变得特别长。同样地，在GAN中，需要保证矢量场v的雅可比矩阵 ? 的所有特征值的实部为负数。...现在，我们将上述方式对接到GAN中，将生成器和判别器的目标函数修改为： ? 其中， ? 可以写成如下形式： ? 化简可有： ? 其雅可比矩阵的表达式为： ?...添加的正则项虽然没有解决要求足够小的学习速率的问题，但是“保证”了特征值尽可能落入单位圆中。...最后说明一下，一般GAN中，生成器和判别器的目标函数符号是相反的，但是我们同时对它们增加相同符号的正则项，在正则项部分上，它们的优化目标是一致的，故称之为一致优化。

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Python实现所有算法-牛顿前向插值

Python实现所有算法-二分法 Python实现所有算法-力系统是否静态平衡 Python实现所有算法-力系统是否静态平衡(补篇) Python实现所有算法-高斯消除法 Python实现所有算法...-牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法 Python实现所有算法-雅可比方法(Jacobian) Python实现所有算法-矩阵的LU分解今天的算法是插值，细分是牛顿插值。...二阶的前向差分后和后向差分都在这里了牛顿插值作为一种常用的数值拟合方法，因其计算简单，方便进行大量插值点的计算。...牛顿真厉害啊，几百年前他万万没有想到，一个小辈大晚上的还得研究人家随手写的东西。...牛顿插值算法的优点是，每一个新项的生成都不需要庞大的算力，对前一项进行计算就行，拉格朗日的算法是每一个新项都需要对基函数完全计算，耗费算力。

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Python 非线性规划 scipy.optimize.minimize

在 python 里用非线性规划求极值，最常用的就是 scipy.optimize.minimize()，本文记录相关内容。...method str or callable, optional 求解器的类型，如果没有给出，则根据问题是否有约束或边界，选择 BFGS、 L-BFGS-B、 SLSQP 中的一个。...线性近似法无无无可选中大 SLSQP 序列最小二乘法可选无可选可选中大 trust-constr 信赖域算法无可选可选可选中大 Newton-CG 牛顿共轭梯度法必须...trust-constr 的约束被定义为单个对象或指定优化问题约束的对象列表。...x_1,x_2,x_3 的范围都在 0.1到0.9 之间带约束的优化问题需要用到约束条件 # coding=utf-8 from scipy.optimize import minimize import

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pytorch 要点之雅可比向量积

PyTorch中的自动微分与雅可比向量积自动微分（Automatic Differentiation，AD）是深度学习框架中的关键技术之一，它使得模型训练变得更加简单和高效。...在本文中，我们将深入探讨PyTorch中的自动微分，并介绍如何使用雅可比向量积（Jacobian Vector Product，JVP）来进行梯度计算，从而优化神经网络的训练过程。什么是自动微分？...雅可比向量积（Jacobian Vector Product）雅可比矩阵描述了一个向量值函数的导数。在深度学习中，我们通常不需要完整的雅可比矩阵，而是只对雅可比向量积感兴趣。...雅可比向量积是一个向量和一个向量的乘积，其中第一个向量是函数的导数，第二个向量是任意向量。 PyTorch中的autograd模块提供了autograd.grad函数，使我们能够计算雅可比向量积。...雅可比向量积在训练神经网络中起到关键作用，特别是在使用优化算法进行参数更新时。它能够高效地计算梯度，提高训练速度和稳定性。结论 PyTorch中的自动微分和雅可比向量积是深度学习中不可或缺的工具。

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