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矩阵的意义_行满秩矩阵的广义逆

效果如下： A † , A A † = ( A A † ) H A^{\dagger},\ AA^{\dagger} = (AA^{\dagger})^H ...

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非满秩矩阵也能求逆矩阵吗_广义逆矩阵的性质

今天遇到一个很奇怪的问题：一个方阵，逆矩阵存在，但不是满秩。问题来源在实际应用的时候，发现返回值都是0，于是跟踪到这里，发现了这个问题：JtJ不是满秩，因此JtJN保持初始化的零值。...结论判断矩阵的逆矩阵是否存在时，一定要特别小心用满秩作为条件来判断，很可能会由于精度原因导致不可预估的结果。版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。

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【运筹学】线性规划问题的解 ( 可行解 | 可行域 | 最优解 | 秩的概念 | 极大线性无关组 | 向量秩 | 矩阵秩 | 基 | 基变量 | 非基变量 | 基解 | 基可行解 | 可行基 )

是 m 和 n 中较小的那个值 , 即 min(m , n) ; ③ 满秩 : 如果矩阵的秩等于 min(m , n) , 那么该矩阵被称为有满秩 , 是满秩矩阵 ; ④ 欠秩 :...m \times m 阶矩阵 , 其实一个 m 行 m 列的方阵 ; ② 满秩 : 该矩阵的最大秩是 min(m , m) , 其秩为 m 时 , 是满秩矩阵 ; ③ 子矩阵 :...; m 阶满秩子矩阵 : 基是满秩子矩阵 ① m 阶 : 是指矩阵是 m \times m 阶矩阵 , 其实一个 m 行 m 列的方阵 ; ② 满秩 : 该矩阵的最大秩是...才是基 , 满秩即其列向量线性无关 , 两列向量不能使用线性表示 ; ① 子矩阵 1 : ( 不是基矩阵 ) B_1 = \begin{bmatrix} 5 &-1 \\ -10 & 2...不是满秩的 , 满秩秩为 min(2 , 2) = 2 , 因此该矩阵不是基矩阵 ; ② 子矩阵 2 \cdots 9 : 其它矩阵列向量之间没有线性关系 , 都是满秩的 , 且都为 2

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大模型训练｜LoRA高效参数微调技术

本节主要介绍： 1）矩阵中的秩和低秩矩阵相乘的有效性 2）利用低秩矩阵相乘，LoRA 的微调策略设计 3）LoRA如何选取秩 r 大小，微调矩阵和原权重矩阵之间关系 1，矩阵中的秩 1.1，低秩矩阵相乘的秩上限...而满秩矩阵的秩等于其行数或列数，如m×n满秩矩阵的秩为min(m,n)。若r 秩必然小于满秩矩阵的秩，因此无法精确等价于满秩矩阵。...1.2，低秩矩阵相乘的有效性问题：两低秩矩阵相乘，是否可以近似于一个满秩矩阵的表示效果？结论：低秩近似具有有效性，但无法完全等价。但在很多任务中，矩阵的 “核心信息” 往往集中在低秩分量中。...小结：受限于秩的数学性质，两个低秩矩阵相乘无法精确表示满秩矩阵，但在实际任务中，通过合理选择低秩维度 r，能够以较小的误差逼近满秩矩阵的核心信息，满足模型微调等场景的需求。...• 显著放大效应：当低秩维度 r 较小时（如 r=4），对目标方向的放大倍数极大（6.91/0.32约 21.5 倍），且随 r 增大（如 r=64）放大效应减弱，体现了低秩设计的高效性。

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线性代数：A转置乘以A可逆

问题背景给定一个矩阵 A（假设是 m×n 矩阵），为什么在某些条件下，矩阵 ATA 是可逆的（即非奇异、满秩）？2. 关键结论ATA 是一个 n×n 的对称半正定矩阵。...当且仅当矩阵 A 列向量线性无关（即 A 的列满秩，秩为 n），ATA 才是正定矩阵，从而可逆。3....正定条件如果 ATA 不是正定，则存在非零向量 x 使得xT(ATA)x=∥Ax∥2=0这说明 Ax=0，即 x 在 A 的零空间中。...列满秩若 A 的列向量线性无关（秩为 n），那么 ker⁡(A)={0}，所以不存在非零 x 使 Ax=0，则 xTATAx>0（正定）。正定矩阵可逆正定矩阵一定是非奇异的，因此 ATA 可逆。4....结论总结条件结果A 列满秩（列线性无关）ATA 正定且可逆A 列不满秩ATA 半正定且奇异5.

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机器学习数学基础：线性代数基本定理

所以：由以及前面的假设，可得：推论若，则：即存在非零向量使得，或曰不是一对一（因为）。...若，则：即存在非零向量使得，或曰不是满射。如果用矩阵表述：将线性变换用的矩阵表示，其中：。，则：。...零空间（nullspace）：行空间（row space）：是转置矩阵的列空间，因为矩阵的行秩等于列秩，即，于是“秩—零化度定理”可以写成：将原矩阵转置，即得：左零空间（...\pmb{A})={\pmb{x}\in\mathbb{R}^n 秩：秩：零化度：零化度：满射：，即满行秩：，即单射：，即满列秩：，即同构：满秩：线性变换矩阵...秩：零化度：零化度：满射：，即满行秩：，即单射：，即满列秩：，即同构：满秩：参考文献 [1].

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机器学习|从0开始大模型之模型LoRA训练

1.1、秩给定矩阵中线性独立的列（或行）的数量，称为矩阵的秩，记为 rank(A) 。...矩阵的秩小于或等于列（或行）的数量，rank(A) ≤ min{m, n} 满秩矩阵是所有的行或者列都独立，rank(A) = min{m, n} 不满秩矩阵是满秩矩阵的反面是不满秩，即 rank(A)...矩阵的列（或行）不是彼此线性独立的举个两个秩的例子：不满秩满秩 1.2、秩相关属性从上面的秩的介绍中可以看出，矩阵的秩可以被理解为它所表示的特征空间的维度，在这种情况下...，特定大小的低秩矩阵比相同维度的满秩矩阵封装更少的特征（或更低维的特征空间）。...与之相关的属性如下：矩阵的秩受其行数和列数中最小值的约束，rank(A) ≤ min{m, n}；两个矩阵的乘积的秩受其各自秩的最小值的约束，给定矩阵 A 和 B，其中 rank(A) = m 且

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线性模型 -1- 线性回归

mathbf{X}^{T} \mathbf{X} \overrightarrow{\tilde{\mathbf{w}}}=\mathbf{X}^{T} \overrightarrow{\mathbf{y}} 矩阵满秩...当 \mathbf{X}^{T} \mathbf{X} 的为满秩矩阵时，可得： image.png 其中 \left(\mathbf{X}^{T} \mathbf{X}\right...最终学得的多元线性回归模型为： image.png 矩阵非满秩当 \mathbf{X}^{T} \mathbf{X} 不是满秩矩阵。此时存在多个解析解，他们都能使得均方误差最小化。...比如 N秩小于等于 N, n 中的最小值, 即小于等于 N (矩阵的秩一定小于等于矩阵的行数和列数)；而矩阵 \mathbf{X}^{T} \mathbf...{X} 是 n \times n 大小的, 它的秩一定小于等于 N , 因此不是满秩矩阵。

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线性代数--MIT18.06(三十四)

在满秩的情况下，我们知道矩阵可逆，那么 ? 这就是两边可逆的情况那我们考虑列满秩而行不满秩的情况，即 ? ，我们知道如果 ?...就在列空间之中，那么存在一个解，如果不在，则无解，而在零空间之中，因为列满秩，只存在零向量，也就是说所有向量都在行空间之中。此时只能有 ? ，也就是说 ? 为 ?...就是我们在第十六讲讲解的投影矩阵 ? 它表征到的就是将行空间的向量投影到列空间之中，因为行列不相同，因此该投影矩阵总是接近于 ? ，但不是 ? 。...同理，再考虑行满秩，而列不满秩的情况，即 ? ，我们得到右逆 ? 其中 ? 为 ? 的右逆左乘右逆，我们则得到另一个投影矩阵 ? 它表示将列空间的向量投影到行空间之中。...我们在第三十讲已经知道了对于任何矩阵（向量）都可以做奇异值分解（SVD），从奇异值分解来理解伪逆就很容易了 ? 因为 ? 不一定可逆，我们也是将其求解伪逆，则得到了上述结果。

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啊！再见吧！我的行列式~

虽然人人骂，但是不可否认的是，这样的设计可以让授课快很多。...对秩的理解：向量组张成的空间维数，而这取决于组中向量的个数和组中向量的维数。矩阵满秩表明张成空间的维数等于矩阵行/列数（行/列组中向量个数）。...以行秩为例矩阵Amn，m行n列，行组中含有m个n维向量。它最高张成R^m。如果m＞n，说明“基”不够无法张成R^m，一定非满秩。并且此时m个n维向量一定是线性相关的。...如果行组相关性最小，是线性无关，则表明有m个“基”可张成R^m，行满秩。如果行组有相关性，则不满秩。...没事啊，教科书给你补啦，小傻逼需要知道的是，这个计算法则是不要求满Z的，就是个方阵就好这个是不是太简单了？

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【运筹学】线性规划单纯形法 ( 基矩阵 | 基变量 | 非基矩阵 | 非基变量 | 矩阵分块形式 | 逆矩阵 | 基解 | 基可行解 )

A 是 m \times n 阶矩阵 , 有 m 行 , n 列 , 代表 m 个约束方程 , n 个变量 , 并且 n > m ; 基矩阵 B : ① 满秩子矩阵 :...矩阵 A 的满秩子矩阵 B , 矩阵 B 的秩是 m ; ② 列向量线性无关 : 该矩阵中的列向量线性无关 , 即每一列不能通过乘以系数加减的方式得到另外一列列向量 , ③...基矩阵 B : 这样的系数矩阵 A 的 m \times m 阶满秩矩阵 B 就是基矩阵 ; B= \begin{bmatrix}\\\\ & a_{11} & a_{12} & \...逆矩阵 ---- 逆矩阵 : 其中矩阵 B 是满秩的 m \times m 阶矩阵 , 该矩阵是可逆的 ( 非奇异矩阵 ) , 必定存在一个 B^{-1} , 使得 B \times B...B 是满秩的 , 其秩为 m , 将非基变量赋值 0 , 剩余的 m 个变量 , m 个等式 , 必能解出一组唯一解 ; 即 \sum_{j = 1}^{m}p_j x_j =

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Moore-Penrose广义逆矩阵

现在设A是m\times n可逆方正，b是一个m维向量，是否存在m\times n矩阵G，使得方程Ax=b总有解，且解x可表示为x=Gb. 这样的矩阵G就涉及到广义逆的概念。...广义逆也叫伪逆，一般是指Moore-Penrose广义逆矩阵。...\quad AGA=A, \\(2)\quad GAG=G, \\(3)\quad (AG)^{H}=AG, \\(4)\quad (GA)^{H}=GA, 则G为A的Moore-Penrose广义逆矩阵...注：A^{H}为A的转置共轭矩阵....#广义逆的满秩算法设A为列满秩矩阵，则A^{+}=(A^{H}A)^{-1}A^{H}; 设A为行满秩矩阵，则A^{+}=A^{H}(AA^{H})^{-1}; 设A=LR，其中L为列满秩矩阵，R为行满秩矩

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LinearAlgebra_2

列空间和零空间回顾主题例子 AXb 求解AX0 回顾主题 AX0求解的总体思路例子形式化的求解 AXb 什么时候有解有解的话求解特解求出通解 big picture 列满秩行满秩全满秩...通过消元，看看是不是有解。有解的话，看看是不是有唯一解。...m by n matrix A of rank r I know always: r<=m r<=n 考虑满秩的情况列满秩列满秩，r==n，这对方程组意味着什么，特解零空间和通解分别会怎么样？...行满秩行满秩，r==m，这对方程组意味着什么，特解零空间和通解分别会怎么样？ A: 零空间肯定不只是0是n-r，解肯定存在并且不止一个。...行满秩，r==m，这对方程组意味着什么，特解零空间和通解分别会怎么样？

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一起来学演化计算-matlab基本函数randn,rand, orth

-2.2150 0.4688 4.5751 4.6489 一般情况下，你可以在(a,b)区间内生成N个随机数，公式为满足均匀分布的随机整数使用randi函数(而不是...(PS:矩阵分析时代离我已经遥远) 不过记得意思好像是，正交矩阵的转置乘以正交矩阵得到的是单位矩阵 Q = orth(A)返回A的范围的一组标准正交基。...Q中的列数等于A的秩。满秩 % 计算并验证满秩矩阵范围的标准正交基向量。...% 定义一个矩阵并求出秩 A = [1 0 1;-1 -2 0; 0 1 -1]; r = rank(A) r = 3 % 由于A是满秩的方阵，orth(A)计算的标准正交基与奇异值分解计算的矩阵...A)因为A是满秩的，Q和A的大小是一样的。

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数值优化（C）——二次规划（下）：内点法；现代优化：罚项法，ALM，ADMM；习题课

当然了，最重要的地方还是，读者要在习题中了解到算法设计的考虑，发现一些本质上的东西。那么我们开始吧。 Problem 1: 对矩阵进行的格式的Cholesky分解。...Problem 4: 证明线性规划中内点算法系数矩阵是满秩的当且仅当矩阵是行满秩的。...要说明矩阵满秩，一个通用的思路就是对矩阵进行行列变换，将其化为上三角或下三角分块矩阵，然后观察对角元矩阵的性质，这是因为初等变换不改变矩阵的秩。那么对于这个矩阵我们可以怎么做呢？...所以问题的关键就落在了上，然而只需要是行满秩的，就是满秩的，中间乘一个数量矩阵不会有任何影响。...所以我们可以得到说，只要行满秩，那么就是满秩的，那么原始矩阵就是满秩的，这就完成了证明。

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线性代数之矩阵秩的求法与示例详解

非零子式的最高阶数即叫做矩阵的秩记作R(A) r是rank的缩写。不难发现矩阵的秩有如下特点： R(A)大于等于0小于等于min{m,n}。...r(A) = m 取了所有的行，叫行满秩 r(A) = n 取了所有的列，叫列满秩 r(A) 秩 A是方阵，A满秩的充要条件是A是可逆的(转换为A的行列式不等于0，所以可逆)...对矩阵实施(行、列）初等变换不改变矩阵的秩阶梯形矩阵的秩 r(A)等于非零行的行数。...A的秩等于A转置的秩任意矩阵乘可逆矩阵，秩不变矩阵秩的求法定义法该方法是根据矩阵的秩的定义来求，如果找到k阶子式为0，而k-1阶不为0，那么k-1即该矩阵的秩。...因为当前矩阵没有4阶子式子，所以3是该矩阵的最高阶。 #Sample2（示例二）：已知矩阵A ，如果R(A)<3,求a。 Step1：这种已知矩阵的秩求参数的题目需要借助秩的定义。

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最小二乘问题详解2：线性最小二乘求解

mathbb R^{m\times n} 列正交，满足 Q_1^T Q_1 = I_n ； R\in\mathbb R^{n\times n} 是上三角矩阵，如果 A 列满秩，则 R 的对角元均非零，...以上只是对 A 列满秩的情况做了推导，如果 A 列满秩，那么QR分解可以表示为 x = R^{-1}Q_1^\top b ；如果 A 列不满秩（ R 奇异），需要使用列主元QR方法对 R^T R x =...而 y_2 （对应零奇异值的分量）在正规方程中不受约束——这反映了在列秩不足时普通最小二乘解不是唯一的（可以在零空间方向任意加解）。为得到最小范数解（惯常的选择），取 y_2=0 。...2.4 比较从以上论述可以看到，SVD分解稳定且能处理秩亏的情况，但比QR分解慢，复杂度高，通常 O(mn^2) ；QR分解在列满秩、条件数不是太差时更快；若需要判定秩或求最小范数解，SVD是首选。...注意，不是所有矩阵都能对角化，只有当矩阵有\(n\)个线性无关的特征向量时，才能对角化。但是，所有对称矩阵（如 A^T A ）都可以对角化，而且可以使用正交矩阵对角化。

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线性代数--MIT18.06(三十五)

是正定矩阵（4） ? 是否对于任意的 ? 总存在至少一个解？并且总是存在无穷解？解答（1）首先从 ? 我们可知 ? ，并且存在无解的情况，说明非满秩，即 ?...，又有只有一个解的情况则又说明列满秩，即 ? , 即我们最终可以知道 ? （2）举个 ? 的例子，实际上可以直接取 ?...列满秩，因此 ? 满秩，也即它可逆，而对于 ? 由于 ? 行不满秩，因此其不满秩，那么它不可能为正定矩阵，可以为半正定矩阵。于是我们也就知道 ? 和 ?...行满秩而列不满秩，因此零空间中总是存在非零向量，故对于任意 ? 总是存在无穷解。 2、矩阵 ? 由列向量 ? 构成，问（1）求解 ? （2）如果 ? ，解是否唯一？...2.要使矩阵为半正定矩阵，则行列式的值为零，即矩阵为奇异矩阵，可以发现前两行行相加正好可以使其等于第三行，因此取 ? 即可 3.已知对矩阵进行单位平移，其特征值就同样增加相同的量，于是 ?

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最小二乘问题详解7：正则化最小二乘

当 A 列满秩时，解唯一且为： \theta^* = (A^T A)^{-1} A^T b 然而，在实际应用中，直接使用这个解可能会遇到一些问题。...秩亏（Rank Deficiency）：若 A 不是列满秩（即 \text{rank}(A) < n ），则 A^T A 是奇异的，无法求逆，正规方程有无穷多解。...由于 \lambda > 0 ，矩阵 A^T A 是半正定的，而 \lambda I 是正定的，因此 A^T A + \lambda I 是严格正定的，从而总是可逆的，无论 A 是否列满秩！...大于零，那么意味着正定矩阵是满秩，也就是正定矩阵一定可逆。...，这个设计矩阵就是病态的。

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开发者必读：计算机科学中的线性代数（附论文）

因此奇异值分解（SVD）是每个矩阵中最重要的矩阵分解方式，因为不是所有的矩阵都能进行特征分解，但是所有的矩阵都能进行奇异值分解。定义 6....如果 A 是非奇异矩阵，我们可以使用 SVD 计算它的逆：（如果 A 是非奇异的，那么它是方形和满秩的，在这种情况下，稀疏 SVD 和全 SVD 是一样的）众所周知，SVD 非常重要，任何矩阵的最佳...Moore-Penrose 伪逆 A† 的稀疏奇异值分解可以表示为：如果 A 为 n×n 阶满秩矩阵，那么 A† 就等于矩阵 A 的逆。...如果 A 为 m×n 阶列满秩矩阵，那么 A†A 就等于 n 阶单位矩阵，AA†为矩阵 A 列上的投影矩阵。...如果 A 为满行秩矩阵，那么 AA†就为 m 阶单位矩阵，A†A 为矩阵 A 行上的投影矩阵。

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