Gram-Schmidt 正交化的简单实现 Gram-Schmidt(格拉姆-施密特) 正交化可以正交化一组给定的向量,使这些向量两两垂直,这里列出一份简单的实现(Lua): -- vector add...return false end end end return true end 有兴趣的朋友可以试试这组向量的 Gram-Schmidt...正交化: a=(1,0,0,1)b=(0,1,0,1)c=(0,0,1,1)d=(0,1,1,1) \begin{aligned} & a = ( 1, 0, 0, 1 ) \
QR分解有多种算法实现，包括Gram-Schmidt正交化方法、Householder变换方法和Givens旋转方法等，下面我们介绍Gram-Schmidt正交化方法和Householder变换方法，并在...Gram-Schmidt算法 对于给定的n维向量a1，a2，……，an，Gram-Schmidt算法可以解决将其标准正交化的问题，即将一个线性无关的向量组转化为一个正交向量组，使得每个向量都与前面的向量正交...Gram-Schmidt算法的步骤如下： 初始化n维向量q1，q2，……，qn，其中q1=a1/||a1||2。...Gram-Schmidt算法实现的QR分解 对于给定矩阵A，其列向量线性无关，Gram-Schmidt算法实现的QR分解步骤如下： 对列向量a1，a2，……，an按照Gram-Schmidt方法进行正交化...对上一步得到的正交化向量组进行单位化得到各列正交的矩阵Q。
因子正交化统一框架 对于因子多重共线性的问题，可以通过因子正交化的方法来解决。因子正交化有多种方式。目前应用最多的有四种：回归取残差、施密特正交化、规范正交化、对称正交化。...标准化的意义在于，正交跟不相关的概念本来是不等价的，正交不一定不相关，但加上Z-SCORE标准化之后，正交等价于线性相关系数为0。 ? ? ?...02 施密特正交化 施密特正交化就是高等代数教科书上的方法，给定一组向量后，分两步操作，第一步按照一定顺序把每个向量与之前所有向量进行正交。...差别仅在于，施密特正交化多了一步归一化。 ? ? ? ? ?...04 规范正交化 规范正交化实际上跟主成分分析思路是一样的，但主成分分析在截面上应用可以，用在时间序列上就会出现对应关系不一致的问题，这也是规范正交化的问题。 ?
切线空间在坐标变换过程中，可能偏离，TNB需要重新正交化。最重要的一步是T N正交化。...TN重新正交
投影矩阵和最小二乘 二维空间 多维空间 正交矩阵和Gram-Schmidt正交化 回顾 正交基 正交矩阵 如何变成正交矩阵 行列式与其性质 行列式公式和代数余子式 克拉默法则逆矩阵体积 逆矩阵 克拉默法则...正交矩阵和Gram-Schmidt正交化 回顾 正交向量：两个向量点积为0。 正交空间：行空间与零空间。 正交基 ? 正交矩阵 ?...orthogonal orthonormal 正交矩阵QQ的特性如下： QTQ=IQ^TQ=I Q−1=QTQ^{-1}=Q^T（如果QQ是方阵的话） 正交矩阵好处很大。...如何变成正交矩阵 总体思路就是先求出正交的向量，然后根据向量的长度变成正交矩阵。...求正交的向量，可以用 b=b−p=b−Ax=b−AATbATA b = b-p=b-Ax=b-A\frac{A^Tb}{A^TA} 行列式与其性质 行列式，是最能够代表矩阵性质的一个数，根据它可以判断矩阵是不是奇异矩阵等
定义：若n阶矩阵A满足 则称A为正交矩阵 定理：A为正交矩阵的充要条件是A的列向量和行向量都是标准（规范）正交基。 证明 可以发现相同向量内积为1，不同内积为0.
一、正交向量组的概念与求法 1、正交的概念 如果向量， 则称两个向量正交，零向量与任何向量正交。 2、正交向量组概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组。...为 的一个规范正交基（或标准正交基），即满足 例如 为 的一个规范正交基。...5 求规范正交基的方法 设 是向量空间V的一个极大无关组，要求V的一个规范正交基，就是找一组两两正交的单位向量 使 与 等价，这样一个问题，称为把 这个极大无关组规范正交化...（1）正交化，取 那么 两两正交，且与 等价。...（2）单位化，取 那么 为V的一个规范正交基 上述由线性无关向量组 构造出的正交向量组 的过程称为斯密特正交化过程。
它们包括列行(CR)、高斯消去(LU)、Gram-Schmidt正交化(QR)、特征值与对角化(QΛQT)和奇异值分解(UΣV T)。
overline{Y} $$ 因为$X^T\overline{Y}=Y^HX$，所以$\left=Y^HX=\left$ schmidit正交化...,\alpha_s\in V$是线性无关的，将其正交化得到的基为$\beta_1,\beta_2,......解：首先正交化，令 $$ \begin{aligned} \beta_1&=\epsilon_1\\ \beta_2&=\epsilon_2-\frac{\left<\epsilon_2,\beta_...-1,1,0,1,0]^T\\ \alpha_3 = [4,-5,0,0,1]^T $$ 故$\mathcal{N}(A)=span\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$ 首先正交化得...解：首先正交化，令 $$ \begin{aligned} \beta_1&=\alpha_1\\ \beta_2&=\alpha_2-\frac{\left<\alpha_2,\beta_1\right
Lanczos算法是一种基于瑞利-里兹方法的正交变换法，该方法在许多有限元软件得到了应用。例如ANSYS中模态分析就有Lanczos算法。 Lanczos基本算法流程： 对i=2,3，......,q（q是欲求频率阶数），下列公式可形成一组关于质量矩阵M正则化得向量x1、x2、...xq 因此，矩阵Tq的特征值与Kφ= λMφ的特征值互为倒数关系。...为了提高其计算精度，需要对基本算法进行改进，比如在迭代过程中可以利用Gram-Schmidt技术对迭代向量进行重新正交化，采用移轴法提高效率等等。
正交矩阵和施密特正交化 17.1 课程内容：正交矩阵和施密特正交化 在上一讲我们证明了 ? 如果 ? 的各列线性无关，那么必然可以求解得到 ? 。这里我们需要提到一种特殊的系数矩阵 ?...为正交矩阵，同时根据正交向量的长度为 1 ， 我们可以写出单位（标准）正交向量的定义 ? 那么，为什么要使用 ? ？ ? 的作用是什么？ 答案是： ? 能使计算简化。 因为 ?...这就要提到施密特正交化（Gram-Schmidt Orthogonalization）。 施密特正交化思路： 1. 先将线性无关的向量组构建成为正交的向量组 2....正交吗？ ? 确实是正交的！ 对于第三个向量 ? 呢？ ? 举个施密特正交化的例子： ? 那么求解正交向量： ? 由此得到 ? 在消元法中，我们使用 ?...17.2 施密特正交化习题课 2011年施密特正交化习题课 (http://open.163.com/movie/2016/4/F/C/MBKJ0DQ52_MBO4C07FC.html) 由 ?
在高维空间当中也是一样，不过我们一般不说垂直，而是会换一个词——正交。两个非零向量的内积为0，说明两个向量正交。 正交向量组 搞清楚了正交向量之后，正交向量组也就明确了。...规范正交基 我们把正交向量组的概念和基的概念融合，如果向量组 ? 是向量空间V的一个基。如果它们之间彼此正交，那么就称它们是一组规范正交基。...我们随便取两个b向量乘一下就知道，b向量组之中两两正交。所以，我们只要将b向量组单位化一下，就可以求出对应的规范正交基了。 即： ? 这个算法虽然不难，但蛮重要。...在机器学习领域中一些降维算法，很多都与施密特正交化方法有关。 正交矩阵 之前我们在介绍矩阵的时候，曾经说过，我们可以把一个矩阵看成是一个特定的向量组的结构。...最后，我们看一下正交矩阵的性质。它的主要性质有三个： 1. 如果A是正交矩阵，那么 ? ，也是正交矩阵，并且 ? 。 2. 如果A和B都是正交矩阵，并且它们阶数一样，那么AB也是正交矩阵。 3.
正交编码 正交编码的基本概念 正交性 若两个周期为 T 的模拟信号 s_{1}(t) 和 s_{2}(t) 互相正交, 则有 \int_{0}^{T} s_{1}(t) s_{2}(t) d...按照互相关系数定义式计算容易得知, 这 4 个码组中任意两者之间的相关系数都为 0 , 即这 4 个码组两两正交。我们把这种两两正交的编码称为正交编码。...如果一种编码中任两码组间均超正交, 则称这种编码为超正交码。...则不难验证, 由这 3 个码组所构成的编码是超正交码。 双正交编码 由正交编码和其反码便可以构成双正交编码。...正交沃尔什函数 沃尔什(Walsh)函数集是完备的非正弦型的二元（取值为+1与-1）正交函数集, 其相应的离散沃尔什函数简称为沃尔什序列或沃尔什码。
利用特征向量的正交性质。如果我们已经找到一个特征向量v₁，我们可以通过正交化过程来找到与之正交的特征向量v₂。通过Gram-Schmidt正交化方法，我们可以计算出一个正交的特征向量集合。...对于代数重数大于1的特征值，我们需要进一步寻找额外的线性无关特征向量，可以利用线性方程组解空间的性质或特征向量的正交性质来构造这些特征向量。这样，我们就可以完整地描述带有重复特征值的矩阵的特征向量。
就是出现了这个P的逆矩阵，很不好求 这里就给出了一个逆矩阵的求法，很复杂 正交矩阵，这种矩阵的逆矩阵特别好求 正交对角化，即想办法将P构造为正交矩阵，从而减小对角化时求解的困难 正交矩阵其实是在这样的背景下出现的...也是坐标系旋转了，标准正交基就是一组旋转的自然基 等等！这么好的东西怎么算啊？施密特正交化！是不是这样说下来就觉得线性代数也不是那么抽象，更像是偷懒的艺术。不装逼了，写完这段睡觉了。...其实一般来说施密特正交化说的是这个公式 正交化可以得到正交矩阵，正交矩阵的逆就是转置 正交矩阵的逆矩阵很容易算出，所以如果对角化中用到的P可构造为正交矩阵，即有: 那么就可以大大降低对角化的求解难度：...因为正交矩阵的列向量组为标准正交基，所以构造正交矩阵最关键的就是要找到正交基, 简单来说，就是借助该向量空间的一个基x1,x2，找到同一个向量空间的一个正交基v1,v2： 方法是固定住其中一个基，求出与之垂直的另一个基就行了...，不过这只能保证正交基，还不是标准正交基.
end{bmatrix} \qquad b_4 = \begin{bmatrix}0.4 \\ -0.4 \\ 0.8\end{bmatrix} \qquad 由于基向量的长度不是1，所以我们首先进行标准化....end{bmatrix} \hat{b_2} = b_2 / \|b_2\| = \begin{bmatrix}0.4082 \\ -0.4082 \\ -0.8165\end{bmatrix} 标准化的基向量对...如果给定的基向量已经是单位向量，则不需要进行标准化. 基向量对 y 值的贡献的计算是通过标准化以后的基向量和残差的点积进行计算的....说明总结 在正交匹配追踪OMP中，残差总是与已经选择过的原子正交的。这意味着一个原子不会被选择两次，结果会在有限的几步收敛。...初始化：残差 r_0 = y ，索引集 \Lambda_0 = \emptyset ， t=1 .
正交匹配追踪算法每次迭代均只选择与残差最相关的一列，自然人们会想：“每次迭代是否可以多选几列呢?”，正则化正交匹配追踪(RegularizedOMP)就是其中一种改进方法。...本篇将在上一篇《压缩感知重构算法之正交匹配追踪(OMP)》的基础上给出正则化正交匹配追踪(ROMP)算法的MATLAB函数代码，并且给出单次测试例程代码、测量数M与重构成功概率关系曲线绘制例程代码。...正则化正交匹配追踪算法流程与OMP的最大不同之处就在于从传感矩阵A中选择列向量的标准，OMP每次只选择与残差内积绝对值最大的那一列，而ROMP则是先选出内积绝对值最大的K列（若所有内积中不够K个非零值则将内积值非零的列全部选出...2、正则化正交匹配追踪(ROMP)MATLAB代码(CS_ROMP.m) 这个函数是完全基于上一篇中的CS_OMP.m修改而成的。...压缩感知重构算法之正则化正交匹配追踪(ROMP).
关于正交化，很早之前写过一篇《因子正交化》，细节可以参考这篇，不再展开。...翻了一些研报，大家推荐的正交化方法都是对称正交，原理和实现上都不难，上次文章里有写，但实际用的时候，会有一些问题需要再想想清楚，比如 1....结果来看，对称正交是可以通过矩阵旋转特定角度来满足正交前后因子一一对应的高相关性，并且正交后两两正交。但更直观的来说，旋转发生了什么？ 2....性质2：回归模型中，加入新因子时，不做正交化，不会影响新因子的因子溢价，和正交后的回归系数相同，但原始因子的系数会变。 这个性质表明，新因子正交或者不正交，不影响新因子，但会影响原始因子。...性质的证明也很简单，假设正交前的因子进行了标准化，标准差为1，均值为0，很显然就有
PCA用的是最小化正交投影距离，而线性回归是最小化y轴上的距离。 ? 在k维子空间中，存在k个标准正交基矢量。...基矢量不必是正交的，但子空间中的每个基矢量都可以使用Gram-Schmidt过程替换为正交基，我们可以很容易地将基矢的长度改为1.因此，这个优化问题的约束条件是基向量的长度必须为1。 ?...我们开始的最小化问题是最小化从数据集到投影的正交距离。对于最大化问题，我们看到它是最大化方差。现在我将说明为什么问题的最大化版本是投影数据集的方差的最大化。我们先定义方差的表达式： ?...从最小化和优化角度看同样的问题很有意思，因为它们都实现了减小维度的目标，但它是以不同的方式完成的。最小化将是最小化残差，残差是数据点和投影之间的正交距离。...另一方面，最大化问题是最大化正交投影数据集的方差。我们可以直观地看一下最小化和最大化： ? 现在我们将k = 1表达式转换为通用k表达式。原始的最小化表达式 ? 即相当于： ?
在图片渲染的时候，之前使用的顶点坐标是占满整个屏幕的归一化坐标 //顶点坐标 static float vertexData[] = { // in counterclockwise order...是不在归一化坐标范围内的，为了能使OpenGL正确的渲染，我们就需要把（？）...以及其他边统一转换到归一化坐标内，这个操作就是正交投影 使用正交投影，不管物体多远多近，物体看起来总是形状、大小比例相同的。...; private int program; private int avPosition; //纹理位置 private int afPosition; //正交投影
领取专属 10元无门槛券
手把手带您无忧上云
云服务器
ICP备案
对象存储
腾讯会议
云直播
