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LCM与GCD算法

LCM(最小公倍数)和 GCD(最大公因数)在做 ACM 题时经常会用到,求两个整数的 LCM 和 GCD 有两种方法。 1. 辗转相除法(欧几里得算法) 定理:对于任意的两个整数 , 有 。...( 表示 和 的最大公因数) 证明如下: ,其中 为整数, 。    设 ,则 , 。    则 ,进一步推出 。   ...故 也是 的因数,即 。    同理,设 ,则 , , 。    则 。    故 也是 的因数, 即 。    综上, ,原命题得证 。...所以要求两个数的最大公因数,只需根据递推式不断进行递推,并更新 , , 直到 为止,则此时的 即为 求得 以后,则 (最小公倍数)便可由 求得 。 2....素因子分解 定理:任意一个正整数都能分解成若干个素数的幂的乘积的形式。 证明略 。 由此可知, , . 其中 。 故

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    算法:最大公约数(GCD)

    如果有一个整数 c,它使得 a = bc,则 a 叫做 b 的倍数,b 叫做 a 的因数。我们有时说,b 能整除 a 或 a 能被 b 整除,表示为 b|a。...,an 的公因数。公因数中的最大的那一个数叫做 a1,a2,a3,...,an 的最大公因数,表示为 (a1, a2, ..., an) = d。 ? 2. 辗转相除法?...辗转相除法, 又名欧几里德算法(Euclidean algorithm),是求最大公约数的一种方法。...方法是:用较大数除以较小数,再用出现的余数(第一余数)去除除数,再用出现的余数(第二余数)去除第一余数,如此反复,直到最后余数是0为止。那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。...辗转相除法的关键是 一个数学事实 GCD(a, b) = GCD(b, a mod b) 图:辗转相除数学证明 ? ? 4. 程序代码? 图:辗转相除算法 ? ?

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    约束条件变更对算法运行时间所带来的影响

    ,n次请求,去获取单个资源,每个请求的开始时间是s(i),结束时间是f(i), 对于请求i和j,如果二者的区间不重合,即f(i)的。...比如上图是3个 如何才能获取请求的兼容的区间最大的个数? 可以使用贪心算法。 贪心算法的大致思路是:每次获取问题的一小部分,决定对这小部分数据如何做处理,解决了这部分,再去处理其它的。...可以想象有一些方式 按照顺序来,从这种情况看,只能拿到第一个请求,不是最大的,不行 image.png 获取时间区间最短的,有如下反例 image.png 计算每个请求的不兼容的请求的数量,然后获取最小的不兼容数量的...image.png 加权的区间调度 image.png 可以举出一个例子,证明使用上述贪心算法的策略不再生效 image.png 优先最先完成的贪心算法必定会选择权重为w=1的两个,但是它得到的最终权重是小于...总共的遍历为从1,..,n,所以时间花销为 image.png 运行时间可以优化到nlgn; 如果增加条件实在一批机器上运行,要去获取一个最大的兼容区间个数,则是一个NP-hard问题

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    插入、归并、堆、count、radix、快速排序算法运行时间

    构建堆的时间分析 可以看到首先要遍历一半的数组,然后有可能面对从顶层到最底层的一次修正操作,而树的高度为lgn,那么时间一定是O(nlgn),可以更细的来分析: image.png 因此,构建一个堆的时间实际上是...堆排的时间是O(nlgn) Count Sort 将要排序的每一个数映射到一个数组的下标,然后按照顺序输出数组的值即可 def sort(self): k=self.maxValue+1 L=[[]...append(self.data[j]) print(L) output=[] for i in range(k): output.extend(L[i]) print(output) 复制代码 时间分析...:需要创建最大的k个数组,时间为O(k),然后遍历n原值,时间为O(n),最后拼接到原有的输出值,每次需要判断L[i]==0?...,而且每次如此,可得它的划分函数为 image.png 可得T(n)=nlgn 实际上可以得到期望运行时间就是 nlgn。

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    插入、归并、堆、count、radix、快速排序算法运行时间

    ,它的左右节点是满足最大堆的,这时需要调整,找到左右节点中最大值的下标,交换父节点的值,这里就是交换下标2和下标4 再迭代,直到满足堆的性质就可以停止 构建堆的时间分析 可以看到首先要遍历一半的数组...,然后有可能面对从顶层到最底层的一次修正操作,而树的高度为lgn,那么时间一定是O(nlgn),可以更细的来分析: 在叶子节点上一层,最多只交换1次,所需要的时间是O(1),在叶子节点上的l层,次数为O...:需要创建最大的k个数组,时间为O(k),然后遍历n原值,时间为O(n),最后拼接到原有的输出值,每次需要判断L[i]==0?...:每次排序使用的是count sort,需要时间为O(n+b),总共需要循环的次数为d次,总时间为O((n+b)d)=O((n+b)log⁡bk)O((n+b)d)=O((n+b)\log_bk)O((...T(n)=2T(n/2)+θ(n)T(n)=2T(n/2)+\theta(n)T(n)=2T(n/2)+θ(n) 可得T(n)=nlgn 实际上可以得到期望运行时间就是 nlgn。

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    那些惊艳的算法— 时间轮算法

    下次执行的时间 - 当前时间 = 时间差。 向ScheduleThreadPool线程池中提交一个延迟上面算出来的时间差的执行的任务。...再后来,一次在地铁上看到一篇文章,讲了一种叫做时间轮的定时任务调度思想,感觉想法很不错,当年那个模糊的概念似乎清晰了很多,再后来,一个偶然的机会,网上搜了一下,竟然有一篇专门讲解时间轮算法的论文,顿时兴奋无比...戳这里下载:《Hashed and Hierarchical Timing Wheels》 论文中的思路很简单但也十分巧妙,对算法不断的改进对比,各种操作系统,框架中的基于时间的调度算法都是基于时间轮的思想实现的...这就是时间轮算法最核心的思想了。 什么?时针怎么转? while-true-sleep 下面让我们一点一点增加复杂度。...整体的示意图如下所示: 5.png 时间轮的应用 时间轮的思想应用范围非常广泛,各种操作系统的定时任务调度,Crontab,还有基于java的通信框架Netty中也有时间轮的实现,几乎所有的时间任务调度系统采用的都是时间轮的思想

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    iOS——GCD的死锁案例

    在项目中,用GCD的时候非常多,但是我最近脑子里一直在问自己一个问题,死锁是什么。惭愧的是这个当初清晰的概念现在愈加模糊,考虑到自己并没有专门整理过死锁的文章,所以写一篇技术文章来帮助自己梳理概念。...GCD提供了功能强大的任务和队列控制功能,相比于NSOperationQueue更加底层,因此如果不注意也会导致死锁。 所谓死锁,通常指有两个线程A和B都卡住了,并等待对方完成某些操作。...串行与并行 在使用GCD的时候,我们会把需要处理的任务放到Block中,然后将任务追加到相应的队列里面,这个队列,叫做Dispatch Queue。...} print("3") //任务3 接下来 控制器输出: 1 分析: dispatch_sync表示是一个同步线程; dispatch_get_main_queue表示运行在主线程中的主队列...总结 在总结完这些GCD死锁的情况的以后,我觉得脑子里关于GCD中死锁的概念也逐渐清晰了。以后在项目中也会运用的时候也会更加注意。

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    算法—算法的时间空间复杂度

    事后分析法 缺点:不同的数据规模,不同的机器下算法运行的时间不同,无法做到计算运行时间 2....事前分析法 2.1 大O时间复杂度 渐进时间复杂度 随着n的增长,程序运行时间跟随n变化的趋势 2.1.1 几个原则 去掉常数项 2(n^2) =n^2 一段代码取时间复杂度最高的 test(n) {...= 0; i < n ; i++){ print(n); } } //时间复杂度n for(int i = 0; i < n ; i++){ print(n); } } 这段代码的时间复杂度为...test(n) { int i = 1; while (i <= n) { i = 2 * i; } } 随着循环次数的增加,i的值变化如下 根据对数函数的公式 2的i次方等于n,...i等于log2n 2.2 最好情况时间复杂度 数据比较有序的情况的时间复杂度 2.3 最坏情况时间复杂度 数据完全无序 3.

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    时间轮算法

    大家好,又见面了,我是你们的朋友全栈君。 时间轮算法 最近工作中使用了Xxl-Job框架来做分布式调度,内部采用了时间轮做整体调度,顺便学习并总结一下。...只需要把任务放到它需要被执行的时刻,然后等到时针转到相应的位置时,取出该时刻放置的任务,执行就可以了。这就是时间轮算法的核心思想。...时间来到了第二天上午九点,时间轮也转到了9点钟的位置,发现该位置有一个生成报表的任务,拿出来执行。 同时时间轮发现这是一个循环执行的任务,于是把该任务重新放回到9点钟的位置。...最简单的办法就是增大时间轮的长度,可以从12个加到168 (一天24小时,一周就是168小时),那么下周一上午九点就是时间轮的第9个刻度,这周三上午九点就是时间轮的第57个刻度。...但是这样带来的问题时,每次移动刻度的耗时会增加,当时间刻度很小(秒级甚至毫秒级),任务列表有很长,这种方案是不能接受的。 分层时间轮 分层时间轮是这样一种思想:   1.

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