1）点乘（即“ * ”） ---- 各个矩阵对应元素做乘法 若 w 为 m*1 的矩阵，x 为 m*n 的矩阵，那么通过点乘结果就会得到一个 m*n 的矩阵。 ?...若 w 为 m*n 的矩阵，x 为 m*n 的矩阵，那么通过点乘结果就会得到一个 m*n 的矩阵。 ?...w的列数只能为 1 或 与x的列数相等（即n），w的行数与x的行数相等 才能进行乘法运算； 2）矩阵乘 ---- 按照矩阵乘法规则做运算 若 w 为 m*p 的矩阵，x 为 p*n 的矩阵，那么通过矩阵相乘结果就会得到一个... m*n 的矩阵。...只有 w 的列数 == x的行数 时，才能进行矩阵乘法运算； ?
矩阵是二维数组，而向量是一维数组，内置函数matmul不能实现矩阵与向量的乘法运算。在这一点Fortran不如matlab灵活。 Fortran如何实现矩阵与向量的乘法运算，现有以下三种方法供参考。...数组c的第一列就是需要的计算结果。 spread(B,2,2)就是按列扩展，成为二维数组 ? 三)利用dot_product函数。...dot_product函数是向量点积运算函数，可将二维数组的每一行抽取出来，和一维数组作dot_product运算。 ? 程序员为什么会重复造轮子？...现在的软件发展趋势，越来越多的基础服务能够“开箱即用”、“拿来用就好”，越来越多的新软件可以通过组合已有类库、服务以搭积木的方式完成。...对程序员来讲，在一开始的学习成长阶段，造轮子则具有特殊的学习意义，学习别人怎么造，了解内部机理，自己造造看，这是非常好的锻炼。每次学习新技术都可以用这种方式来练习。
、要么其中一个为1、要么其中一个对应位置上没有数字（没有对应的维度），结果数组中该维度的大小与二者之中最大的一个相等。...数组与标量相乘，等价于乘法运算符或numpy.multiply()函数： ? 如果两个数组是长度相同的一维数组，计算结果为两个向量的内积： ?...如果两个数组是形状分别为(m,k)和(k,n)的二维数组，表示两个矩阵相乘，结果为(m,n)的二维数组，此时一般使用等价的矩阵乘法运算符@或者numpy的函数matmul()： ?...在这种情况下，第一个数组的最后一个维度和第二个数组的倒数第二个维度将会消失，如下图所示，划红线的维度消失： ? 6）numpy矩阵与矩阵相乘时，运算符*和@功能相同，都表示线性代数里的矩阵乘法。...8）累乘，每个数字与前面的所有数字相乘，可以使用扩展库函数numpy.cumprod() ? ?
线性代数直接没有学明白，同样没有学明白的还有概率及统计以及复变函数。时至今日，我依然觉得这是人生中让人羞愧的一件事儿。不过，好在我还有机会，为了不敷衍而去学习一下。...矩阵的转置有什么作用，我真是不知道了，今天总结完矩阵转置的操作之后先去网络上补充一下相关的知识。...从计算的结果看，矩阵的转置实际上是实现了矩阵的对轴转换。而矩阵转置常用的地方适用于计算矩阵的内积。而关于这个算数运算的意义，我也已经不明确了，这也算是今天补课的内容吧！...但是总是记忆公式终归不是我想要的结果，以后还需要不断地尝试理解。不过，关于内积倒是查到了一个几何解释，而且不知道其对不对。解释为：高维空间的向量到低维子空间的投影，但是思索了好久依然是没有弄明白。...以上这篇对numpy中数组转置的求解以及向量内积计算方法就是小编分享给大家的全部内容了，希望能给大家一个参考。 版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。
今天和大家聊一个非常重要，在机器学习领域也广泛使用的一个概念——矩阵的特征值与特征向量。...如果能够找到的话，我们就称λ是矩阵A的特征值，非零向量x是矩阵A的特征向量。 几何意义 光从上面的式子其实我们很难看出来什么，但是我们可以结合矩阵变换的几何意义，就会明朗很多。...我们令这个长度发生的变化当做是系数λ，那么对于这样的向量就称为是矩阵A的特征向量，λ就是这个特征向量对应的特殊值。 求解过程 我们对原式来进行一个很简单的变形： ?...这里的I表示单位矩阵，如果把它展开的话，可以得到一个n元n次的齐次线性方程组。这个我们已经很熟悉了，这个齐次线性方程组要存在非零解，那么需要系数行列式 ? 不为零，也就是系数矩阵的秩小于n。...总结 关于矩阵的特征值和特征向量的介绍到这里就结束了，对于算法工程师而言，相比于具体怎么计算特征向量以及特征值。
一个m×n的矩阵乘一个n×1的向量，这里要注意矩阵的列数必须等于向量的行数才能相乘，得到的结果是一个m×1的向量。 而且我们还可以看出，在做矩阵和向量的乘法时，它们的次序也很重要。...一个列向量和矩阵乘，矩阵必须在前面、列向量必须在后面。比如： ? 那么，我们费事巴拉地规定这种矩阵和向量的乘法有啥用呢？...上图中，如果把左边四套房的面积代入右边的式子中，就可以得分别得到四套房的售价。如果我们用刚刚讲到的矩阵和向量的乘法表示上面这个事，写出来的式子会非常漂亮。如下图： ?...就会得到上面图中下半部分的这样的一个矩阵与向量乘法的式子，再利用前面讲的矩阵与向量乘法的运算规则，可以用一个式子就表示出4套房子的售价的运算，厉害吧？ 有些同学可能觉得这种写法多此一举，更加麻烦。...如果没有这样的规定，我们可能需要for循环在代码中实现这个事情，这就有点麻烦了。 下一讲将介绍更一般的矩阵和矩阵的乘法。
上篇笔记里(基于硅光芯片的深度学习)提到：深度学习中涉及到大量的矩阵乘法。今天主要对此展开介绍。 我们先看一下简单的神经元模型，如下图所示， ?...可以看出函数f的变量可以写成矩阵乘法W*X的形式。对于含有多个隐藏层的人工神经网络，每个节点都会涉及矩阵乘法，因此深度学习中会涉及到大量的矩阵乘法。 接下来我们来看一看矩阵乘法如何在光芯片上实现。...线性代数中，可以通过奇异值分解（singular value decomposition)，将一个复杂的矩阵化简成对角矩阵与幺正矩阵相乘。具体来说，m*n阶矩阵M可以写成下式， ?...通过多个MZ干涉器级联的方法，可以实现矩阵M，矩阵元对应深度学习中的连接权与阈值。...3) 光芯片可以实现深度学习，但是光芯片的优势是什么？功耗低？ 公众号中编写公式不太方便，目前都是通过截图的方法实现，不太美观，大家见谅。
矩阵 机器学习基础公式 ? 定义 二维数组 表示 ? 大写字母： ? m×n 矩阵 A： ? 运算 加法 对应元素相加 ? ? 基本性质 交换率： ? 结合率： ? 乘法 ? ? ?...的列数与 ? 的行数相等 ? ? ? ? ? ? ? 矩阵乘法一般不满足交换律 转置 ? 定义 ? 特殊矩阵 单位矩阵 ? 零矩阵 / 全0矩阵 ? 全1矩阵 ? 对角矩阵 ? 上三角矩阵 ?...下三角矩阵 ? 基本性质 乘法结合律： ? 乘法左分配律： ? 乘法右分配律： ? 对数乘的结合性： ? 转置 ?...的特征值的绝对值的最大值 范数作用 计算向量/矩阵相似程度 计算向量距离 迹 在线性代数中，一个 ?...系数矩阵 称之为 线性变换 的矩阵 线性变换 与 矩阵 是唯一确定的。 特征值与特征向量 设 ? 为 ? 阶矩阵，若存在常数 ? 及 ? 维非零向量 ? ，使得 ? 则称 ?
的第 ? 行与 ? 的第 ? 列的各元素相乘之和，即 ? 的第 ? 行与 ? 的第 ? 列点乘所得到的结果 ? 行的角度 正如第一讲所说，从行的角度来看，即 ?...的各个行向量 列的角度 正如第一讲所说，从列的角度来看，即 ? 的各列为 ? 的各列的线性组合构成， ? 的各列的线性组合的系数为 ? 的列的各个分量，即 ? 其中， ? 是 ?...的各个列向量 列乘以行的角度 由于列向量乘以行向量得到的是一个矩阵，因此从列乘以行的角度来看，矩阵 ? 乘以 ? 得到的是 ? 个矩阵之和，其中第 ? 个矩阵由 ?...的第 ? 列乘以 ? 的第 ? 行得到。 ? 块乘 矩阵乘法同样可以分块来乘，只要分块的大小能够使乘法有意义即可（相乘的分块的大小要相互匹配--可乘） ?...为任意矩阵，则矩阵运算的基本法则（rules of operations）如下 运算表示 备注说明 加法交换律 加法结合律 乘法结合律 乘法结合律 乘法结合律 转置 转置 转置 转置
1.9 矩阵和张量的基本运算 加\减（对应位置相加\减） 数加\数减（一个数与矩阵加减） 点乘（对应位置相乘） 数乘（一个数与矩阵相乘） 叉乘（满足mxn@nxp–>mxp；或者HXY@HYN–>HXN...稀疏矩阵：在矩阵中，若数值为0的元素数目远远多于非0元素的数目，并且非0元素分布没有规律时，则称该矩阵为稀疏矩阵；与之相反，若非0元素数目占大多数时，则称该矩阵为稠密矩阵。...上图：一个向量x要变换到Ax上去，就给它乘以一个矩阵，做线性变换。 一个例子理解矩阵乘法：一个向量A与一个矩阵B做向量乘法，这就是一个线性变换的过程。...2.5 仿射变换 2.6 特征方程 特征方程的理解：可以给等式两边同乘一个向量v，相当于向量v乘以一个变换矩阵A，得到的新向量再乘一个向量x，相当于在x方向上的投影 等价于 向量v做缩放，在向量...（相当于线性变换矩阵A与缩放系数λ是等价的） 其中λ为缩放系数，也称为特征向量x的特征值。
除此之外，了解一些更高级别的矩阵乘法的基本属性是很有必要的： 矩阵乘法结合律: 矩阵乘法分配律: 矩阵乘法通常不是可交换的; 也就是说，通常。...3.12 特征值和特征向量 给定一个方阵，我们认为在以下条件下，是的特征值，是相应的特征向量： 直观地说，这个定义意味着将乘以向量会得到一个新的向量，该向量指向与相同的方向，但按系数缩放。...（要证明这一点，取特征向量方程，，两边都左乘） 对角阵的特征值，实际上就是对角元素， 3.13 对称矩阵的特征值和特征向量 通常情况下，一般的方阵的特征值和特征向量的结构可以很细微地表示出来。...实际上，这种是唯一存在的: 换句话说，向量可以作为向量的另一种表示，与定义的基有关。 “对角化”矩阵向量乘法。通过上面的设置，我们将看到左乘矩阵可以被视为左乘以对角矩阵关于特征向量的基。...假设是一个向量，表示的基。设为矩阵向量积。现在让我们计算关于的基：然后，再利用和方程，我们得到： 我们可以看到，原始空间中的左乘矩阵等于左乘对角矩阵相对于新的基，即仅将每个坐标缩放相应的特征值。
简单线性回归与复杂线性回归的表达式是一致的，只不过样本的特征从1扩展到了n，相应的对应的系数也从1变成了n。求解多元线性回归与简单线性回归的思路是一致的： ?...原本每一个样本中只有从1到n的n个特征，没有第0个特征，所以引进的这第0个特征是虚构的，只是为了和θ0结合在一起，让整个式子在推导的时候更加的方便，当然引进的X0要和原来的方程保持一致，所以这个第0个特征的值将是恒等于...X表示有m个样本n个特征，即m行n列的矩阵； Xb表示有m个样本(n+1)个特征，即m行(n+1)列的矩阵，对于与X，新增加了一个全为1的列。...将其看成是矩阵乘法，而矩阵乘法的规则就是第一个矩阵的每一行乘上第二个矩阵的每一列进行相乘再相加的运算，可以看出计算的结果就是每一个样本预测的结果。...计算这个最少的参数θ向量也可以使用在简单线性回归中使用的最小二乘法，只不过此时的对θ向量中的每一个元素都进行求导运算，让求导后的结果等于0，只不过此时在整个矩阵上进行运算，由于计算过程比较复杂，并没有进行展开介绍
那么可以定义矩阵乘法，用于表示一切线性变换，对一个行向量进行线性变换就是右乘变换矩阵，对一个列向量进行线性变换就是左乘变换矩阵。...矩阵的乘法，其实就是多个线性变换叠加的效果，它显然满足结合律，但不满足交换律（满足交换律的东西要求运算符两边具有等质性，而线性变换左边为变换对象，右边为变换方式，显然不满足等质性）。...假如a=(a1,a2)和b=(b1,b2)为两个列向量，那么点乘与叉乘的区别如下所示： 点乘可以理解为降维运算，在R中的符号位%*%，也可以使用crossprod()函数；叉乘为升维运算，在R中可以使用...），满足交换律和结合律，同为矩阵的线性变换，如下所示： ③矩阵与矩阵的乘法 设A为m×p的矩阵，B为p×n的矩阵，那么称m×n的矩阵C为矩阵A与B的乘积，记作C=AB，其中矩阵C中的第i行第j列元素可以表示为...： 实例如下所示： 矩阵与矩阵相乘不满足结合律，但是满足交换律和分配律，在R中可使用%*%符号来计算，如下所示： 矩阵相乘的Hadamard乘积定义为矩阵每个对应元素的乘积（必须是两个同型矩阵之间
在深度学习中，线性代数是一个强大的数学工具箱，它提供同时计算多维数组的方法。线性代数不仅会提供如同向量和矩阵那样的结构来储存这些数字，还会提供矩阵的加、减、乘、除和其他运算规则。...向量乘法 向量的乘法有两种类型：一种是点积，另一种是 Hadamard 积。 点积 两个向量的点积结果是一个标量。向量和矩阵（矩阵乘法）的点积在深度学习中是最重要的运算之一。...可以简单地将标量和矩阵中的每一个元素做运算处理（如加、减、乘、除等）。 ?...在下图中，A 矩阵左乘 B 矩阵得到 C 矩阵。A 矩阵行向量与 B 矩阵列向量点积就等于 C 矩阵的元素，具体可以通过下图 C 矩阵内部元素的构成来了解。 ?...从最开始的特征输入，我们会使用一个个高维向量将特征输入到神经网络中，而每一层的权重作为列向量组成一个权重矩阵。
下面介绍几种常见的最小二乘法： 一、全局最小二乘估计 ? ? ? 为了解决多项式拟合中的未知系数，我们构建如下的目标函数： ? ? ? 然后我们可以写个归一化方程为： ? 用矩阵的形式表示为： ?...这个矩阵方程也可以直接用于计算系数向量 ： ? 或者在大型系统中使用迭代的方法。 ? ?...三、加权局部最小二乘 在全局最小二乘拟合中，我们假设整个域中都可以用一个单一的多项式精确地描述数据所代表的函数。...但是，对于大型、复杂的数据集，这将要求我们拟合出一个不理想的高阶多项式，即便如此，这也不能捕获数据的所有特征。...所以，为了替代全局解决方案，我们尝试通过对每个数据点 及其邻域拟合出一个低阶多项式来获得更好的解决方案。因此，有 个最小二乘拟合的值 ，每个值都是点 的近似值并且每个点的系数向量 都不同。
假设有这样一个场景：生产一个零件需要用到多个原材料，而衡量一个零件的质量指标有多个(比如耐热性、物理性能强度等)，现需要我们根据关联关系算出与多个质量指标最强相关的原材料因素，在这个场景中这些质量指标彼此都是相关的...则计算此时向量 ， 的方差，即有 可用把 看成常数，根据方差公式 ，类比到矩阵即可(tricks: 是向量，向量平方一定是自身与自身转置的乘积，然后再满足矩阵乘法维度变化即可)，方差也可表示为自身与自身的协方差...可以看出这两个互为转置，而等式右边是常数，所以这两个拉格朗日系数相等，即 代入前面的式子，即 仔细观察第二个项，则可以发现， 为矩阵 的特征根,而此时的 为该矩阵对应于特征值为 的特征向量，...可以根据每对典型变量的相关系数做权重，分别与各个线性表达式的系数做乘法，然后综合系数最大的就一定是两组中最相关的因变量和自变量 性质 同组(比如自变量组)的典型变量之间互不相关，即 不同组但同对的典型变量相关...但其有个缺点就是不能量化这种关系，即不能建立变量间的函数模型，而且还要求变量都需服从正态分布或某种特定分布才行，至于函数量化关系可以在后续偏最小二乘算法中得到补充。
一般如果需要在研究多个自变量与因变量的关系话题中，绕不过去的就是多元回归，包括以线性关系为主的多元线性回归和高次多项式为主的响应面分析，众所周知，在多元线性回归中一般可以用最小二乘法计算每个自变量的系数...，这一理论比较成熟，其系数矩阵 可直接由公式 求出，但是可用看出这个公式涉及到求逆矩阵，假设X有p个因素指标，若这p个因素中的两个及以上存在线性相关(即共线)，那么X的秩一定小于p，根据矩阵秩乘法的不等式...，这里就是求解矩阵 的特征值和特征向量，其中特征值最大的 即对应的最大值，该特征值对应的两个特征向量即为 ，而且 可由公式 计算出来 具体推导过程详看前一篇典型相关分析文章，核心是利用拉格朗日乘数法...建立因变量 及自变量 对 的回归 即 这里的 , 为回归的残差矩阵， 和 为多对一回归模型的系数向量 由最小二乘算法公式 观察这个式子，两边同时转置后会更简洁，即 如果这里的残差阵...而这里就变成了利用残差阵 和 代替原始数据矩阵 和 继续提取第一主成分 用残差阵 和 代替 和 重复以上步骤 这时得到的系数向量为 且此时的原始 和 可以表示成 进行精度判断，不满足则一直进行下去
矩阵C = c_{ij}) = a_{ij} + b_{ij}称为矩阵A与B的和，记为A + B = C 2.矩阵的数乘 设A = (a_{ij})是m \times n矩阵，k是一个常数，则m \times...n矩阵(ka_{ij})称为数k与矩阵A的数乘，记为{kA}。...---- 5.矩阵乘法运算律 乘法结合律：A(BC)=(AB)C 左分配律：(A+B)C = AC+BC 右分配律：A(B+C)= AB+AC 注意：两个矩阵相乘，要保证：前一个的列数=后一个的行数 一般情况下...： AB \neq BA 6.特征值和特征向量的概念及性质 的一个特征值，则 {kA},{aA} + {bE},A{2},A{m},f(A),A{T},A{- 1},A^{*} 有一个特征值分别为...x)^2} 最小二乘法求解两个参数k,b 先对b求导 再对k求导 k的另一种表示方法 在上面k的表达式子中 ?
接下来，主要将上面的式子实现向量化，把他转换成矩阵运算的方式。首先看第0项和其他项不一样（第0项用于求解截距，其他项用于求解样本特征的系数），所以首先要做的就是对第0项和其余项进行统一。 ?...接下来就是对在第0项添加X0的式子进行向量化的处理，其实前面实现梯度下降的时候已经实现了部分向量化，在求梯度的式子中每一个元素对应的式子看作是两个向量对应的点乘，在代码中使用"dot"的来实现。...此时由于梯度中每一个元素都是点乘一个向量，那么将这些向量合在一起组成一个矩阵，就将上面求解梯度的式子转换成了矩阵的乘法，具体组合方式如下图所示： ? 接下来先将下图中右半部分的式子进行标号： ?...通常情况下向量会被表示成列向量的形式，但是如果两个矩阵能够相乘，需要满足第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，很明显如果"式子1"为列向量的话不能够进行矩阵乘法，因此如果进行矩阵乘法运算需要将"式子1"...通过"式子1"与"式子2"点乘操作得到的结果的shape = (1, n + 1)，也就是"式子3"，虽然在numpy中是不区分行向量和列向量的，因此通过"式子3"计算梯度也是可以的。
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