题目 给你一个正整数 n ，它表示一个 有向无环图 中节点的数目，节点编号为 0 到 n - 1 （包括两者）。...给你一个二维整数数组 edges ，其中 edges[i] = [fromi, toi] 表示图中一条从 fromi 到 toi 的单向边。...- 节点 0 ，1 和 2 没有任何祖先。 - 节点 3 有 2 个祖先 0 和 1 。 - 节点 4 有 2 个祖先 0 和 2 。 - 节点 5 有 3 个祖先 0 ，1 和 3 。...- 节点 0 没有任何祖先。 - 节点 1 有 1 个祖先 0 。 - 节点 2 有 2 个祖先 0 和 1 。 - 节点 3 有 3 个祖先 0 ，1 和 2 。...= toi 图中不会有重边。 图是 有向 且 无环 的。
上一篇：Dijkstra算法 如果加权有向图不含有向环，则下面要实现的算法比Dijkstra算法更快更简单。...它有以下特点： 能够在线性时间内解决单点最短路径问题 能够处理负权重的边 能够解决相关的问题，例如找出最长的路径 该方法将顶点的放松与拓扑排序结合起来，首先将distTo[s]初始化为0，其他distTo...按照拓扑排序放松顶点，就能在和V+E成正比的时间内解决无环加权有向图的单点最短路径问题。...} //relax()、distTo()、hasPathTo()、pathTo()同Dijkstra算法 } 改实现中不需要marked[]数组，因为按照拓扑排序处理不可能再次遇到已经被放松过的顶点...下一篇：Bellman-Ford算法（可以处理含有负权边的图，但不能含有负权环）
注意：单独的节点也可以作为一条路径。 DAG最小路径覆盖解法如下： 把所有节点i拆为左边点集的i和右边点集的i’，如果DAG图中有i到j的有向边，那么添加一条二分图的i到j’的无向边。...最终DAG的最小路径覆盖数==DAG图的节点数n - 新二分图的最大匹配数m。注意：该由原DAG图构建的新二分图的最大匹配数m<=n-1. 有向图是否存在有向环覆盖？...把有向图的所有节点i拆为左边点集的i和右边点集的i’，如果有向图中有i到j的有向边，那么添加一条二分图的i到j’的无向边。...有向图的最优有向环覆盖：在有向图中找到1个或多个点不想交的环，这些环正好覆盖了有向图的所有节点且这些环上边的权值最大。...具体证明参考：百度百科:Konig定理 二分图的最小顶点覆盖 最大独立集 最大团 有向图中应用二分匹配 求有向图最小路径覆盖： 对于有向图的最小路径覆盖，先拆点，将每个点分为两个点，左边是1-n个点
关键词：拓扑排序；邻接表；栈 1.课题描述 拓扑排序针对的对象是一个有向无环图，将图中的节点排成一个线性序列，这就是拓扑排序。...(3)程序所能达到的功能 因为该程序是求拓扑排序，所以算法的功能就是要输出拓扑排序的序列，在一个有向图无环图中，输出的拓扑序列就表示各顶点间的关系；若为有环图，则提示错误，无排序序列。...:1 3 弧度的两个点两个节点: 4 3 弧度的两个点两个节点: 24 弧度的两个点两个节点: 5 2 有向图，无环 拓扑排序序列为:51243 无环结构图如图6.1 所示： ?...图6.2 有向有环图输出结果 （2）有环图的输入输出结果 输入总节点数和弧数: 44 输入各个节点的值: 1234 弧度的两个点两个节点: 1 2 弧度的两个点两个节点: 2 4 弧度的两个点两个节点...图6.4 有向无环图输出结果 所得结果与预计结果一致 7结果分析 对于算法的时间复杂度和空间复杂度，拓扑排序实际是对有n个顶点和e条弧的有向图而言，建立求各顶点的入度的时间复杂度为O(e),空间复杂度O
第8题 判断无向图中任意给定的两个顶点之间是否存在一条长度为k的简单路径 编写算法，判断无向图中任意给定的两个顶点之间是否存在一条长度为k的简单路径（简单路径指的是其顶点序列中不含有重复出现的顶点）。...exist_path_len(ALGraph G, int i, int j, int k): 判断在无向图 G 中，是否存在一条从顶点 i 到顶点 j 长度为 k 的简单路径。...解释：如果当前顶点 i 就是目标顶点 j，并且路径长度 k 达到0，说明找到了长度为0的路径，即符合要求的路径。返回1表示找到了一条符合条件的路径。...递归条件：当路径长度大于0时，遍历所有邻接点，尝试找到从当前邻接点到目标顶点的路径，路径长度减1。 恢复标记：确保每次递归结束后，恢复顶点访问标记，保证路径的简单性。...返回值：如果找到符合条件的路径，则返回1；否则，返回0。 通过这种方式，函数递归地探索图中的路径，并确保路径是简单路径，最终判断是否存在一条符合长度要求的路径。
2．基本术语 对于无向图G=(V,E)，如果边(u,v)∈E，则称顶点u与顶点v互为邻接点。 两个邻接点连成的边叫做两个节点的相关边。 与每个顶点相连的边的数叫该点的度（degree）。...从一个顶点出发又回到该顶点，则所经过的路径称为回路。 始点和终点相同的简单路径称之为简单回路。 在无向图中，从一个顶点到另一个顶点之间有路径，则称这两个顶点是连通的。...无向图不支持此操作 criticalPath(); //求有向无环图的关键路径。...在图中两点之间的最短路径问题包括两个方面：一是求图中一个顶点到其他顶点的最短路径，二是求图中每对顶点之间的最短路径。 这里的路径不是指路径上边数的总和，而是指路径上各边的权值总和。...此时D(|V|)[i][j]即为带权图中任意两个顶点vi到vj的最短距离。 6、拓扑排序 有向无环图（directed acyclic graph）是指一个无环的有向图，简称DAG。
若顶点vi和vj之间的边没有方向，则称这条边为无向边，表示为(vi,vj)。 如果图的任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图。...无向完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。 有向完全图：在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧，则称该图为有向完全图。...含有n个顶点的无向完全图有n×(n-1)/2条边。 含有n个顶点的有向完全图有**n×(n-1)**条边。 稀疏图：称边数很少的图为稀疏图； 稠密图：称边数很多的图为稠密图。...顶点的度：在无向图中，顶点v的度是指依附于该顶点的边数，通常记为TD (v)。...AOE AOE网是一个带权的有向无环图。其中用顶点表示事件，弧表示活动，权值表示两个活动持续的时间。AOE网是以边表示活动的网。
所以我们在考虑现实关系建模的时候，要使用无向图还是有向图，比如地铁站点之间，无论从哪个站点出发都可以到达相邻的同一个线路的站点，所以要使用无向图。...所以图的分类可以分为四种: 无向无权图 有向无权图 无向有权图 有向有权图 对于图的算法有一些只适合于某一类图，比如最小生成树算法只适用于有权图，拓扑排序算法只适用于有向图，最短路径算法虽然适用于所有类型的图...在无向无权图中的概念 如果两个顶点之间有边，我们称为两点相邻 和一个顶点相邻的所有的边，我们成为点的邻边 从一个顶点到另一个顶点所经过的所有边，我们称为路径(Path)，比如下图中从0到6经过了0-1-...但在一个有向图中，一个顶点的度的概念不同。所以我们可以看到下图中0这个顶点有两个邻边0-1、0-3，所以0这个顶点的度就是2. 无权无向图的邻接矩阵 ? ?...无向图的环检测 当我们要判断一个图中是否有环的时候，不论这个图是否有多个联通分量。
在图的概念中，点的空间位置，边的区直长短都无关紧要，重要的是其中有几个点以及那些点之间有变相连。 图1：图示例 2有向图和无向图 最基本的图通常被定义为“无向图”，与之对应的则被称为“有向图”。...两者唯一的区别在于，有向图中的边是有方向性的。 图2：有向图和无向图 注：上图左边为无向图，右边为有向图。黑色加粗部分表示边的方向。比如：1—>2便是边是1到2这个方向。 ...比如上图2：左边无向图顶点2的度是3.右边有向图点点2的出度是2，入度是1. 4图的连通性 在图G中，若顶点u，v之间有路（即找到有u到v之间相连的边）则称u，v连通。...它可以除以不包括节点v的节点数量（对于无向图是(n-1)(n-2)/2有向图是(n-1)(n-2)类归一化。）中介中心性指的是一个结点担任其它两个结点之间最短路的桥梁的次数。...# 2 查看图中的节点有多少个 nodes = G.nodes() print(len(nodes)) # 107 # 2 求无向图的最大连通子图 max_component
，也称哈夫曼树 完全无向图中的每两个顶点之间都存在着一条边 完全有向图中的每两个顶点之间都存在着方向相反的两条边 假设图中有n个顶点，e条边，则： 完全无向图含有e=n(n-1)/2条边； 完全有向图含有...e=n(n-1)条边； 在一个无向图中，若存在一条边(u,v),则称顶点u与v互为邻接点 顶点的度是指图中与该顶点相关联的边的数目 有向图顶点的度 顶点v的入边数目是该顶点的入度，记为ID(v)...; 顶点v的出边数目是该顶点的出度，记为OD(v); 顶点v的度等于它的入度和出度之和，即D(v)=ID(v)+OD(v) 若无向图G中任意两个顶点之间都有路径相通，则称此图为连通图 若无向图为非连通图...，则图中各个极大连通子图称作此图的连通分量 若有向图中任意两个顶点之间都存在一条有向路径，则称此有向图为强连通图 常见的图的存储结构有两种，分别为：邻接矩阵和邻接表 无向图的邻接矩阵是对称的(可采用压缩存储...检查有向图中是否存在回路的方法之一，是对有向图进行拓扑排序 一个无环的有向图称为有向无环图，简称为DAG图 排序是将一组无序的记录序列调整为有序的记录序列的一种操作 按排序过程中所涉及到的存储器不同分为内部排序和外部排序
时间复杂度O（KE）; floyd可以用于有负权的图中，即使有负环，算法也可以检测出来,可以求任意点的最短路径，有向图和无向图的最小环和最大环。...时间复杂度O（n3）； 任何题目中都要注意的有四点事项：图是有向图还是无向图、是否有负权边，是否有重边，顶点到自身的可达性。...floyd能做很多事情，下面简单说两个，求有向图的最小环或者最大环（顶点数>=2），求无向图的最小环（顶点数>=3）。 先说求有向图最小环（最大环略）。...无向图的最小环做法和有向图不一样，是因为无向边可能会被用两次导致出错，举例说就是：枚举了一条边i->j，然后其与dp[n][j][i]的和作为一个结果，但是如果j到i的最短路就是边j->i的话，那么我们找的环其实只是一条边而已...2、图中每个顶点vi的所有邻接点构成一个线性表，由于邻接点的个数不定，所以用单链表存储，无向图称为顶点vi的边表，有向图称为顶点vi作为弧尾的出边表。
简介 有向图：若E是有向边（也称为弧）的有限集合时，则称为G为有向图 无向图：若E是无向边（简称边）的有限集合时，则图G为无向图 完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称为该图为无向完全图...含有n个顶点的无向完全图有n(n-1)/2条边。在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧，则称为该图为有向完全图。含有n个顶点的有向完全图有n(n-1)条有向边。...如果一个图有n个顶点，并且有小于n-1条边，则此图必是非连通图。 强连通图、强连通分量：在有向图中，若从顶点v到顶点w和从顶点w到顶点v之间都有路径，则称这两个顶点是强连通的。...顶点的度、入度和出度：图中每个顶点的度定义为以该顶点为一端的变的数据。无向图的全部顶点的度之和等于边数的两倍；有向图的全部顶点的入读和出度之和相等并且等于边数。...一个有向图中不存在环，则称为有向无环图，简称DAG图。
图的最短路径算法 最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。 算法具体的形式包括： 确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。...确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。...确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。 全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。适合使用Floyd-Warshall算法。...） 常用算法 Dijkstra最短路算法（单源最短路） 图片例子和史料来自：http://blog.51cto.com/ahalei/1387799 算法介绍： 迪科斯彻算法使用了广度优先搜索解决赋权有向图或者无向图的单源最短路径问题...我们现在需要求任意两个城市之间的最短路程，也就是求任意两个点之间的最短路径。这个问题这也被称为“多源最短路径”问题。
分为有向图，无向图，还有混合图； 无向图：图的任意两个顶点之间的边都是无向边 有向图：图的任意两个顶点之间的边都是有向边 完全图 无向完全图： 任意两点之间都存在边的图 有向完全图： 任意两点之间都存在方向相反的两条弧...图的基本术语 稀疏图：称边数很少的图为稀疏图 稠密图：称边数很多的图为稠密图 顶点的度：在无向图中，顶点v的度是指依附于该顶点的边数,在有向图中，顶点的度为该点的入度（到顶点的边数）与出度（从顶点向外出的边的数量...路径长度：不带权的为路径上边的个数，带权图中为路径上边的权值之和， 回路：起点与终点相同的路径，包括环。 简单路径，简单回路：除了第一个顶点和最后一个顶点，剩下的顶点没有重复的。...连通图：任意两个顶点之间都存在互相到达的路径。...连通分量：非连通图中极大连通子图 构造方式 通过邻接表的方式建立图 需要自定义的两个结构体：存储节点信息的结构体 struct head { int data; child *f; //存储其中一个与其邻接的节点
，结果如下图： image.png 此时发现4的入度为 0，且4为最后一个节点，按照删除的顺序可以得到拓扑序 注意：只有有向无环图才有拓扑序，所以有向无环图又被称为拓扑图。...有边数限制的最短路 原题链接 描述 给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。...Floyd求最短路 原题链接 描述 给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。...Prim算法求最小生成树 原题链接 描述 给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。...Kruskal算法求最小生成树 原题链接 描述 给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。
3.无向边：若顶点Vi到Vj之间的边没有方向，则称这条边为无向边，用无序偶对（Vi，Vj）来表示。如果图中任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图。...5.在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。含有n个顶点的无向完全图有n*(n-1)/2条边。...6.在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。含有n个顶点的有向完全图有n*(n-1)条边。...如果任意两个顶点之间都存在边叫完全图，有向的叫有向完全图。若无重复的边或顶点到自身的边则叫简单图。 3.图中顶点之间有领接点、依附的概念。无向图顶点的边数叫做度，有向图顶点分为入度和出度。...八（拓扑排序） 1.无环，即是图中没有回路的意思。 2.在一个表示工程的有向图中，用顶点表示活动，用弧表示活动之间的优先关系，这样的有向图为顶点表示活动的网，我们称为AOV网。 3。
“判断图中是否有环”是一道经常出现在面试中经典的算法题，我们今天就来讲讲这道题的含义和解法，包含Python编码全过程。 题目中的概念 判断图中是否有环这道题目首先涉及到两个概念：图和环。...有方向的边表示两个节点之间单向的连通，而无方向的边则表示双向连通。边有方向的图叫做有向图，反之叫做无向图。 ? 环则是指在途中一条由边组成的路径，从一个节点出发，可以回到这个节点自身。 ?...判断无向图中是否有环 通过上面的定义可知，无论有向图还是无向图中都存在环，但有向图的环涉及到边的方向，要比无向图复杂。...因此，如果你在面试中被要求写一个算法“判断图中是否有环”，首先就应该和面试官确认，要判断的是有向图还是无向图。本文我们讲解的是无向图中是否有环的判断！...拓扑排序法判断一个无向图中是否有环 “判断一个无向图有没有环”的方法本文中就有三个。这里，我们先取第一种方法：拓扑排序判断无向图是否有环。
1.1 图的定义与基本术语 图是由节点（Vertex）和边（Edge）组成的一种数据结构。节点表示图中的元素，而边则表示节点之间的关系。图可以分为有向图和无向图，具体取决于边是否有方向性。...节点（Vertex）： 图中的基本元素，可以代表实体、事件等。 边（Edge）： 连接两个节点的线，可以是有向的或无向的。...有向图（Directed Graph）： 边有方向，从一个节点指向另一个节点。 无向图（Undirected Graph）： 边没有方向，节点之间的连接是双向的。...简单图： 每条边连接两个不同的节点，没有重复的边和自环。 多重图： 允许存在多条连接同一对节点的边，有时还允许自环。 稀疏图： 边数相对较少，节点之间的连接相对稀疏。...5.1 拓扑排序 拓扑排序是对有向无环图（DAG）进行排序的一种算法，其中节点表示任务，边表示任务间的依赖关系。拓扑排序的结果是一种满足依赖关系的任务执行顺序。
前言 生成树指在无向图中找一棵包含图中的所有节点的树，此树是含有图中所有顶点的无环连通子图。对所有生成树边上的权重求和，权重和最小的树为最小生成树，次小的为次最小生成树。...次最小生成树算法 2.1 完全穷举法 基本思想，先找出无向图中的最小生成树，依次删除最小生成树上的一条边，再在图中找最小生成树，会得到值不同的最小生成树，取权重和最小的即次最小生成树。...节点1是节点3的父节点，节点3被选择出来后，它与父节点的权重是可知，即为5，再求父节点1和节点2之间的最大权重边的值（树是连通的，节点 3 一定是可以通过父节点到达 2节点）。再在两者中取最大值。...for(int i=1; i<=n; i++) { if(vis[i]==1 ) { //分成两段，先求自己和父节点的权重，再求父节点到指定节点的最大权重 maxWeight...，则会在这两个点之间形成一个环，然后通过最小生成树和次最小生成树的大小差异一定是一对边差异特性，很方便求解出最终答案。
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