在一给定的无向图 G = ( V , E ) G = (V, E) G=(V,E) 中， ( u , v ) (u, v) (u,v)代表连接顶点 u u u 与顶点 v v v 的边，而 w ( u , v ) w(u, v) w(u,v) 代表此边的权重，若存在 T T T 为 E E E 的子集且为无循环图，使得 w ( T ) w(T) w(T) 最小，则此 T T T 为 G G G 的最小生成树，因为 T T T是由图 G G G产生的。
图的“多对多”特性使得图在结构设计和算法实现上较为困难，这时就需要根据具体应用将图转换为不同的树来简化问题的求解。
像图论算法这种高级算法虽然不算难，但是阅读量普遍比较低，我本来是不想写 Prim 算法的，但考虑到算法知识结构的完整性，我还是想把 Prim 算法的坑填上，这样所有经典的图论算法就基本完善了。
上一篇：加权无向图的实现 加权无向图----Kruskal算法实现最小生成树 图的生成树是它的一棵含有其所有顶点的无环连通子图，加权图的最小生成树（MST）是它的一棵权值最小的生成树。 切分：图的一种切分是将图的所有顶点分为两个非空且不重合的两个集合。横切边是一条连接两个属于不同集合的顶点的边。 切分定理：在一幅加权图中，给定任意的切分，它横切边中权重最小者必然属于图的最小生成树。 切分定理是解决最小生成树问题的所有算法的基础。 Prim算法能够得到任意加权连通无向图的最小生成树。 数据结构设计： 采用一
Prim 算法可以称为“加点法”，每次迭代选择代价最小的边对应的点，加入到最小生成树中，算法从某一个顶点开始，逐渐长大覆盖整个连通网的所有顶点。
连通图：无向图G中，若从顶点i到顶点j有路径相连，则称i,j是连通的；如果G是有向图，那么连接i和j的路径中所有的边都必须同向；如果图中任意两点之间都是连通的，那么图被称作连通图。
上一篇：加权无向图的实现 加权无向图----Prim算法实现最小生成树 数据结构： 用一条优先队列将边按照权重从小到大排序 用union-find数据结构来识别会形成环的边 用一条队列来保存最小生成树的所有边 Kruskal算法的计算一个含V个顶点和E条边的连通加权无向图的最小生成树所需空间与E成正比，所需时间与ElogE成正比（最坏情况）。 方法：将边都添加进最小优先权队列中，每次从中取出最小的边，检查会不会与已经选出的边构成环（使用union-find算法），如果构成环，则弃掉这条边，否则将这条边加入最
Dijkstra’s algorithm（迪杰斯特拉算法）是一种用于求解单源最短路径问题的经典算法。该算法可以计算从单个起始节点到图中所有其他节点的最短路径。Dijkstra’s algorithm适用于没有负权边的有向或无向带权图。
该文章是一篇技术文章，主要介绍了如何通过编辑距离算法实现文本相似度的计算。文章首先介绍了编辑距离算法的原理，然后详细讲解了基于编辑距离的文本相似度计算方法，并给出了具体的实现代码。最后，文章还探讨了编辑距离算法在技术社区中的应用，包括相似度计算和相似问答系统。
Prim算法 1.概览 普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算
在图论中，最小生成树是一个重要的概念，它是一个连通图的子图，包含图中的所有节点，并且边的权重之和最小。 Prim 算法和 Kruskal 算法是两种常用的最小生成树算法。本篇博客将重点介绍这两种算法的原理、应用场景以及使用 Python 实现，并通过实例演示每一行代码的运行过程。
在连通网中查找最小生成树的常用方法有两个，分别称为普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。本节，我们给您讲解克鲁斯卡尔算法。
首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林不产生回路，直至森林变成过一棵树为止
上篇博客我们聊了图的物理存储结构邻接矩阵和邻接链表，然后在此基础上给出了图的深度优先搜索和广度优先搜索。本篇博客就在上一篇博客的基础上进行延伸，也是关于图的。今天博客中主要介绍两种算法，都是关于最小生成树的，一种是Prim算法，另一个是Kruskal算法。这两种算法是很经典的，也是图中比较重要的算法了。 今天博客会先聊一聊Prim算法是如何生成最小生成树的，然后给出具体步骤的示例图，最后给出具体的代码实现，并进行测试。当然Kruskal算法也是会给出具体的示例图，然后给出具体的代码和测试用例。当然本篇博客中
一个连通的生成树是图中的极小连通子图，它包括图中的所有顶点，并且只含尽可能少的边。这意味着对于生成树来说，若砍去它的一条边，就会使生成树变成非连通图；若给它添加一条边，就会形成图中的一条回路。
生成树指在无向图中找一棵包含图中的所有节点的树，此树是含有图中所有顶点的无环连通子图。对所有生成树边上的权重求和，权重和最小的树为最小生成树，次小的为次最小生成树。
最小生成树：一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。根据定义可知对于一个有V个顶点的图来说，其最小生成树定包含V个顶点与V-1条边。反过来如果一个图的最小生成树存在，那么图一定是连通图。 对于最小生成树算法最著名的有两种：Prim算法与Kruskal算法。
图论是研究图的数学理论和方法，其中图是由顶点集合及连接这些顶点的边集合组成的数学结构。图论在计算机科学、网络规划、生物信息学等众多领域都有重要应用。最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）是图论中一个经典问题，指在一个加权连通图中寻找一棵权值最小的生成树。克鲁斯卡尔（Kruskal）算法和普利姆（Prim）算法是解决最小生成树问题的两种著名算法。
在上一篇文章中，我们看了一下图的遍历算法，主要是对图的深度优先遍历和图的广度优先遍历算法思想的介绍。接下来让我们来看一下图的最小声成树算法。
最小生成树算法用于在一个连通加权无向图中找到一个生成树，使得生成树的所有边的权重之和最小。最小生成树问题在许多实际应用中都有重要的作用，例如网络设计、电力传输等。
HDU 4081 Qin Shi Huang's National Road System（次小生成树-Kruskal） 博主的方法很好，但是有疑问，为什么不能将最多人口的两城市的距离设置为0，在进行Prim操作，求B呢？这个将在后续的刷题中体现。 POJ 2377 Bad Cowtractors（最大生成树-Kruskal） 裸题，可以用来熟悉算法。 HDU 6141 I am your Father!（最小树形图） 朱刘算法，这个还不会，稍后来填坑。 CodeForces 609 E.Minimu
No.17期 最小生成树（一） Mr. 王：我们再来讲一个时间亚线性算法——最小生成树问题。这里先简单介绍一下树的概念。 小可：那什么是树呢？ Mr. 王：树的简单定义，就是一个没有回路的连通无向图。
若图中顶点数为n，则它的生成树含有n-1条边。对生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会形成一个回路。
图论中知名度比较高的算法应该就是 Dijkstra 最短路径算法，环检测和拓扑排序，二分图判定算法 以及今天要讲的最小生成树（Minimum Spanning Tree）算法了。
最小生成树（ Minimum Spanning Tree ， MST ）是图论中的一个重要问题，涉及到在一个加权连通图中找到一棵包含所有节点且边的权重之和最小的树。最小生成树问题在许多实际应用中都有重要作用，例如通信网络设计、电路板布线、城市规划等。在本篇博客中，我们将深入探讨最小生成树算法的优化和应用，主要关注两个著名的算法： Prim 算法和 Kruskal 算法。
在之前的文章中已经详细介绍了图的一些基础操作。而在实际生活中的许多问题都是通过转化为图的这类数据结构来求解的，这就涉及到了许多图的算法研究。
通俗易懂的讲就是最小生成树包含原图的所有节点而只用最少的边和最小的权值距离。因为n个节点最少需要n-1个边联通，而距离就需要采取某种策略选择恰当的边。
本篇我们会聊聊最小生成树，最小生成树和之前的无向图最大的区别是这个每一条边都是带有权重的。在聊最小生成树之前 我们要先聊两个理念，因为最小生成树是基于这两个理念的基础上得到的相关数据结构算法。
一个连通图的生成树指的是，极小的连通子图，它含有图中的全部n个顶点，但是只足以构成一棵树的（n-1）条边。
前言 在数据结构与算法的图论中，(生成)最小生成树算法是一种常用并且和生活贴切比较近的一种算法。但是可能很多人对概念不是很清楚，什么是最小生成树? 一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子
快要一整个月没有更新博客了，之前的几周每周都想着要写，但是最后时间还是排不开，最近的状态是一直在写代码，一直在怼工作的需求，顺便刷刷算法题，国庆则是没心没肺的玩了七八天，时间这么一分摊，写博客的时间总是挤不出来，罪过罪过。
练习题： LeetCode 1135. 最低成本联通所有城市（最小生成树+排序+并查集） LeetCode 1489. 找到最小生成树里的关键边和伪关键边（并查集+kruskal最小生成树）
我们在图的定义中说过，带有权值的图就是网结构。一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。所谓的最小成本，就是n个顶点，用n-1条边把一个连通图连接起来，并且使得权值的和最小。综合以上两个概念，我们可以得出：构造连通网的最小代价生成树，即最小生成树（Minimum Cost Spanning Tree）。 找连通图的最小生成树，经典的有两种算法，普里姆算法和克鲁斯卡尔算法，这里介绍普里姆算法。 为了能够讲明白这个算法，我们先构造网图的邻接矩阵，如图7-6
给定一张带权无向图 G=（V，E），n = |V|， m = |E|。由 V 中全部 n 个顶点和 E 中 n-1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树。边权和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树（Minimum Spanning Tree,MST）。
应用图解决现实问题是我们使用图这种数据结构的原因所在。 最小生成树是图的应用中很常见的一个概念，一个图的最小生成树不是唯一的，但最小生成树的边的权值之和纵使唯一的。最小生成树的算法主要有Prim算法和Kruskal算法。这两种算法都是基于贪心算法策略（只考虑眼前的最佳利益，而不考虑整体的效率）。 拓扑排序是指由一个有向无环图的顶点组成的序列，此序列满足以下条件：
带权图：边赋以权值的图称为网或带权图，带权图的生成树也是带权的，生成树T各边的权值总和称为该树的权。
连通图中的每一棵生成树，都是原图的一个极大无环子图，即：从其中删去任何一条边，生成树就不在连通；反之，在其中引入任何一条新边，都会形成一条回路。
Kruskal 算法可以称为“加边法”，初始最小生成树边数为0，每迭代一次就选择一条满足条件的最小代价边，加入到最小生成树的边集合里。
前言 A wise man changes his mind,a fool never. Name:Willam Time:2017/3/1
由一个带权值的联通图到一个最小生成树的过程，其实就是从图的所有边中挑出一部分边用来组成树的过程，所以关键在于如何挑选边。
克鲁斯卡尔算法是一种求解最小生成树问题的算法，其在电子文档管理系统中可以用于优化文档的管理和存储。
这次来参加了一下194周赛，做完前两道，后面第三道思路不太对，写错了，就差了一个函数调用。。最后一道是一个prim/kruskal算法求解最小生成树的问题，这两个算法之前也没实现过，于是就不太会做了，下来总结一下这次的题解，互相学习吧，期待下次周赛的进步。
HDU 1102 Constructing Roads（最小生成树-Prim） 最常见的，将已建成的路的权值设置为0，求最小生成树！ HDU 1162 Eddy's picture（最小生成树-Prim） 裸题，联系敲板子吧！ POJ 2560 Freckles（最小生成树-Kruskal） 裸题 POJ 2728 Desert King（01分数规划+二分+最小生成树-Prim） 0/1线性规划，二分做题！这个题得刷！ POJ 1679 The Unique MST（次
此算法可以称为“加边法”，初始最小生成树边数为0，每迭代一次就选择一条满足条件的最小代价边，加入到最小生成树的边集合里。
贪心算法就是让计算机模拟一个「贪心的人」来做出决策。这个贪心的人是目光短浅的，他每次总是：
在学习了图的基本结构和遍历方式后，我们再继续地深入学习一些图的基本应用。在之前的数据结构中，我们并没接触太多的应用场景，但是图的这两类应用确是面试或考试中经常出现的问题，而且出现的频率还非常高，不得不来好好说一说。
关键路径——在AOE-网中有些活动可以并行地进行，所以完成工程的最短时间是从开始点到完成点的最长路径的长度，路径长度最长的路径叫做关键路径(Critical Path)。
它的最小生成树是什么样子呢？下图绿色加粗的边可以把所有顶点连接起来，又保证了边的权值之和最小：
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