为此目的考虑以下函数（这是完整示例的一部分 ）： 先看函数： eigen()特征向量 计算 A 行 A 列的二维方形数组的实数特征向量和特征值。...返回一个包含 A 行和 A+1 列的数组，其中每一行在第一列中包含一个特征值，在其余 A 列中包含相应的特征向量。行按特征值降序排列。...Arguments: this:input (Array): 输入（数组）： 用于计算特征值分解的二维方形数组。...var arrays = centered.toArray(); // 计算区域内波段的协方差。...var eigens = covarArray.eigen(); // 这是特征值的 P 长度向量。
方差深入： 很显然，均值描述的是样本集合的中间点，它告诉我们的信息是很有限的，而标准差给我们描述的则是样本集合的各个样本点到均值的距离之平均。...在概率论和统计学中，协方差用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。...协方差的结果有什么意义呢？...如果为0，也是就是统计上说的“相互独立”。 总结 必须要明确一点，协方差矩阵计算的是不同维度之间的协方差，而不是不同样本之间的。...理解协方差矩阵的关键就在于牢记它计算的是不同维度之间的协方差，而不是不同样本之间，拿到一个样本矩阵，我们最先要明确的就是一行是一个样本还是一个维度，心中明确这个整个计算过程就会顺流而下，这么一来就不会迷茫了
一、LDA（线型判别分析-Linear Discriminant Analysis） 1.基本原理 给定训练集样例，设法将样例投影到一条直线上，使得同类样例的投影点尽可能的接近、异类样例的投影点尽可能地远离...3.对PCA中的特征向量和特征值的理解 协方差理解： 对于一个样本集合S，如果每个样本是一个n维空间中的一个列向量，则使用协方差矩阵描述样本之间的变化程度， 协方差矩阵的定义式： ?...特征值和特征向量： 在协方差矩阵的基础上进一步理解特征值和特征向量，之前已述，协方差矩阵表示了样本集在原n维空间中各个方向上的能量分布，通过对协方差矩阵求特征向量，实际上找到的是在原n维空间中的一些特定的方向...，样本集的能量集中分布在这些方向上，而特征值的大小就反映了样本集在该方向上的能量大小。...PCA正式基于这一点，删掉对应特征值小的方向，只保留主要的方向，达到降维的目的。 对于协方差矩阵计算特征向量的一个性质： 假设有样本集Xi(i=1,...
协方差矩阵的特征值(Eigenvalues)和特征向量(eigenvectors) 特征值：表示特征向量对应列的权重，越大说明特征向量对应列的影响越大。...特征向量：是一个n * n 的matrix，n是样本数据的特征数。用于降维转换。 降维转换过程： 在特征向量中，选出特征值最大的m列，形成一个m * n的降维向量矩阵。...n维的样本数据，通过其协方差矩阵，可以计算出特征值和特征向量。...选择特征值最大的前m项，可以将样本数据和特征向量进行计算，得到一个m维的降维数据集。...计算协方差矩阵 计算协方差矩阵的特征值和特征向量 将特征值从大到小排序 保留最上面的N个特征向量 使用前面提到的降维转换过程，转换数据集为降维数据集和重构的数据集 核心公式 协方差（covariance
通过计算数据矩阵的协方差矩阵，然后得到协方差矩阵的特征值和特征向量，选择特征值最大的k个特征对应的特征向量组成的矩阵就可以了。这个矩阵就可以将原始m维度的特征转换成k维度。...散度矩阵的写法是矩阵的写法，和协方差矩阵公式其实等价。 公式中的n是样本数量 对于每一个样本 x_k ,我们可以假设每一个样本都包含n个特征，也就是每一个样本都是m维度数据。...{A}= {V\sum V^{-1}} 奇异值分解 特征值分解只能针对方针，如果A是一个非方阵，尤其是在PCA当中，样本的特征数量和样本数量一般都是不相同的。...【基于特征值分解协方差矩阵实现PCA】 去平均值，每一个特征都要预处理，变成0均值分布 计算协方差矩阵或者散度矩阵，就是 XX^T 用特征值分解求协方差矩阵的特征值和特征向量 选择最大的k个特征值的特征向量...，组成一个特征向量矩阵P，这个矩阵的形状为mxk的，m是原来样本特征维度，也是协方差矩阵（方阵）的维度。
协方差和散度矩阵 样本均值： 样本方差： 样本X和样本Y的协方差： 由上面的公式，我们可以得到以下结论： (1) 方差的计算公式是针对一维特征，即针对同一特征不同样本的取值来进行计算得到；而协方差则必须要求至少满足二维特征...Cov(X,X)就是X的方差。当样本是n维数据时，它们的协方差实际上是协方差矩阵(对称方阵)。例如，对于3维数据(x,y,z)，计算它的协方差就是： ? 散度矩阵定义为： ? 对于数据的散度矩阵为。...2）计算协方差矩阵，注：里除或不除样本数量n或n-1,其实对求出的特征向量没有影响。 3）用特征值分解方法求协方差矩阵的特征值与特征向量。 4）对特征值从大到小排序，选择其中最大的k个。...和利用特征值分解实现PCA算法类似，我们需要找到样本协方差矩阵的最大k个特征向量，然后用这最大的k个特征向量组成的矩阵来做低维投影降维。...可以看出，在这个过程中需要先求出协方差矩阵当样本数多、样本特征数也多的时候，这个计算还是很大的。
主成分分析（PCA）是一种基于变量协方差矩阵对数据进行压缩降维、去噪的有效方法，PCA的思想是将n维特征映射到k维上（k的线性组合，这些线性组合最大化样本方差，尽量使新的...第四步，计算协方差矩阵的特征向量和特征值，选取特征向量 ? ?...正号表示预处理后的样本点，斜着的两条线就分别是正交的特征向量（由于协方差矩阵是对称的，因此其特征向量正交），特征值较大的那个特征向量是这个数据集的主要成分（principle component）。...第五步，将样本点投影到选取的特征向量上，得到新的数据集 假设样例数为m，特征数为n，减去均值后的样本矩阵为DataAdjust(m*n)，协方差矩阵是n*n，选取的k个特征向量组成的矩阵为EigenVectors...下图是FinalData根据最大特征值对应的特征向量转化回去后的数据集形式，可看出是将DataAdjust样本点分别往特征向量对应的轴上做投影： ? 如果取的k=2，那么结果是 ?
则样本集的协方差矩阵为： ? 协方差矩阵为n*n大小的方阵，具有n个特征向量。 其中协方差计算公式为： ? 计算协方差矩阵的特征向量及对应的特征值。 ? ...答：使用协方差矩阵计算出来的特征值为其特征向量上的样本集的方差，当方差越大，说明数据集在该特征向量方向上越分散，变化越大，所以该方向就可以用来作为数据集的主方向。 ...3）计算协方差矩阵 4）求出协方差矩阵的所有特征向量及对应的特征值。 5）根据特征值从大到小对应的特征向量，取出前k个特征向量组成一个特征矩阵u。 6）将原始数据旋转到特征矩阵u所在的空间中， ?...具体损失可以用前k个特征值在所有特征值中所占的比例，由于协方差矩阵的特征值为方差，因而特征值之比即为方差百分比： ? 其中， ? ...其主要过程是：首先利用样本集及特征构建一个样本矩阵，然后利用样本矩阵计算得到协方差矩阵，再计算协方差矩阵的特征值和特征向量，保留特征值前k大的特征向量作为新的维度方向。
《实例》阐述算法，通俗易懂，助您对算法的理解达到一个新高度。包含但不限于：经典算法，机器学习，深度学习，LeetCode 题解，Kaggle 实战。期待您的到来！...01 — 求矩阵特征值的例子 矩阵的特征值为：2，0.4，分别对应的特征向量如上所述。
如何描述最大分类间隔，当不同类样本的投影点尽可能远离且相同类样本的投影点尽可能接近，则样本集具有最大分类间隔。我们用类中心间的距离和类的协方差分别表示不同类的距离和相同类的接近程度。...分别是两个类样本的中心点， ? 和 ? 分别是两个类的协方差。 1.3 PCA与LDA降维应用场景对比 若训练样本集两类的均值有明显的差异，LDA降维的效果较优，如下图： ?...由上图可知，LDA降维后的二分类样本集具有明显差异的样本分布。 若训练样本集两类的均值无明显的差异，但协方差差异很大，PCA降维的效果较优，如下图： ?...，降维后的维度是d。 1）计算每个类样本的均值向量 ? 和所有数据集的均值向量 ? 2）计算散度矩阵，包括类内散度矩阵 ? 和类间散度矩阵 ? 3）计算 ? 的特征向量 ? 和对应的特征值 ?...4）选择d个最大特征值对应的矩阵 ? ，矩阵的每一列表示特征向量 5）对数据集D进行降维，得到对应的降维数据集 ? ，其中 ? 。 5.
，异类样例的投影点尽可能远离；在对新样本进行分类时，将其投影到同样的直线上，再根据投影点的位置来确定新样本的类别。...在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的算法和方法。 LDA目标 LDA的目标：最小化类内协方差，即让同类投影点尽可能的接近；最大化类间协方差，即让异类投影点尽可能远离。...S_k可以通过将所有属于该类别的样本进行中心化，然后计算协方差矩阵得到。最后，将所有类别的散度矩阵相加，即可得到总的类内散度矩阵S_w。...计算特征向量： 通过求解广义特征值问题，可以得到投影矩阵W。该矩阵的每一列对应一个特征向量，这些特征向量对应于数据在低维空间中的线性判别。...这样做可以降低模型的复杂度，并且可以避免因维度灾难而导致的过拟合问题。 LDA缺点 缺点： 假设限制：LDA对数据的假设较为严格，例如假设数据符合正态分布、各个类别样本的协方差矩阵相等等。
PCA 算法步骤 形成样本矩阵，样本中心化 计算样本矩阵的协方差矩阵 对协方差矩阵进行特征值分解，选取最大的 p 个特征值对应的特征向量组成投影矩阵 对原始样本矩阵进行投影，得到降维后的新样本矩阵 推导...推导到这里，我们可以看到我们的最有解和协方差矩阵的联系。其实协方差矩阵度量的是维度与维度之间的关系，而非样本与样本之间。...协方差矩阵的主对角线上的元素是各个维度上的方差(即能量)，其他元素是两两维度间的协方差(即相关性)。...，样本中心化 meanVals= mean(dataMat,axis=0) meanRemoved = dataMat - meanVals # 计算样本矩阵的协方差矩阵...covMat = cov(meanRemoved,rowvar=0) # 对协方差矩阵进行特征值分解，选取最大的 p 个特征值对应的特征向量组成投影矩阵 eigVals,eigVects
为了进一步了解 PCA 算法，我们还需要定义一些基本的统计学概念，即均值、标准差、方差和协方差。 样本均值可简单的表示为所有样本 X 的平均值，如下所示样本均值表示为： ?...样本标准差即样本方差的平方根。即每一样本点到样本均值之间的平均距离。n 个样本的方差却只除以 n-1 是因为样本只是真实分布的估计量，样本方差也只是真实方差的估计量。...寻找协方差矩阵的特征向量和特征值就等价于拟合一条能保留最大方差的直线或主成分。因为特征向量追踪到了主成分的方向，而最大方差和协方差的轴线表明了数据最容易改变的方向。...协方差矩阵作为实对称矩阵，其主要性质之一就是可以正交对角化，因此就一定可以分解为特征向量和特征值。 当协方差矩阵分解为特征向量和特征值之后，特征向量表示着变换方向，而特征值表示着伸缩尺度。...在本例中，特征值描述着数据间的协方差。我们可以按照特征值的大小降序排列特征向量，如此我们就按照重要性的次序得到了主成分排列。 对于 2 阶方阵，一个协方差矩阵可能如下所示： ?
三、PCA的过程 通常来说有以下六步： 1.去掉数据的类别特征（label），将去掉后的d维数据作为样本 2.计算d维的均值向量（即所有数据的每一维向量的均值） 3.计算所有数据的散布矩阵（或者协方差矩阵...,lambda d） 5.按照特征值的大小对特征向量降序排序，选择前k个最大的特征向量，组成d*k维的矩阵W（其中每一列代表一个特征向量） 6.运用d*K的特征向量矩阵W将样本数据变换成新的子空间。...因为散步矩阵和协方差矩阵非常类似，散布矩阵乘以（1/N-1）就是协方差，所以他们的特征空间是完全等价的（特征向量相同，特征值用一个常数（1/N-1，这里是1/39）等价缩放了）。...协方差矩阵如下所示： ? ? 结果： ? 6.计算相应的特征向量和特征值 ? 结果： ?...其实从上面的结果就可以发现，通过散布矩阵和协方差矩阵计算的特征空间相同，协方差矩阵的特征值*39 = 散布矩阵的特征值 当然，我们也可以快速验证一下特征值-特征向量的计算是否正确，是不是满足方程 ?
3.求特征协方差矩阵，如果数据是3维，那么协方差矩阵是 ? 这里只有x和y，求解得 ? 4.计算协方差矩阵C的特征值和特征向量，得到 ? ...上面是两个特征值，下面是对应的特征向量，特征值0.0490833989对应特征向量为，这里的特征向量都归一化为单位向量。...这里特征值只有两个，我们选择其中最大的那个，这里是1.28402771，对应的特征向量是(-0.677873399, -0.735178656)T。 6.将样本点投影到选取的特征向量上。...假设样例数为m，特征数为n，减去均值后的样本矩阵为DataAdjust(m*n)，协方差矩阵是n*n，选取的k个特征向量组成的矩阵为EigenVectors(n*k)。...PCA把原先的n个特征用数目更少的m个特征取代，新特征是旧特征的线性组合，这些线性组合最大化样本方差，尽量使新的m个特征互不相关。从旧特征到新特征的映射捕获数据中的固有变异性。
PCA主要步骤 去除平均值 计算协方差矩阵 计算协方差矩阵的特征值和特征向量 将特征值排序 保留前N个最大的特征值对应的特征向量 将原始特征转换到上面得到的N个特征向量构建的新空间中（最后两步，实现了特征压缩...通过将数据转换为同样的比例可以防止这个问题。 求每一个特征的平均值，然后对于所有的样本，每一个特征都减去自身的均值。...计算协方差矩阵的特征值和特征向量 求协方差矩阵 C 的特征值 λ 和相对应的特征向量 u （每一个特征值对应一个特征向量）： Cu=\lambda u 特征值 λ 会有 N 个，每一个 λ_{i} 对应一个特征向量...计算方法简单，主要运算是特征值分解，易于实现。 PCA算法的主要缺点 主成分各个特征维度的含义具有一定的模糊性，不如原始样本特征的解释性强。...方差小的非主成分也可能含有对样本差异的重要信息，因降维丢弃可能对后续数据处理有影响。
估计的均方误差为 上式表明，这时的 ti 为 x 的协方差矩阵 Cx 的对应于特征值 λi 的特征矢量。...R_x = samples' * samples; % 计算样本矩阵的协方差矩阵 [V, D] = eig(R_x); % 计算协方差矩阵的特征值和特征向量 [~, indices1...% 选取前 m 个最大的特征值对应的特征向量 rm = samples * selected_eigenvectors; % 将样本矩阵投影到选取的特征向量上，得到降维后的数据 end 4.2...R_x = cov(samples); % 计算样本矩阵的协方差矩阵 [V, D] = eig(R_x); % 计算协方差矩阵的特征值和特征向量 [~, indices1] =...m 个最大的特征值对应的特征向量 rm = samples * selected_eigenvectors; % 将样本矩阵投影到选取的特征向量上，得到降维后的数据 end 4.3 测试输入
深入PCA 2_1 如何发现PC 2_1_1 PC的特点——方差大 首先，我们先简介描述数据的工具——平均值，方差，协方差。 平均值表示了数据的样本中心。 方差表示了数据的离散程度。...设定数据集X∈Rm∗nX \in \mathbb{R}^{m*n}，m表示样本点的数量，n表示样本点的维度。...λ\lambda为协方差矩阵的特征值。...这个百分比来源于 协方差矩阵对应主成分的特征值和协方差矩阵所有的特征值的和 \frac{协方差矩阵对应主成分的特征值和}{协方差矩阵所有的特征值的和} 一般来说，该比例大于90%，即很好地解释了原数据的方差...求出XX的协方差矩阵∑\sum 求出∑\sum的特征向量ee和特征值λ\lambda 将特征值降序排列，根据百分比协方差矩阵对应主成分的特征值和协方差矩阵所有的特征值的和\frac{协方差矩阵对应主成分的特征值和
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