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用渐近计算多变量极限

渐近计算是一种数学方法，用于计算多变量函数在无穷远处的极限值。它主要关注的是函数的行为，当变量趋于无穷大或无穷小时，函数的极限值是什么。

渐近计算可以分为两种情况：当自变量趋于无穷大时的渐近行为，以及当自变量趋于无穷小时的渐近行为。针对这两种情况，常用的渐近计算方法有以下几种：

当自变量趋于无穷大时的渐近行为：
- 水平渐近线：当函数的极限值为常数时，函数图像趋近于一条水平直线。这表示函数在无穷大时趋于一个常数。
- 斜渐近线：当函数的极限值为斜率为正或负的直线时，函数图像趋近于一条斜直线。这表示函数在无穷大时趋于无穷大或无穷小。
- 垂直渐近线：当函数的极限值不存在或为无穷大时，函数图像趋近于一条垂直直线。这表示函数在无穷大时趋于无穷大或无穷小，但具体趋势不确定。

当自变量趋于无穷小时的渐近行为：
- 水平渐近线：当函数的极限值为常数时，函数图像趋近于一条水平直线。这表示函数在无穷小时趋于一个常数。
- 斜渐近线：当函数的极限值为斜率为正或负的直线时，函数图像趋近于一条斜直线。这表示函数在无穷小时趋于无穷大或无穷小。
- 垂直渐近线：当函数的极限值不存在或为无穷大时，函数图像趋近于一条垂直直线。这表示函数在无穷小时趋于无穷大或无穷小，但具体趋势不确定。

渐近计算在实际中有广泛的应用场景，特别是在工程、物理学、经济学等领域。通过对函数的渐近行为的研究，可以帮助我们更好地理解和描述实际问题，并为问题的求解提供重要参考。

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考研竞赛每日一练 day 33 渐近线问题的讨论（实质极限的计算）

渐近线问题的讨论（实质极限的计算）使曲线 y=\dfrac{x}{e^{ax}+b} 有三条渐近线，求 a、b 满足的条件。解析：分情况讨论，再利用极限的计算进行判断。...当 a=0 时， b\neq 0 ，即曲线是一条直线，不存在渐近线；当 a\neq 0，b=0 时，只有有一条水平渐近线；当 a < 0,b\neq 0 时， \lim\limits_{x\rightarrow...infty}\dfrac{-x}{b(1+be^{-ax})}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{-1}{-ab^2e^{-ax}}=0 即曲线有一条水平渐近线...y=0 和一条斜渐近线 y=\dfrac{1}{b}x ；当 a > 0,b\neq 0 时， \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x}{e^{ax}+...y=0 和一条斜渐近线 y=\dfrac{1}{b}x ；由上面推出 a\neq0,b\neq0 ，曲线有一条水平渐近线和一条斜渐近线，要想三条渐近线，必须有铅直渐近线，即有铅直渐近线，当 x=0

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版本11.2——追求极致的极限

为了确保我们所做的一切满足用户的需要，我们从 Wolfram|Alpha 抽选了100多万个极限问题。...极限的研究是数学的一个分支，称为渐近分析。渐近分析提供了在特定值 (如0或无穷大) 附近获取问题近似解的方法。事实证明，在实际中，渐进逼近的效率通常恰恰会在相应的精确计算变得困难的情况下得到提高！...正式的表述是，当n 接近无穷时，精确和近似公式的分区数是渐近等价的。渐近概念在函数极限的研究中也起着重要的作用。...还可以表述成， "当 x 趋向于 0 时，sin (x) 与x渐近等价。" 这个结果可以使用计算函数极值的 Limit 正式表述如下。 ? 这个图形直观地证实，极限确实是1。 ?...这两个版本之间的微小百分比差异可以解释为，大多数Wolfram|Alpha单变量极限查询与大学微积分中的第一或第二个课程有关，在任一版本中都很容易用 Limit 计算。

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数据科学18 | 统计推断-渐近性

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学界 | 为什么数据科学家都钟情于最常见的正态分布？

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（2）James Stewart Calculus 5th Edition：Limits and Derivatives

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考研（大学）数学导数与微分（9）

求曲线 y=f\left( x \right) =\dfrac{x^2+x-2}{x^2-1}e^{\dfrac{1}{x}} 的渐近线....解： x=0,\pm 1 是铅直渐近线的怀疑点， \underset{x\rightarrow 1}{\lim}\dfrac{\left( x+2 \right) \left( x-1 \right)}...\infty}{\lim}f\left( x \right) =1 ，即 x=1 是 f\left( x \right) 的水平渐近线。...解题思路：水平、铅直渐进线的定义，其次转化为极限的计算。求曲线 y=\left( 2x-1 \right) e^{\dfrac{1}{x}} 的斜渐近线....解题思路：首先斜渐近线的定义，其次极限的计算。作者：小熊

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揭秘：为什么数据科学家都钟情于这个“错误”的正态分布？

高斯分布（Gaussian distribution），也称正态分布，最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。...▲正在扩散的粒子的位置可以用正态分布来描述正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。...02 数学原因：中心极限定理 ? ▲二维空间上进行200万步的随机游走后得到的图案中心极限定理的内容为：大量独立随机变量的和经过适当标准化之后趋近于正态分布，与这些变量原本的分布无关。...该定理表明，正态分布是二项分布的极限分布，当数充分大时，我们可以利用上式来计算二项分布的概率。 3....对于任何一个用正态分布拟合的随机分布，都可能存在一个多参数，更复杂，更准确的解法。但是我们仍然会倾向于选用正态分布，因为它在数学上很简洁。

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初入算法（1）—— 进入算法世界

2.我个人认为算法就是通过一些指令，用系统的方法描述解决问题的策略机制。通俗讲就是用于计算的方法，通过该这种方法可以达到预期的结果。...因此，我们用O（f（n))表示时间复杂度渐近上界，可以用这种表示法衡量算法的时间复杂度。...算法1-3的时间复杂度渐近上界为O（f（n)）=O（n2），用极限可以表示为 3.渐近下界渐近下界符号Ω（T（n）≥Cf（n)），如图1-2所示。...因此，我们用（Ω（f（n)）来表示时间复杂度渐近下界。在实际应用中，通常使用时间复杂度渐近上界O（f（n））来表示时间复杂度。...算法在运行时所使用的辅助变量占用的空间（即辅助空间）才是衡量算法空间复杂度的关键因素。 ---- 本篇文章就先讲解这些，我后续将会持续更新算法文章。

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算法基础-函数渐近

渐近等价考虑函数: f(x)=x²+4x 当x→∞时，该函数可以看作x平方与它的高阶无穷小o(x²)之和，即于是我们称f(x)和x²是渐近等价的。...用符号表示为更一般地，如果存在两个函数f(x)和g(x)，使得你也可以用极限的方法来判断两个函数是否渐近等价我们可以轻而易举地得到一个结论：f(x)总是跟自己渐近等价渐近上界若对于函数...execute4(i,j); } } 那么此时算法执行命令的总次数就翻了4倍随着n的逐渐增大，这两个算法所用时间的增长规模是相似的，并且我们并不需要特别高的精度因此我们可以用算法执行时间...t(n) 的渐近上界 f(n) 来表示一个算法的效率在渐近时间复杂度中，我们只关心执行时间的增长规模，而不关心具体数字，显然以下两个函数的规模是一致的因此我们需要对渐近时间复杂度进行化简函数推导...由无穷小定义可得，对于任意 ε>0，总存在N，使得下列不等式成立取 ε=1，便得到替换掉f(x)，得到命题得证其它结论通过上面两个结论，再利用其它高等数学知识，我们便可以推出下面的结论因此，在计算渐近时间复杂度时

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（2.2）James Stewart Calculus 5th Edition：The Limit of a Function

通过这个图，我们知道，对应的极限是4 可以表示为： ? definition 极限的定义 ? 它的另一个表示意思，是 ? 注意，这里 x ≠ a 考虑一下下面几种情况 ?...---- One-Sided Limits 一边的极限有的时候，两边的极限值不一样 ? 我们可以表示一边的极限 ? 当然，如果右边极限存在，则为 ? 极限定义 ?...也就是说，左右的极限是一个值的时候，这个点的极限就是那个值 ---- Infinite Limits 无穷大 ? 我们可以发现，1/x^2 的值会越来越大 ? 所以，极限不存在 ?...我们可以用无穷大表示 ? Infinite Limits Definition 无穷大定义 ?...vertical asymptote 渐近线当x = a 的时候，下面至少有一个成立，就可以把 a 叫做曲线的 vertical asymptote 渐近线 ?

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时间复杂度和空间复杂度详解原

但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。...一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T（n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数...即当问题规模较大时，算法A1比算法A2要有效地多。它们的渐近时间复杂度O(n2)和O(n3)从宏观上评价了这两个算法在时间方面的质量。...在算法分析时，往往对算法的时间复杂度和渐近时间复杂度不予区分，而经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度，其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。...一个程序执行时除了需要存储空间和存储本身所使用的指令、常数、变量和输入数据外，还需要一些对数据进行操作的工作单元和存储一些为现实计算所需信息的辅助空间。程序执行时所需存储空间包括以下两部分。

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算法之美——算法复杂性

现代计算机一秒钟能计算数亿次，因此不能用秒来具体计算算法消耗的时间，由于相同配置的计算机进行一次基本运算的时间是一定的，我们可以用算法基本运算的执行次数来衡量算法的效率。...用极限表示为： ? ，C为不等于0的常数如果用时间复杂度的渐近上界表示，如图1-1所示。从图1-1中可以看出，当n ? n0时，T(n) ?...因此，我们用О(f (n))来表示时间复杂度渐近上界，通常用这种表示法衡量算法时间复杂度。算法1-3的时间复杂度渐近上界为О(f (n))＝О(n2)，用极限表示为： ? ?...Cf (n)，当n足够大时，T(n)和f (n)近似相等，因此，我们用Ω(f (n))来表示时间复杂度渐近下界。渐近精确界符号Θ(C1f (n) ? T(n) ?...而在运行时使用的辅助变量所占用的空间，即辅助空间是衡量空间复杂度的关键因素。看算法1-6，将两个数交换，并分析其空间复杂度。

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时间复杂度和空间复杂度详解

但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。...一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T（n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数...即当问题规模较大时，算法A 1比算法A 2要有效地多。它们的渐近时间复杂度O(n 2)和O(n 3)从宏观上评价了这两个算法在时间方面的质量。...在算法分析时，往往对算法的时间复杂度和渐近时间复杂度不予区分，而经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度，其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。...一个程序执行时除了需要存储空间和存储本身所使用的指令、常数、变量和输入数据外，还需要一些对数据进行操作的工作单元和存储一些为现实计算所需信息的辅助空间。

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数据结构第2讲算法复杂性

现代计算机一秒钟能计算数亿次，因此不能用秒来具体计算算法消耗的时间，由于相同配置的计算机进行一次基本运算的时间是一定的，我们可以用算法基本运算的执行次数来衡量算法的效率。...用极限表示为： ? ，C为不等于0的常数如果用时间复杂度的渐近上界表示，如图1-1所示。从图1-1中可以看出，当n ? n0时，T(n) ?...因此，我们用О(f (n))来表示时间复杂度渐近上界，通常用这种表示法衡量算法时间复杂度。算法1-3的时间复杂度渐近上界为О(f (n))＝О(n2)，用极限表示为： ? ?...Cf (n)，当n足够大时，T(n)和f (n)近似相等，因此，我们用Ω(f (n))来表示时间复杂度渐近下界。渐近精确界符号Θ(C1f (n) ? T(n) ?...而在运行时使用的辅助变量所占用的空间，即辅助空间是衡量空间复杂度的关键因素。看算法1-6，将两个数交换，并分析其空间复杂度。

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【数据结构】时间复杂度和空间复杂度

1.2渐近时间复杂度虽然有了T(n)但是对于时间的分析任然与n有着很大关系，所以我们引入渐近时间复杂度，官方的定义是：若存在函数f(n),使得当n趋近于无穷大的时候，T(n)/t(n)的极限值为不等与...记作T(n)=O(t(n)),O为算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。这种方法也叫大O渐进表示法。直白的说就是把T(n)简化为一个数量级，可以是1, n, n^2....原则：如果运行时间是常数级，则用常数1来表示只保留时间函数中的最高项如果最高项存在，则省去其前面的系数 1.3时间复杂度的计算方式一、得出运行时间的函数二、对函数进行简化 ①用常数1来取代运行时间中所有加法常数...空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。...注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

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概率论基础 - 9 - 中心极限定理

中心极限定理（Central Limit Theorem，CTL），是指概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理。。...中心极限定理就是从数学上证明了这一现象。 ——百度百科中心极限定理（CLT）指出，如果样本量足够大，则变量均值的采样分布将近似于正态分布，而与该变量在总体中的分布无关。...引入一些特征函数的结论正态分布的特征函数： image.png 标准正态分布的特征函数随机变量X_i的特征函数用{\varphi_x (t)}表示 \overline S_n的特征函数为：...该定理表明, 正态分布是二项分布的极限分布。...当 n 充分大时，可以利用正态分布来计算二项分布的概率。参考资料 https://baike.baidu.com/item/中心极限定理/829451?

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你真的了解大O符号吗？

对于一个算法，一般来说我们能够通过计算来确定它的复杂度，比如遍历一个链表结构，链表的元素个数为，显然复杂度是，对于这个大符号，我们再熟悉不过。...让我们一起复习一下渐近符号。我们常需要分析一个算法的性能如何。例如我们说快速排序在最坏情况下性能为，而平均情况下性能为。这些讨论中会用到这种渐近记号。...是函数集合，其算术定义有点类似极限的定义： ={ : 存在正常数 , 和，对所有，有 }。...这个图中，最左边是符号，中间是大符号，最右边是符号，从图中可以看出，前者是后两者的公共部分，限制更多，我们用的最多的大是算法的上界。...《算法导论》第三章末尾也说了，渐近记号在历史上出现了一些演变。最早大家都用，符号；后来建议用和；在今天我们知道是最准确的符号，但大家还是都习惯用符号。

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每日一练4.25

第二题是非常常规的题型，一般就是铅直渐近线就是哪几种，含有分母以及指数函数，根号都要有意义，找出怀疑点，后面就是极限计算的技巧。...第三题斜渐近线的求法，按照定义去求，先设方程，再去求参数，注意极限计算的技巧！最后，题目到这里了，祝大家周末愉快！欢迎转发，谢谢大家的关注。有问题欢迎留言！

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【AI】机器学习-线性回归(未更新完)

回归问题主要关注确定一个唯一的因变量(dependent variable)(需要预测的值)和一个或多个数值型的自变量(independent variables)(预测变量)之间的关系。...需要预测的值：即目标变量，target，y，连续值预测变量：影响目标变量的因素，predictors，X1…Xn，可以是连续值也可以是离散值之间的关系：即模型，model，是我们要求解的连续值和离散值...同时每条样本的 X 从 X1 到 Xn 有 n 个影响结果的因素，图中为了简化相当于 n=3 即有 3 个影响结果的因素，在机器学习中，我们也会把影响结果的因素叫特征 feature，因为有多个所以图里就是...中心极限定理中心极限定理（central limit theorem）是概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理。...中心极限定理就是从数学上证明了这一现象。正太分布与预测的关系也叫高斯分布梯度下降法归一化正则化 Lasso回归_Ridge回归_多项式回归

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数据结构01 算法的时间复杂度和空间复杂度

但我们不可能对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。而且一个算法花费的时间与算法中的基本操作语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。...一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T...即当问题规模较大时，算法A1比算法A2要高效的多。它们的渐近时间复杂度O(n2)和O(n3) 评价了这两个算法在时间方面的性能。...在算法分析时，往往对算法的时间复杂度和渐近时间复杂度不予区分，而经常是将渐近时间复杂度 O(f(n)) 简称为时间复杂度，其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。...一个算法执行时除了需要存储本身所使用的指令、常数、变量和输入数据外，还需要一些对数据进行操作的工作单元和存储一些计算所需的辅助空间。算法执行时所需的存储空间包括以下两部分。　（1）固定部分。

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