by方阳
能够将数据转换到欧几里德空间的便是欧几里德结构化数据，如时间序列数据，图像数据，上图则是图像数据的一个例子
拉普拉斯算子是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度（▽f）的散度（▽·f）。因此如果f是二阶可微的实函数，则f的拉普拉斯算子定义为：
谱图理论是图论与线性代数相结合的产物，它通过分析图的某些矩阵的特征值与特征向量而研究图的性质。拉普拉斯矩阵是谱图理论中的核心与基本概念，在机器学习与深度学习中有重要的应用。包括但不仅限于：流形学习数据降维算法中的拉普拉斯特征映射、局部保持投影，无监督学习中的谱聚类算法，半监督学习中基于图的算法，以及目前炙手可热的图神经网络等。还有在图像处理、计算机图形学以及其他工程领域应用广泛的图切割问题。理解拉普拉斯矩阵的定义与性质是掌握这些算法的基础。在今天的文章中，我们将系统地介绍拉普拉斯矩阵的来龙去脉。
在通常情况下，图片是否清晰是个感性认识，同一个图，有可能你觉得还过得去，而别人会觉得不清晰，缺乏一个统一的标准。然而有一些算法可以去量化图片的清晰度，做到有章可循。
Laplace算子作为边缘检测之一，和Sobel算子一样也是工程数学中常用的一种积分变换，属于空间锐化滤波操作。 简介 拉普拉斯算子（Laplace Operator）是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度（▽f）的散度（▽·f）。拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子，称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子。 拉普拉斯算子是二阶微分线性算子，在图像边缘处理中，二阶微分的边缘定位能力更强，锐化效果更好，因此在进行图像边缘处理时，直接采用二阶微分算子而不使用一阶微分。 拉普拉斯
如果之前了解过信号处理，就会知道最直接的方法是计算图片的快速傅里叶变换，然后查看高低频分布。如果图片有少量的高频成分，那么该图片就可以被认为是模糊的。然而，区分高频量多少的具体阈值却是十分困难的，不恰当的阈值将会导致极差的结果。
图1：左边的傅里叶基(DFT矩阵)，其中每列或每行是基向量，重新整合成28×28(如右边所示)，即右边显示20个基向量。傅里叶基利用计算频谱卷积进行信号处理。如图所示，本文采用的正是拉普拉斯基方法。
其中，m=2a+1,n=2b+1, w(s,t)是滤波器系数，f(x,y)是图像值。一般来说最小尺寸是3。
边缘检测在图像的检测中是经常会用到的。图片的边缘会包含大量的信息，因此在图像的分割、识别、分析中通常可以取边缘作为图像特征。边缘检测最经典的应用就是图像的锐化了，想必大家都用过。
断断续续写了一个多星期，期间找了很多同学讨论学习，感谢指导过点拨过我的同学们，为了精益求精本着不糊弄别人也不糊弄自己的原则在本文中探讨了很多细节。
MSGNN: A Spectral Graph Neural Network Based on a Novel Magnetic Signed Laplacian
拉普拉斯算法，数学描述上是求二阶导数，如果忘了高数里的二阶导，可以理解为简单的模板算子：
4.4 BM3D降噪算法(Block Matching 3D Filter Algorithm)7
深度学习一直都是被几大经典模型给统治着，如CNN、RNN等等，它们无论再CV还是NLP领域都取得了优异的效果，那这个GCN是怎么跑出来的？是因为我们发现了很多CNN、RNN无法解决或者效果不好的问题——图结构的数据。
把kernel放到像素数组之上，求锚点周围覆盖的像素乘机之和（包括锚点），用来替换覆盖点下的像素点值称为卷积处理
来抑制高频成分，通过低频成分，然后再进行逆傅立叶变换获得滤波图像，就可达到平滑图像的目的。
图像边缘检测能够大幅减少数据量，在保留重要的结构属性的同时，剔除弱相关信息。 在深度学习出现之前，传统的Sobel滤波器，Canny检测器具有广泛的应用，但是这些检测器只考虑到局部的急剧变化，特别是颜色、亮度等的急剧变化，通过这些特征来找边缘。 这些特征很难模拟较为复杂的场景，如伯克利的分割数据集(Berkeley segmentation Dataset)，仅通过亮度、颜色变化并不足以把边缘检测做好。2013年，开始有人使用数据驱动的方法来学习怎样联合颜色、亮度、梯度这些特征来做边缘检测。 为了更好地评测边缘检测算法，伯克利研究组建立了一个国际公认的评测集，叫做Berkeley Segmentation Benchmark。从图中的结果可以看出，即使可以学习颜色、亮度、梯度等low-level特征，但是在特殊场景下，仅凭这样的特征很难做到鲁棒的检测。比如上图的动物图像，我们需要用一些high-level 比如 object-level的信息才能够把中间的细节纹理去掉，使其更加符合人的认知过程（举个形象的例子，就好像画家在画这个物体的时候，更倾向于只画外面这些轮廓，而把里面的细节给忽略掉）。 .
Laplacian 算子是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度grad的散度div。可使用运算模板来运算这定理定律。
选自arXiv 作者：Ruoyu Li等 机器之心编译 参与：路雪 近日，AAAI 2018 发布接收论文列表，腾讯 AI Lab 共入选 11 篇。在论文《Adaptive Graph Convolutional Neural Networks》中，腾讯联合德克萨斯大学阿灵顿分校提出自适应图卷积神经网络 AGCN，可接受任意图结构和规模的图作为输入。 论文：自适应图卷积神经网络（Adaptive Graph Convolutional Neural Networks） 论文链接：https://arxiv
选自arXiv 作者：Ruoyu Li等 机器之心编译 参与：路雪 近日，AAAI 2018 发布接收论文列表，腾讯 AI Lab 共入选 11 篇。在论文《Adaptive Graph Convol
图像金字塔是图像多尺度表达的一种，是一种以多分辨率来解释图像的有效且概念简单的结构。一幅图像的金字塔是一系列以金字塔形状排列的分辨率逐步降低，且来源于同一张原始图的图像集合。其通过梯次向下采样获得，直到达到某个终止条件才停止采样。我们将一层一层的图像比喻成金字塔，层级越高，则图像越小，分辨率越低
如今，很多人都喜欢摄影。当然也有很多人喜欢对图像进行处理，使图像具有别样的味道。其中用到了很多知识，那现在我就向大家介绍一下简单的图像数字处理。
图像金字塔是图像多尺度表达的一种，是一种以多分辨率来解释图像的有效但概念简单的结构。一幅图像的金字塔是一系列以金字塔形状排列的分辨率逐步降低，且来源于同一张原始图的图像集合。其通过梯次向下采样获得，直到达到某个终止条件才停止采样。我们将一层一层的图像比喻成金字塔，层级越高，则图像越小，分辨率越低
“ 本文的内容包括图卷积的基础知识以及相关辅助理解的知识点，相信同学们看完后一定能平滑上手理解GCN！”
其主要用于边缘检测，在技术上它是以离散型的差分算子，用来运算图像亮度函数的梯度的近似值， Sobel算子是典型的基于一阶导数的边缘检测算子，由于该算子中引入了类似局部平均的运算，因此对噪声具有平滑作用，能很好的消除噪声的影响。Sobel算子对于象素的位置的影响做了加权，与Prewitt算子、Roberts算子相比因此效果更好。Sobel算子包含两组3×3的矩阵，分别为横向及纵向模板，将之与图像作平面卷积，即可分别得出横向及纵向的亮度差分近似值。缺点是Sobel算子并没有将图像的主题与背景严格地区分开来，换言之就是Sobel算子并没有基于图像灰度进行处理，由于Sobel算子并没有严格地模拟人的视觉生理特征，所以提取的图像轮廓有时并不能令人满意。
我们之前已经学到了从cut-and-paste到多频带融合等图像的合成和融合技术。它们各自都有一些缺点。
2004 年 SIGGRAPH 上，Microsoft Research UK 有篇经典的图像融合文章《Poisson Image Editing》。先看看其惊人的融合结果（非论文配图，本人实验结果）：
不知道大家有没有注意到，手机的垃圾清理软件一般都有一个功能，可以检测出拍摄质量不好的照片，然后提示你是否需要删除。
AI 科技评论按，本文作者成指导，字节跳动算法工程师，本文首发于知乎（https://zhuanlan.zhihu.com/p/68349210），AI 科技评论获其授权转载，正文内容如下：
算法：LoG斑点检测是通过搜索LoG的三维极值（位置+尺度）来寻找尺度不变区域。如果拉普拉斯算子的规模（LoG滤波器的σ）与斑点的规模匹配，拉普拉斯算子响应的大小在斑点的中心达到最大值。增加的σ计算LoG卷积图像，并堆叠在一个立方体中。这些小块对应于这个立方体中的局部最大值，用来检测黑暗背景上的亮斑。虽然是准确的，但是速度很慢（特别是对于检测较大的斑点）。
近年来，基于神经网络的偏微分方程求解器在各领域均得到了广泛关注。其中，量子变分蒙特卡洛方法（NNVMC）在量子化学领域异军突起，对于一系列问题的解决展现出超越传统方法的精确度 [1, 2, 3, 4]。北京大学与字节跳动研究部门 ByteDance Research 联合开发的计算框架 Forward Laplacian 创新地利用 Laplace 算子前向传播计算，为 NNVMC 领域提供了十倍的加速，从而大幅降低计算成本，达成该领域多项 State of the Art，同时也助力该领域向更多的科学难题发起冲击。该工作以《A computational framework for neural network-based variational Monte Carlo with Forward Laplacian》为题的论文已发表于国际顶级期刊《Nature Machine Intelligence》，相关代码已开源。
时间序列预测问题是根据一个序列的历史值预测未来值。当同时预测多个时间序列，并且各个时间序列之间存在空间上的关系时，就不能只将每个时间序列单独建模，而应该考虑不同时间序列之间的关系。例如，在交通预测场景中，需要预测不同地点的车流量，不同地点的车流量之间是存在空间上的关系的，例如A点的车20%在5分钟后会开往B点。仍然用传统的时间序列预测方法，即每个序列独立的进行预测，无法捕捉这种不同地点的空间关系信息。
谱聚类是一种基于图论的聚类方法，通过对样本数据的拉普拉斯矩阵的特征向量进行聚类，从而达到对样本数据聚类的目的。谱聚类可以理解为将高维空间的数据映射到低维，然后在低维空间用其它聚类算法（如KMeans）进行聚类
如今，照片逼真的编辑需要仔细处理自然场景中经常出现的颜色混合，这些颜色混合通常通过场景或对象颜色的软选择来建模。因此，为了实现高质量的图像编辑和背景合成，精确表示图像区域之间的这些软过渡至关重要。工业中用于生成此类表示的大多数现有技术严重依赖于熟练视觉艺术家的某种用户交互。因此，创建如此准确的显著性选择成为一项昂贵且繁琐的任务. 为了填补熟练视觉艺术家的空白，我们利用计算机视觉来模拟人类视觉系统，该系统具有有效的注意力机制，可以从视觉场景中确定最显着的信息。这类问题也可以解释为前景提取问题，其中显着对象被视为前景类，其余场景为背景类。计算机视觉和深度学习旨在通过一些选择性研究分支对这种机制进行建模，即图像抠图、显著目标检测、注视检测和软分割。值得注意的是，与计算机视觉不同，深度学习主要是一种数据密集型研究方法。
本文是笔者初学Graph neural network时写下的综述，从graph embedding开始讲起，回顾了GE和GNN的历史和经典论文，并利用热传播模型分析了GNN的数学渊源。
需要说明的是：边缘和物体间的边界并不等同，边缘指的是图像中像素的值有突变的地方，而物体间的边界指的是现实场景中的存在于物体之间的边界。
首先我们把所有图像看作矩阵。 模板一般是nxn（n通常是3、5、7、9等很小的奇数）的矩阵。模板运算基本思路：将原图像中某个像素的值，作为它本身灰度值和其相邻像素灰度值的函数。模板中有一个锚点（anchor point），通常是矩阵中心点，和原图像中待计算点对应；整个模板对应的区域，就是原图像中像素点的相邻区域。模板也称为核（kernel）。
在从图(Graph)到图卷积(Graph Convolution): 漫谈图神经网络 (一)中，我们简单介绍了基于循环图神经网络的两种重要模型，在本篇中，我们将着大量笔墨介绍图卷积神经网络中的卷积操作。接下来，我们将首先介绍一下图卷积神经网络的大概框架，借此说明它与基于循环的图神经网络的区别。接着，我们将从头开始为读者介绍卷积的基本概念，以及其在物理模型中的涵义。最后，我们将详细地介绍两种不同的卷积操作，分别为空域卷积和时域卷积，与其对应的经典模型。读者不需有任何信号处理方面的基础，傅里叶变换等概念都会在本文中详细介绍。
图像分割就是把图像分成若干个特定的、具有独特性质的区域并提出感兴趣目标的技术和过程。现有的图像分割方法主要分以下几类：基于阈值的分割方法、基于区域的分割方法、基于边缘的分割方法以及基于特定理论的分割方法等。单色图像的分割算法通常基于灰度值的不连续性和相似性。
参考博文：https://blog.csdn.net/hhyh612/article/details/79216021
近来在做三维网格编辑相关的工作，于是看了04年的这篇高引用的经典论文，这篇文章在三维中使用拉普拉斯坐标配合多个限制方法实现了效果不错的网格编辑。因为最近太忙了所以现在才抽空写好总结发出来
来源：AI科技评论本文共5100字，建议阅读15分钟本文通过微分几何学和代数拓扑学的视角讨论图神经网络系列的部分内容。 图形神经网络（GNNs）通常将其计算图与输入图的结构相一致。但是，图是 GNN 的正确计算结构吗？最近的一系列论文挑战了这一假设，用来自代数拓扑学领域的更普遍的对象取代了图，这提供了多种理论和计算优势。 本文由Cristian Bodnar 和Fabrizio Frasca 合著，以 C. Bodnar 、F. Frasca 等人发表于2021 ICML《Weisfeiler and Le
尽管表面拉普拉斯算法可能抵消的容积传导和对表面电位数据记录参考的不利影响，电生理学学科一直不愿采用这种方法进行数据分析。这种顾虑的原因是多方面的，往往涉及到对潜在转换性质的不熟悉、感知到的数学复杂性的威胁，以及对信号损失、密集电极排列需求或噪声敏感性的担忧。我们回顾了容积传导和允许任意选择脑电参考所引起的缺陷，以一种直观的方式描述了表面拉普拉斯变换的基本原理，并举例说明了常见参考模式（鼻子、连接乳突、平均）和用于频繁测量的EEG频谱（theta， alpha）以及标准ERP成分（如N1或P3）的表面拉普拉斯转换之间的差异。我们特别回顾了表面拉普拉斯算法普遍应用中的一些常见的局限，这些局限可以通过适当选择样条弹性参数和正则化常数进行球面样条内插来有效地解决。我们从实用主义的角度认为，这些局限不仅是没有根据的，而且一直使用表面电位对脑电图和ERP研究的进展构成了相当大的障碍。本文发表在International Journal of Psychophysiology杂志。
拉普拉斯算子是一种重要的图像增强算子，它是一种各向同性滤波器，即滤波器的响应与滤波器作用图像的突变方向无关，而且实现简单，被广泛用于图像锐化和高频增强等算法中。 分别对Laplace算子x,y两个方向的二阶导数进行差分就得到了离散函数的Laplace算子。
今天给大家介绍的是Twitter研究团队发表的一篇论文，该研究针对大规模图神经网络训练的问题，提出的一种新的结构更加简单的模型——SIGN，这种模型的提出使得计算复杂度大大降低，能够有效地处理大规模图结构，在多个开放的数据集上与主流的模型进行评估对比，SIGN更具有竞争优势。
边缘模糊是图像中经常出现的质量问题，由此造成的轮廓不清晰，线条不鲜明，使图像特征提取、识别和理解难以进行。
Spectral Networks and Deep Locally Connected Networks on Graphs
Sobel算子是像素图像边缘检测 中最重要的算子之一，它是一个离散的一阶差分算子，用来计算图像亮度函数的一阶梯度之近似值。
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