更重要的一点是，如果使用Beta 分布，会让之后的计算更加方便。...Beta 分布，这就是为什么使用 Beta 分布方便我们计算的原因。...后验概率分布（正⽐于先验和似然函数的乘积）拥有与先验分布相同的函数形式。这个性质被叫做共轭性（Conjugacy）。共轭先验（conjugate prior）有着很重要的作⽤。...直观讲，它表征了最有可能值的任何先验知识的匮乏。在这一情况中，所有权重分配到似然函数，因此当我们把先验与似然相乘，由此得到的后验极其类似于似然。因此，最大似然方法可被看作一种特殊的 MAP。...随着数据的增加，先验的作用越来越弱，数据的作用越来越强，参数的分布会向着最大似然估计靠拢。而且可以证明，最大后验估计的结果是先验和最大似然估计的凸组合。
极大似然估计法是基于极大似然原理提出的，为了说明极大似然原理，我们先看个例子 例子： 1、某同学与一位猎人一起外出打猎。...，其分布律 ?...的最大值，这里L(θ)称为样本的似然函数，若 ? 则称 ? 为θ的最大似然估计值，称 ?...若总体分布中包含多参数，即可令 ? 解k个方程组求的θ的最大似然估计值 小结：最大似然估计法的一般步骤： **写似然函数L ** ?...,xn）为样本观察值，求\lamda的最大似然估计值 解：总体X的概率密度函数为: ? ? 设总体X分布律为： ? 求参数p的最大似然估计量 ?
我们想求的正面概率θ是模型参数，而抛硬币模型可以假设服从二项分布。 那么，出现实验结果x0（反正正正正反正正正反）的似然函数是多少呢？ ? 而极大似然估计，顾名思义，就是要最大化这个函数。...极大似然估计需要保证所有的采样都是独立同分布的。 2. 容易混淆的概念 极大似然估计就是最大似然估计。...最大后验概率 与极大似然估计相比，使用最大后验概率估计θ时，首先认为θ本身存在一个分布，即θ有先验分布。 还是以判断一枚硬币是否质地均匀为例。...因此，我们可以通过最大化这个后验概率函数求得θ，我们可以画出f(θ)的图像： ? 计算得到θ = 0.696。也就是说，采用最大后验概率计算得到硬币正面朝上的概率为0.696。 4....概率： 帮助我们计算预期的收益和损失(平均值、众数、中值、方差、信息比率、风险值、赌徒破产等等)。 似然： 帮助我们量化是否首先应该相信那些概率。 实际上，似然几乎可以等价于置信度。
2）猎人和徒弟去打猎，打倒了一只兔子，更可能是谁打中的？ 3）一堆球，里边有黑白两色的球，其中一种颜色的有90个，另一种颜色的有10个。如果摸出一个球是黑色的，那么里边哪种颜色有90个？...我们的估计基于，概率最高的事情，更可能发生。一次实验就出现的事件，这件事有较大的概率发生。 2. 数学表述 最大似然估计这个名字是由高斯先提出，Fisher后来重新提出并证明了一些特征。...这是统计学中的常用方法，机器学习中的逻辑回归中也是基于它计算的损失函数。 当样本分布是离散型： ? 当样本分布为连续型时： ? 一般情况下求估计值的步骤： 1）构造似然函数?(?)...似然函数是连乘，不好求导；取对数后可化为加法，求导方便。 3）求导，计算极值 4）解方程，得到? 如果似然方程无解，或者似然函数不可导，则需要考虑其他方法。 3....计算实例 （此题来自于https://wenku.baidu.com/view/0d9af6aa172ded630b1cb69a.html） ? ? ?
概率是在给定分布的情况下，看样本事件发生的概率，而Likelihood是在已知样本的情况下，此时的分布参数为某一特定值时的发生概率。...那么极大似然估计就是似然度最大时的参数估计 按照上述思路，将p值从0到1的Likelihood值全部计算后绘图如下，可以找到Likelihood最大时的p值为0.57，因此0.57即是"人们选择橙色芬达的概率..."的极大似然估计。...也就是说，已知“随机询问了7个人喜欢橙色芬达还是紫色芬达，结果4个人喜欢橙色3个人喜欢紫色”，那么"人们选择橙色芬达的概率"最应该是0.57。 ? 二项分布的极大似然估计的数理过程如下 ?...PS：极大似然估计在机器学习中使用的比较多，在那里，数据集分为训练集、验证集和测试集，而训练集就是为了获得一个可用的模型，也就是确定好模型中各个参数的值，而这些参数的值就需要极大似然估计来确定。
为了在统计过程中发现更多有趣的结果，我们将解决极大似然估计没有简单分析表达式的情况。举例来说，如果我们混合了各种分布， ?...作为说明，我们可以使用样例数据 > X=height 第一步是编写混合分布的对数似然函数 > logL=function(theta){+ p=theta[1]+ m1=theta[2]+ s1...m2=theta[4]+ s2=theta[5]+ logL=-sum(log(p*dnorm(X,m1,s1)+(1-p)*dnorm(X,m2,s2)))+ return(logL)+ } 极大似然性的最简单函数如下...使用极大似然 > m1=sum(p*X)/sum(p) + logL=-sum(log(p*dnorm(X,m1,s1)+(1-p)*dnorm(X,m2,s2)))+ return(logL) 这个想法实际上是有一个循环的...：我们估计属于这些类的概率（考虑到正态分布的参数），一旦有了这些概率，就可以重新估计参数。
极大似然估计是概率论中一个很常用的估计方法，在机器学习中的逻辑回归中就是基于它计算的损失函数，因此还是很有必要复习一下它的相关概念的。...而在数理统计中，它有一个专业的名词： 极大似然估计（maximum likelihood estimation, MLE），通俗的说就是 —— 最像估计法（最可能估计法） 数学过程 极大似然原理与数学表示...基于极大似然的解释就是，我们高考的成绩很大程度上反应了平时的学习能力，因此考得好的（当前发生的事件），可以认为是学习好的（所有事件发生概率最大的）。 image.png PS ?...image.png 极大似然估计法 如果总体X为离散型 image.png 解法 image.png 参考 深入浅出最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation） 极大似然估计的原理和方法...——强烈推荐，PPT其实讲的已经很清楚了 极大似然估计详解
01 什么是极大似然估计法 极大似然估计是 1821 年由高斯提出，1912 年由费希尔完善的一种点估计方法。...02 求解极大似然估计量的四步骤 终于到了本文的小高潮，如何利用极大似然估计法来求极大似然估计量呢？ 首先我们来看一个例子：有一个抽奖箱，里面有若干红球和白球，除颜色外，其他一模一样。...为 θ 的极大似然估计量。从上述一般结果的抽象描述中，我们可以剥离出求解 ? 的一般步骤： 写出似然函数 ? ； 对似然函数取对数（视情况而定）； 求对数似然函数对未知参数的导函数 ?...； 令导函数为 0，方程的解即为极大似然解； 03 基于极大似然原理的 KNN 算法 KNN，即 K-近邻算法，是极大似然的一个体现，具体思想如下： 首先我们定义一个点，这个点很特别，它具有： X轴的值...小不点想出了一个绝妙的法子，记录自身到每一个颜色点的距离，然后选取其中 K 个距离值，并以最大的那个距离为半径，自身为圆心，画一个圆，计算圆内每一个颜色占总点数的概率，最大概率的那个颜色标签即是小不点的颜色
然后，我们定义了其对数部分似然和梯度，并通过一个实际的Python示例对其进行优化，以找到最佳的模型参数集。...直观地说，部分似然是在观察到的事件时间集合中，根据在这些时间点上处于风险中的患者集合和比例风险假设下，看到不良事件的条件概率的乘积。...我们可以将对数部分似然推导为： 在上述方程中： N是受试者数量。 θ = exp(βx)。 δⱼ表示事件（1：死亡，0：其他）。 为了拟合Cox模型，需要找到将负对数部分似然最小化的β系数。...我们回顾一下，负部分似然在大多数情况下是一个严格凸函数³。因此，它具有唯一的全局最小值。...从图中可以看出，负对数部分似然是一个凸损失函数。 5.结论 在生存分析的背景下，我们介绍了Cox比例风险模型，并在输入数据上拟合了它。特别是，我们用Python编写了负对数部分似然及其梯度。
在我们的模型分布下查询新数据点 x' 的似然，从而检测异常 由于我们可以将分类和回归问题解释为学习生成模型的过程，对条件分布进行建模具有更广泛的直接应用： 机器翻译 p（句子的英语翻译 | 法语句子）...字幕 p（字幕 | 图像） 像最小化均方误差 min{1/2(x−μ)^2} 这样的回归目标函数在数学上等价于具有对角协方差的高斯分布的最大对数似然估计：max{−1/2(x−μ)^2} 为了使 pθ...由于我们实际上无法对所有的 x_i 进行枚举，平均对数概率是对真实似然 p 和模型似然 p_θ 之间的负交叉熵的蒙特卡罗估计。...简而言之，这意味着「最大化数据的平均似然」，或者相当于「最小化真实分布和模型分布之间的负交叉熵」。...我们可以用一种可解释性很强的方式比较两个不同模型的交叉熵：假设模型 θ_1 具有平均似然 L(θ_1)，模型 θ_2 具有平均似然 L(θ_2)。
最开始学习机器学习的时候，首先遇到的就是回归算法，回归算法里最最重要的就是最小二乘法，为什么损失函数要用平方和，而且还得是最小？...的真实值服从正态分布。...J(\theta) = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^m(h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 其实通过这个公式我们可以求得关于\theta的解析解，可以直接计算出...\theta，但我们一般不这么做，因为求解析解过程中需要求矩阵的逆，这是一个非常耗时的工作（时间复杂度\Theta(n^3)），另外矩阵也不一定可逆，一般都是用梯度下降。...但我们还是看下如何求\theta的解析解。
image.png 极大似然估计 image.png 交叉熵 image.png source: wikipedia image.png 参考链接 [1] http://willwolf.io
通常，在已知K种颜色的未知参数的情况下，观察长度为N的独立试验的序列k 1，k 2，…的可能性计算为： ? K的最大似然估计（MLE）使该似然最大化： ?...虚线表示泊松先验λ = 35的MAP估计。即使先验代表了一个最初的实际高估，仅经过几次试验，最大似然和后验分布有效地吻合。另一方面，实线显示了对这种影响更强的鲁棒性。...它表示带有偏差校正似然的MAP估计量。 因此，如果似然估计存在较大的偏差，我们就不能指望先验信息在没有额外修正的情况下有效地补偿。如前所述，纠正偏差并不简单，因为它取决于未知参数。...但是，我们可以从先验分布中计算出该参数值的估计值，该估计值可以取代真实参数值，从而得出偏差的估计值: ? 这使我们可以按先验偏差校正的可能性写出后验分布，如下所示： ?...当我们知道似然估计的偏差是真实参数值(包含样本大小)的函数时，可以使用这个公式。如果不知道解析，可以想象这样的函数可以通过蒙特卡罗模拟产生。
这便是一个简单的使用极大似然的场景，根据黑白球的出现情况去对黑球概率这个参数进行估计，做估计的依据是：概率是什么数值时最符合当前的情况，即当前情况的可能性最大，换成数学点的语言就是似然极大。...例如 pg(x) 是一个均值和方差参数还未确定的正态分布，那么如何用样本估计均值和方差的准确数值？ 在极大似然法中，首先使用所有样本计算似然函数L(θ)： ?...似然函数是一个关于模型参数θ的函数，当选择不同的参数θ时，似然函数的值是不同的，它描述了在当前参数θ下，使用模型分布pg(x;θ)产生数据集中所有样本的概率。...可以证明两者是等价的，但是将似然函数取对数后会把概率乘积形式转换为对数求和的形式，大大方便了计算。将其展开后，有 ?...另一种对极大似然估计的理解是：极大似然估计本质在最小化训练集上的经验分布和模型分布pg(x;θ)之间的KL散度值，即 ? 而KL散度的表达式为 ? 由于θ值与第一项无关，故只考虑第二项，有 ?
一、最大似然估计 假设有3个数据点，产生这3个数据点的过程可以通过高斯分布表达。这三个点分别是9、9.5、11。我们如何计算高斯分布的参数μ 、σ的最大似然估计？...同理，我们可以求得σ的最大似然估计 为什么是最大似然，而不是最大概率？ 这只是统计学家在卖弄学问（不过他们的理由很充分）。大部分人倾向于混用概率和似然，但是统计学家和概率论学者区分了两者。...贝叶斯推断 首先，（在统计学上）推断是推理数据的种群分布或概率分布的性质的过程。上面说的最大似然其实就包含了这一过程。我们基于观察到的一组数据点决定均值的最大似然估计。...如果你读完了上面最大似然的内容，那么你会记得我们提到过L(data; μ, σ) 是（高斯分布的）似然分布。好，P(data|Θ) 正是这个，它是改头换面的似然分布。...因为高斯分布具有一个特别的性质，使得高斯分布易于处理。高斯分布和自身的高斯似然函数是共轭的。这意味着，如果我将一个高斯先验分布乘以一个高斯似然函数，我将得到一个高斯后验函数。
似然函数与前面的概率函数的计算方式极其相似，与概率函数不同的是，似然函数是 的函数，即 是未知的。似然函数衡量的是在不同参数 下，真实观察数据发生的可能性。...从图中可以看出：参数 为0.6时，似然函数最大，参数为其他值时，“6正4反”发生的概率都相对更小。在这个赌局中，我会猜测下次硬币为正，因为根据已有观察，硬币很可能以0.6的概率为正。 ?...正态分布（高斯分布）的概率密度公式如下面公式，根据正态分布的公式，可以得到 的概率密度。 假设 服从正态分布，它的均值为 ，方差为 ，它的概率密度公式如下。...最大似然估计法告诉我们应该选择一个 ，使得似然函数 最大。 中的乘积符号和 运算看起来就非常复杂，直接用 来计算十分不太方便，于是统计学家在原来的似然函数基础上，取了 对数。...的一些性质能大大化简计算复杂程度，且对原来的似然函数增加 对数并不影响参数 ω 的最优值。通常使用花体的 来表示损失函数的对数似然函数。
计算最大似然估计 现在我们对最大似然估计有了直观的理解，我们可以继续学习如何计算参数值了。我们找到的参数值被称为最大似然估计（maximum likelihood estimates，MLE）。...而 P(data| Θ) 和似然度分布类似。 因此我们可以使用 P(data|Θ) 更新先验信度以计算参数的后验分布。 等等，为什么忽略了 P(data)？...氢键长度的先验分布（蓝线），和由 5 个数据点导出的似然度分布（黄线）。 现在我们有两个高斯分布。由于忽略了归一化常数，因此已经可以计算非归一化的后验分布了。高斯分布的一般定义如下： ?...此外，因为高斯分布有一个特殊的属性，使其易于计算分布的乘积。对于高斯似然函数来说，高斯分布与它自己共轭，因此如果我把一个高斯似然函数乘以一个高斯先验分布，我将得到一个高斯后验函数。...你可以通过计算后验分布更新你的信念，就像上面我们做的那样。随后，甚至有更多的数据进来。因此我们的后验成为新的先验。我们可以通过从新数据中获得的似然更新的新的先验，并再次获得一个新后验。
FastTree 是基于最大似然法构建进化树的软件，它最大的特点就是运行速度快，支持几百万条序列的建树任务。...官方的说法是，对于大的比对数据集，FastTree 比phyml或者RAxML 快100到1000倍。...对于蛋白质，可选的替换模型包括以下几种 JTT LG WAG 默认的模型为JTT。 利用不同的测试数据集，比较了fastTree 不同替换模型和RAxML, PhyML 运行速度的差异。...对于蛋白序列而言，FastTree 的运行速度比其他两款软件快了1000多倍，而且对于几万条序列的比对，其他两款软件的运行时间太久，超过了可以忍受的范围；对于核酸序列而言，默认的JC模型的速度最快， GTR...对于几万条的核酸序列，只有FastTree, NJ， Clearcut 这3个软件有结果，而FastTree 的准确度是最高的，从此可以看出，对于几万条核酸序列的进化树分析，FastTree 是最佳选择之一
2 最大似然估计 我们对满足分布的数据建模，其中 θ 是模型的参数，x 为观测到的变量，z 为隐变量。...对于独立同分布的观测数据 ，我们要计算参数的最大似然估计： 其中， 为 X 的边缘似然（即「证据」）。...通常而言，我们计算「证据」的对数来处理独立同分布的数据： 这样一来，完整的对数似然可以被分解为每个数据点的对数似然之和。...在这种情况下，我们计算每个驻点 上的似然 ，并求最大值。然而，当隐变量 z 存在时， 包含对 z 的积分，通常使上述等式没有封闭解。...公式（6）说明，我们可以从简单的分布族中挑选，从而近似似然，同时保证了 ELBO 易于计算。
根据前面的描述，总结一下求最大释然估计值的步骤： 1.写似然函数 2.一般对似然函数取对数，并将对数似然函数整理 3.对数似然函数求导，令导数为0，求得似然方程 4.根据似然方程求解，得到的参数即为所求估计值...p(x|yi)是条件概率，或者说似然概率，这个概率一般都可以通过历史数据统计得出。而p(yi)是先验概率，一般也是根据历史数据统计得出或者认为给定的，贝叶斯里的先验概率，就是指p(yi)。...对于p(x)，我们前面提到可以用全概率公式计算得出，但是在贝叶斯公式里面我们一般不care这个概率，因为我们往往只需要求出最大后验概率而不需要求出最大后验的具体值。...理解3： 最大似然是对点估计，贝叶斯推断是对分布估计。 即，假设求解参数θ，最大似然是求出最有可能的θ值，而贝叶斯推断则是求解θ的分布。...在公式上，贝叶斯推断还引入了先验，通过先验和似然来求解后验分布，而最大似然直接使用似然函数，通过最大化其来求解。
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