编码Karatsuba乘法
是一种用于大整数乘法的算法。它是由安德烈·卡拉茨巴于1960年提出的，是分治算法的一种应用。
Karatsuba乘法的核心思想是将两个大整数分别拆分成高位和低位两部分，然后通过递归地计算四个部分的乘积，并利用数学性质将乘积的计算量减少。具体步骤如下：
- 将两个大整数x和y分别拆分成高位和低位两部分，即x = a * 10^n/2 + b，y = c * 10^n/2 + d，其中n是x和y的位数的一半。
- 计算三个乘积：ac、bd和(a+b)(c+d)。
- 利用递归计算(a+b)(c+d)的乘积，即(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd。
- 利用上述计算结果，计算最终的乘积xy = ac * 10^n + (ad + bc) * 10^n/2 + bd。
Karatsuba乘法相比传统的乘法算法具有以下优势：
- 减少了乘法的次数，从而减少了计算量。
- 通过递归的方式，可以处理任意长度的大整数乘法。
- 在大整数乘法中，时间复杂度较低，可以提高计算效率。
Karatsuba乘法在很多领域都有应用，特别是在密码学、数据压缩和多项式乘法等领域。在云计算领域，Karatsuba乘法可以用于处理大规模数据的乘法运算，提高计算效率。
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2回答
我最近学习了Karatsuba乘法。为了完全理解这个概念，我尝试用Python编写代码，并将运行时间与经典乘法进行了比较。尽管结果是相等的，但karatsuba的执行时间仍然是最低的，尽管我使用的是递归调用。我的方法有什么问题？一些帮助肯定会让我对算法设计有更多的了解。
最好的
JP
print('Karatsuba multiplication in Python')
x=raw_input("first_number=")
y=raw_input("second_number=")
print('-------------------
浏览 0提问于2014-07-14得票数 3
今天，我听说了Karatsuba算法，一种快速乘法算法。我很好奇，这个“快”在哪种意义上是指？
通常，当计算一段代码的时间复杂度时，我们考虑使用*运算符的乘法运算作为O(1)，如果它总是正确的，为什么我们有一个关于渐近符号的更快的算法？或者*在非常大的数字上执行时不应该被认为是O(1)，其中Karatsuba算法是有用的？
在机器级别，编译器总是在*上做一些优化。例如，使用逐位运算将一个数乘以2^n。Karatsuba算法在实际运行时间内是否优于*？
浏览 0提问于2012-03-19得票数 4
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已知具有时间复杂度~O(n^log2(3))的递归Karatsuba乘法算法比具有复杂度O(n^2)的简单乘法算法快。
但是，它使用的内存空间比“年级”算法-- O(n log(n))而不是O(n)内存--要大得多，对于拥有少量内存的控制器或非常小的计算机来说，这是非常关键的。
所以，我的问题是：
在karatsuba算法中有实现O(n)内存空间的方法吗？
PS:我知道使用快速傅立叶变换你可以获得更快的速度O(n log(n))和更好的内存使用O(n)，但是我只是对Karatsuba很好奇。
浏览 9提问于2015-05-04得票数 2
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我正在学习Karatsuba，并且很好奇Python实际上是如何实现乘法运算的。对不起，我找不到这方面的文件。
浏览 2提问于2022-06-22得票数 0
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我用Python实现了一个Karatsuba算法，但它并没有给出确切的答案。
def karatsuba(x, y):
if x < 10 or y < 10:
return x*y
#making the two numbers strings here
str_x = str(x)
str_y = str(y)
#finding the mid point for each number here
n = max(len(str(x)), len(str(y)))
n_2 = int(n / 2)
浏览 0提问于2017-06-07得票数 3
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1回答
所以我使用GNU库中的Binet公式来计算Fibonacci数。我正在尝试计算算法的渐近运行时。
对于Fib(n)，我将变量设置为n位精度；因此，我相信将两个数字相乘是n Log(n)。幂运算是，我相信n次Log(n)乘法；所以我相信我有n次Log(n)Log(n )。无论是在假设(将浮点数和乘法次数乘以整数指数)还是结论中，这都是正确的吗？
如果我的精度很高，并且我使用精度g(n)；那么我认为这将减少到g(n) Log( g(n) )；但是我认为g(N)应该是g(n)=n Log(phi)+1；这应该不会对渐近性产生实际影响。
浏览 2提问于2012-02-15得票数 0
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2回答
我正在处理一个本地C++/CLI类，它使用多精度值执行整数运算。单个整数由64位无符号整数数组表示.符号用布尔值表示，负值是用它们的绝对值存储的，而不是作为两个的补充。这使得处理符号问题变得容易多了。目前我正在优化乘法运算。我已经做了几次优化循环，但是函数仍然需要是两个.NET BigInteger值的*操作符的两倍，这表明还有很大的进一步优化的潜力。
在寻求帮助之前，让我向你展示我已经尝试过的东西。我的第一次尝试是一种天真的方法:使用一个基本的64位到128位乘法对所有64位项的对，并移动/添加结果。我没有在这里显示代码，因为它太慢了。下一次尝试是递归分而治之算法，结果证明它要好得多。在我的
浏览 1提问于2019-03-25得票数 0
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因此，在“分而治之”课程中，我们被教导：
Karatsuba增殖
快速指数
现在，给定两个正整数a和b比operator::*快于karatsuba(a,b)或pow(a,b)快于
int fast_expo(int Base, int exp)
{
if (exp == 0) {
return 1;
}
if (exp == 1) {
return Base
}
if (exp % 2 == 0) {
return fast_expo(Base, exp / 2) * fast_expo(
浏览 6提问于2016-06-24得票数 0
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我正在尝试使用karatsuba乘法将两个数字相乘。我的java代码不工作了。我使用字符串作为参数和参数，这样我们就可以将两个n位数相乘(n是偶数)。另外，我不想使用long或BigInteger。请帮我找出我的代码错误。
class karat{
public static String karatsuba(String first, String second){
if(first.length() <= 1 || second.length() <= 1)
return String.valueOf(Long.parseLong(first)*Lo
浏览 18提问于2017-08-20得票数 0
1回答
除法复杂性
、、、、
文章提到了O(M(n))中除法的复杂性，以及“下面的M(n)表示所选乘法算法的复杂性”。
但我不知道如何解读嵌入在M(n)中的O(M(n))：这是否意味着除法与乘法具有相同的复杂性？
如果我使用Karatsuba乘法算法，那么除法也会采用O(n^1.585)算法吗？
浏览 3提问于2016-05-15得票数 2
1回答
我用BigInteger编写了一个C++类，它应该能够对任意大小的所有数字进行操作。目前，我正试图实现一种非常快速的乘法方法，通过比较现有的算法并测试它们对哪一种数字最有效，我遇到了非常意想不到的结果。我尝试了20次500位数的乘法，并对它们进行了计时。结果是：
karatsuba:
14.178 seconds
long multiplication:
0.879 seconds
维基百科告诉我
因此，对于足够大的n，Karatsuba算法将执行比长和乘法更少的移位和一位数的加法，尽管它的基本步骤使用的加法和移位比简单的公式要多。然而，对于n的小值，额外的shift和add操作可
浏览 1提问于2014-05-31得票数 4
1回答
我想在这里做卡拉特赛乘法。下面的代码适用于两位数的数字(例如78 * 34)，但对于数字大于2的数字(例如5678 * 1234)，则给出错误的结果。我已经附加了调试日志。在某一点之后，计算是错误的。有人能看看我对算法的理解是否不正确吗？
static BigInteger karatsuba(BigInteger no1, BigInteger no2){
BigInteger result = null;
//Both numbers less than 10
if(no1.compareTo(new BigInteger("9")) !=
浏览 3提问于2021-04-16得票数 1
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1回答
我正在为在线课程在Scala中实现 (我的选择)。考虑到算法是用来乘大数的，我选择了由Java支持的BigInt类型。我希望高效地实现该算法，使用基本10的算法从维基百科复制如下：
procedure karatsuba(num1, num2)
if (num1 < 10) or (num2 < 10)
return num1*num2
/* calculates the size of the numbers */
m = max(size_base10(num1), size_base10(num2))
m2 = floor(m/2)
/* spli
浏览 0提问于2018-11-04得票数 0
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2回答
我已经实现了两个字节数组的乘法，它工作得很好。更准确地说，我需要将64字节的操作数乘以32字节的操作数。
我用最简单的方法实现了它:我做了一个双循环，并计算每个数组中每个字节的乘积。因此，对于特定的值，它采取64 * 32 = 2048步骤。
我尝试使用Karatsuba方法优化它。因此，我按以下方式进行：
a的长度为64字节，b的长度为32字节。
我们将a拆分为：a = p * 16^(32) + q (所以p和q都有32个字节)和计算：a * b = p * b * 16^(32) + q * b (产品是用前面描述的函数计算的)。
我得到了正确的结果，但计算时间相同:两个32字节数组的2
浏览 4提问于2015-05-04得票数 3
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我目前正在上一个算法类，我很想看看两种方法中哪种方法乘以一个大数字列表的速度更快。我发现递归乘法的执行速度大约快了10倍。对于下面的代码，我得到了t_sim=53.05s和t_rec=4.73s。我做了其他一些测试，它们似乎都在10倍的范围内。
此外，您可以将递归乘法中的值放入树中，并重用它们来更快地计算列表子集的乘法。
我做了一个理论运行时分析，两者都是使用标准乘法的n^2，但当使用karatsuba算法时，该因子将下降到n^log_2(3)。
simple_multiply中的每个乘法都应该有运行时间i*1。在i=1...n上求和，我们得到一个算术级数，并可以使用高斯公式得到n*(n+1)
浏览 0提问于2018-10-25得票数 2
这段代码没有通过所有的测试用例，有人能帮上忙吗？我只是通过了直截了当的测试，然后它就失去了精度。
import math
import unittest
class IntegerMultiplier:
def multiply(self, x, y):
if x < 10 or y < 10:
return x * y
x = str(x)
y = str(y)
m_max = min(len(x), len(y))
x = x.rjust(m_max, &#
浏览 5提问于2019-07-21得票数 0
1回答
我在三个参数集上运行并计时了Weil配对的实现。一个数量级为512位，一个为256位，最后一个为161位。
我采用Miller的算法来计算Weil配对。我用于两点乘法的算法是双加加算法.如果我正确理解，这两种算法的时间复杂度都为$O(log (n))$。
我得到的时间是512位的10秒，256位的2，5秒，161位的1秒。当我看到我得到的时间时，似乎更像是$O(n^2)$或$O(n \cdot log (n))$的复杂性。
有人能告诉我基于我的结果的时间复杂度是多少吗？
浏览 0提问于2018-08-15得票数 1
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2回答
我在实现Karatsuba算法时遇到了一些问题。我的项目限制了我使用以下库: iostream、iomanip、cctype、cstring。此外，我只能使用整数内置类型和数组/动态数组来处理数字(只会输入无符号整数)。我使用动态数组构建了一个类来处理任意大小的整数。我需要实现一个乘以大整数的函数，如果可能的话，我想使用Karatsuba。我遇到的麻烦是如何分解大整数并执行算法中要求的乘法。我假设这应该是递归完成的。我希望有人能给我一个如何做到这一点的例子。
例如：
我有两个数字存储在动态数组中。让我们假设它们是：
X= 123456789123456789123456789 Y= 98765
浏览 1提问于2013-11-08得票数 1
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1回答
我需要乘两个32位有符号数字使用加法和移位，并获得64位数字存储在内存位置$0408-$040F。这两个数字存储在8位存储器中。
movb #$1F, $0400 ; the first number is $1F230001
movb #$23, $0401
movb #$00, $0402
movb #$01, $0403
movb #$F8, $0404 ; the second number is $F8012346
movb #$01, $0405
movb #$23, $0406
movb #$46, $0407
我知道如何用加法和移位将两个8位数相乘，但我不知道如
浏览 2提问于2013-11-01得票数 3
该算法对n/2实例进行了3次乘法运算。因此，当n> 1，M(1) =1时，递归关系不应该是M(n) = M(n/2)+3吗？
浏览 1提问于2016-03-22得票数 2
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当C将两个n-bits整数相乘时，它是在内部使用正常的O(n^2)乘法算法，还是使用Karatsuba的O(n^log_2(3))乘法算法的变体？
浏览 2提问于2017-02-13得票数 3
3回答
我想用Python语言实现。但是，在表单中写入数字
A=c*x+d
其中x是接近sqrt(A)的基(令x=b^m)的幂。
如果我连除法和乘法都不会，我怎么找到x呢？我是否应该计算位数并将A向左移位位数的一半？
谢谢。
浏览 1提问于2011-09-18得票数 6
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3回答
我正在寻找一个c++类/库，它提供1024bit和更大的整数和位操作，比如：-位移位，-位OR/ and，-定位第一个零位
速度至关重要，因此必须使用一些SIMD程序集来实现。
浏览 0提问于2009-06-28得票数 16
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2回答
如何实现模幂？
、、、、
我试图计算出这样的数字: a^b mod c，其中所有三个数字都很大。
我尝试过的事情：
Python的pow()函数耗时数小时，尚未产生结果。(如果有人能告诉我它是如何实现的，那将是非常有帮助的！)
我用O(log )时间实现了一个从右到左的二进制方法，大约需要30~40个小时(不想等那么久)。
各种递归方法都会产生分段错误(在我更改递归限制之后)。
我能做什么优化吗？
浏览 0提问于2018-02-12得票数 1
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首先，如果这个问题适合这样做，我很抱歉，但是由于我使用的是密码的方法，我想我可以问任何可能知道这个问题的人。Karatsuba算法做得很好，但是也许有更好的方法。
浏览 0提问于2013-02-23得票数 2
1回答
以前我发了一个关于这个问题的问题，得到了很好的回答。，然而，对于类中的递归，我仍然有一些不理解的地方。在上面的链接问题中，如果我将prefixive self.添加到递归子例程中，就会得到与下面类输出中产生的错误完全相同的错误(本文中的第三个代码块)。我理解为什么会发生这种情况；object.karatsuba()只接受self作为它的输入，但是编码的方法要求2，因此出现了错误。
，请检查下面的代码，然后看到我对第三个代码块之后的解决方案的直觉。
例如:我有一个不想在类中工作的karatsuba乘法的工作实现。标准的课堂乘法在课堂上效果很好，但是.
这是类之外的工作代码：
def zeroPa
浏览 0提问于2018-06-09得票数 0
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1回答
嗨，我正在尝试在Javascript中实现karatsuba算法。到目前为止，该算法在某些情况下工作得很好，例如当整数长度为4或8时，当整数长度为6时，它会打印出错误的结果 例如: 3141*2718=>8537238 (正确的结果) 例如: 314*271=>84981.37398106341 (结果错误) 例如: 3141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592 * 2718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627 =
浏览 11提问于2020-05-03得票数 1
4回答
超大整数的快速乘法
、、、
如何将超过32个字符的两个非常大的数字相乘，例如100的乘法！有122个！或者22^122和11^200通过分而治之的方法，有没有人有java代码或C#代码？
浏览 0提问于2010-01-04得票数 6
1回答
如何比较一组数上的各种乘法算法
、、、、
在麻省理工学院的MITOpencourseware讲座(6.006讲座12)中，我遇到了4种乘法算法(用于乘两个n位数)--
具有O(n^2)复杂度的普通朴素方法
Karatsuba算法- O(n^1.584)
(Toom3)- O(n^1.465)
Schonhage-Strassen (nlog(N)log(log(N)
现在要研究的是，在哪一种阈值(即n的值)上，一种方法取代了另一种方法，成为一种更好的算法。有人提到，所有上述都是在gmpy包。
为了尝试这一点，我在下面的链接- 中引用了包文档
然而，在浏览本文档的部分内容时，gmpy2似乎更多地是为了处理大量的数
浏览 6提问于2020-09-03得票数 0
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1回答
我花了一段时间用Python实现Karatsuba的算法，但是当我试图将两个较大的数字(超过10^15)相乘时，我的结果开始变得不准确。我搞不懂为什么。
附带问题:我的基本情况是否有一种方法：“(而不是两者之一)x和y都严格地小于10”。
def karatsuba(x, y):
# 1. Split ints
if x <= 10 or y <= 10:
#Base case
return x * y
n_x = ceil(log(x, 10)) # Nb of digits in x
n_y = ceil(l
浏览 11提问于2022-02-05得票数 1
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我试图在c++中实现bigint类，它还没有完成，我遇到了一些我无法理解的错误。
我删除了所有其他函数(因为在本例中它们是不必要的)，karatsuba还没有完成(但在本例中不应该造成问题)。
在乘法函数(重载*)中，我的编译器给出了一个错误：
传递'const BigInt‘作为'this’参数丢弃限定符-fpermissive
在线
ans.a = karatsuba(n,m);
我知道，当我试图改变传递给常数函数的常量对象或对象时，就会发生这种情况。在我的例子中，我只是创建一个新的向量，并将它传递给karatsuba函数。从过多的*中删除const将消除此错误。
浏览 0提问于2019-08-18得票数 0
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2回答
这里的初学者。我花了一天的大部分时间研究Karatsuba算法，只是因为我认为它会很有成效。我在这里看到过类似的问题，但它们都是用其他语言写的，而且看起来异常复杂。下面是我的代码。一旦它碰到了对ac的递归调用，它就会继续递归。就好像它从来不符合基本的情况一样。如果有人能提供一些关于哪里出了问题的见解，我们将不胜感激。对于这段代码，你应该假设我乘以2，基数-10，四位数。
def karatsuba(x, y):
if len(str(x)) == 1 or len(str(y)) == 1:
return (x * y)
else:
n = (
浏览 3提问于2016-10-08得票数 1
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import java.math.BigInteger;
import java.util.Random;
class Karatsuba {
private final static BigInteger ZERO = new BigInteger("0");
public static BigInteger karatsuba(BigInteger x, BigInteger y) {
// cutoff to brute force
int N = Math.max(x.bitLength(), y.bitLength());
if (N &
浏览 1提问于2016-12-24得票数 1
我正在尝试使用Devcpp在Windows10上的c++中实现Karatsuba乘法算法。下面是相同的代码：
#include <iostream>
#include <string>
#include <cmath>
using namespace std;
int karatsuba(int x, int y){
string sx = to_string(x);
string sy = to_string(y);
int len_x = strlen(sx);
int len_y = strlen(sy);
i
浏览 2提问于2018-04-16得票数 0
我一直试图在java中实现Karatsuba算法，而不使用BigInteger。我的代码只适用于两个整数相同的情况&具有相同的数字数。我没有得到正确的答案，但是我得到的答案非常接近正确的答案。例如，我在12*12的时候得到149，我不知道我的代码有什么问题，因为我相信我做的一切都是正确的(按书)。这是我的密码。
public static void main(String[] args) {
long ans=karatsuba(12,12);
System.out.println(ans);
}
private static long karatsuba(long
浏览 8提问于2013-07-08得票数 10
下面是我对Karatsuba乘法算法的python实现。此代码似乎适用于大多数输入，但在数字变得太大后开始失败。例如，对于64位输入x = 3141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592 y = 2718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627，算法失败。但是，当我只使用前35位数字时，算法可以工作。谁能解释一下这个实现的不足之处？ from math import floor, ceil
def karatsuba(x, y):
浏览 48提问于2020-05-03得票数 0
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1回答
我在试着理解Karatsuba乘法算法。我编写了以下代码：
def karatsuba_multiply(x, y):
# split x and y
len_x = len(str(x))
len_y = len(str(y))
if len_x == 1 or len_y == 1:
return x*y
n = max(len_x, len_y)
n_half = 10**(n // 2)
a = x // n_half
b = x % n_half
c = y // n_half
d =
浏览 5提问于2020-06-18得票数 1
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首先是一些背景知识：
我的编程经验包括一个学期(3个月)的C++和一些高中的QBasic。是的，我看过GMP和Bignum库；从原始代码中很难学到东西，尤其是在不了解程序员意图的情况下。此外，我想学习如何为自己做这件事。
我正在编写一个任意大整数的乘法函数。我使用字符数组来表示这些数字，并在末尾使用+或-作为标记(例如。"12345+"，"31415-")。
我目前正在实现Karatsuba算法。问题是，使用递归和动态内存分配时，该函数比naive方法慢5倍。
我可以使用一些关于如何减少运行时间的提示。
char* dam(char* one, char* tw
浏览 1提问于2011-11-03得票数 6
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我正在尝试用Python实现
这是我的密码
import math
# Base
B=10
# No. of digits
n=4
# Numbers
x=1234
y=5678
def karatsuba(x,y,d):
if (x < 10 o r y < 10):
return x*y
# Partition
m=math.floor(d/2)
n=math.ceil(d/2)
x1=x//B**n
x2=x%B**n
y1=y//B**n
y2=y%B**n
a=karatsu
浏览 2提问于2015-08-24得票数 2
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以下是karatsuba算法的伪代码：
procedure karatsuba(num1, num2)
if (num1 < 10) or (num2 < 10)
return num1*num2
/* calculates the size of the numbers */
m = max(size_base10(num1), size_base10(num2))
m2 = m/2
/* split the digit sequences about the middle */
high1, low1 = sp
浏览 0提问于2018-10-03得票数 0
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我没有得到任何结果，我的程序被困在无限循环中。，我用相同的逻辑为四个值编写了一个程序，这个程序工作得很好，但是有三个值，这是行不通的。
def Karatsuba_Recursive(a, b):
if not a or not b:
return "0"
if len(a) == 1 or len(b) == 1:
return str(int(a)*int(b))
else:
m = max(len(a),len(b))
m2 = m // 2
A = a[0:-m2]
浏览 4提问于2022-09-27得票数 -1
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我不明白我的代码出了什么问题。我应该如何修复Karatsuba乘法中的这个递归错误？
def karatsuba(x,y):
if len(str(x))==1 or len(str(y))==1:
return int(x)*int(y)
else:
n=max(len(str(x)),len(str(y)))
nby2=n//2
a=x/(10**nby2)
b=x%(10**nby2)
c=y/(10**nby2)
d=y%(10**nby2)
浏览 7提问于2019-08-19得票数 0
在我的python代码中，使用Karatsuba的算法[，]输出2个数字的乘法值时遇到了最困难的问题。这是我的代码：
def mult(num1,num2):
if num1 < 10 or num2 < 10:
return int(num1*num2)
else:
n = len(str(num1))
a = int(str(num1)[:-(int(n/2))])
#print(a)
c = int(str(num2)[:-(int(n/2))])
浏览 0提问于2018-08-20得票数 0
我一直试图以以下方式在中实现Python3：
def karatsuba(num1,num2):
n_max = max(len(str(int(num1))), len(str(int(num2))))
if n_max == 1:
return int(num1*num2)
n = n_max + n_max%2
a = num1//10**(n/2)
b = num1%10**(n/2)
c = num2//10**(n/2)
d = num2%10**(n/2)
t1 = karatsuba(a,c)
浏览 7提问于2022-02-08得票数 0
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我需要为客户机/服务器应用程序创建公共和私有RSA密钥，我正在使用来这样做。到目前为止，我一直在生成4096位密钥，因为我希望拥有尽可能好的安全性。然而，这需要3~5分钟，而生成2048位键则需要10秒的时间。洗个澡：
import com.jcraft.jsch.JSch;
import com.jcraft.jsch.JSchException;
import com.jcraft.jsch.KeyPair;
public class KeyGenerator {
public static void main(String[] args) {
JSch jsc
浏览 0提问于2014-12-31得票数 8
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背景
我在金融交易领域工作，目前正在优化一个实时C#交易应用程序.
通过广泛的分析，我发现System.Decimal的性能现在是一个瓶颈。因此，我目前正在编码几个更有效的固定尺度64位‘十进制’结构(一个有符号，一个无符号)来执行base10算法。使用9的固定标度(即小数点之后的9位数字)意味着基础64位整数可以用来表示值：
-9,223,372,036.8547808至9,223,372,036.8547807
和
0至18 446 744 073.709551615
分别使用。
这使得大多数操作变得琐碎(即比较、加法、减法)。然而，对于乘法和除法，我现在回到了System.Decimal
浏览 5提问于2015-04-30得票数 1
4回答
我将编写关于RSA的原始论文中提出的Solovay-Strassen素数测试程序。
此外，我还需要编写一个小的bignum库，所以当搜索bignum的方便表示时，我偶然发现了这个
struct {
int sign;
int size;
int *tab;
} bignum;
我还将使用Karatsuba方法编写一个乘法例程。
所以，对于我的问题：
在bignum结构中存储整数数据的基数是什么？
注意:我不允许使用第三方或内置实现的bignum，如GMP。
谢谢。
浏览 4提问于2010-04-19得票数 2
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