最小二乘估计中的满秩假设(线性回归)

最小二乘估计中的满秩假设是指在线性回归模型中，独立变量的个数要小于或等于样本的个数，即矩阵X的列数要小于或等于矩阵X的行数。这个假设是为了保证模型的可估计性和稳定性。

满秩假设的分类：

满秩假设成立：当矩阵X的列数等于矩阵X的行数时，满秩假设成立。
满秩假设不成立：当矩阵X的列数大于矩阵X的行数时，满秩假设不成立。

满秩假设的优势：

可估计性：满秩假设保证了线性回归模型中参数的可估计性，即可以通过最小二乘估计方法得到唯一的参数估计值。
稳定性：满秩假设使得参数估计值具有较好的稳定性，能够更好地反映变量之间的关系。

满秩假设的应用场景：满秩假设在线性回归模型中广泛应用，特别是在统计学、经济学、金融学等领域中的数据分析和预测建模中。

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最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。误差的平它通过最小化方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。...最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。...---- 上数值分析课的时候像是发现了新大陆，“最小二乘”不光是在解“矛盾方程”使用，在机器学习中也有使用，例如“线性回归”问题就是利用最小二乘的思想实现。...求b的分子和分母 ---- ? 3. 求出a,b ---- ? 4. 画出原始数据集，和求出的拟合曲线 ---- ? 5. 进行类的封装 ---- ? 6. 数据测试去，求出预测结果 ---- ?

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《机器学习》笔记-线性模型（3）

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p=11386 在这篇文章中，我将从一个基本的线性模型开始，然后从那里尝试找到一个更合适的线性模型。...作为基准模型，我们将使用普通的最小二乘（OLS）模型。...由于残差不是真正的正态分布，因此线性模型不是最佳模型。实际上，残差似乎遵循某种形式的泊松分布。为了找出最小二乘模型的拟合对离群值如此之差的原因，我们再来看一下数据。...处理负面的臭氧水平预测让我们首先处理预测负臭氧水平的问题。截短的最小二乘模型处理负面预测的一种简单方法是将其替换为尽可能小的值。这样，如果我们将模型交给客户，他就不会开始怀疑模型有问题。...[testset]) 的 [R2[R2值0.616表示泊松回归比普通最小二乘（0.604）稍好。

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最小二乘矩阵求解与正则化，最小二乘是最常用的线性参数估计方法，早在高斯的年代，就用开对平面上的点拟合线，对高维空间的点拟合超平面。?...作为最小二乘代价函数的改进式中则称为正则化参数 (regularization...Tikhonov 正则化在信号处理和图像处理中有时也称为松弛法(relaxation method)Tikhonov 正则化的本质是通过对非满秩的矩阵A的协方差矩阵的每一个对角元素加入一个很小的扰动...使得奇异的协方差矩阵求逆变为非奇异矩阵的求逆，从而大大改善求解非满秩矩阵的数值稳定性也就是降低cond条件数的大小。...其实这两个公式可以合并，本身就带有符号属性，当取得正值的时候是对矩阵的约束，迫使原来的对角协方差元素减少，取得负值的时候就是分离残差.取0的时候就是普通最小二乘。

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5、混合方法：组合评价法二、插值和拟合（数值计算方法） 1、插值 1.1、牛顿插值 1.2、拉格朗日插值 1.3、埃米尔特插值 1.4、样条插值 2、拟合 2.1最小二乘拟合 2.2最佳逼近（...多数情况下, 基于秩的估计量适用于小规模的数据集以及特定的假设检验。...（小样本）四、回归（参考：超级干货：一文读懂回归分析） 1、线性回归、局部加权线性回归 2、多元回归（估计方法的分为普通、广义最小二乘法，广义允许在误差项存在异方差或自相关，注意拟合优度指标...共线性的存在会使得回归系数的最小二乘估计量误差较大。通过方差膨胀因子(Variance inflation factor)和容忍度(tolerance)来诊断多重共线性,VIF和容忍度两者互为倒数。...4、岭回归（加入L2正则线性回归，在一般的线性回归最小化均方误差的基础上增加了一个参数w的L2范数的罚项，从而最小化罚项残差平方和，即在普通线性回归的基础上引入单位矩阵。）

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8种用Python实现线性回归的方法，究竟哪个方法最高效？

这个强大的函数来自scipy.optimize模块，可以通过最小二乘最小化将任意的用户自定义函数拟合到数据集上。对于简单的线性回归来说，可以只写一个线性的mx + c函数并调用这个估计函数。...不言而喻，它也适用于多元回归，并返回最小二乘度量最小的函数参数数组以及协方差矩阵。方法四：numpy.linalg.lstsq 这是通过矩阵分解计算线性方程组的最小二乘解的基本方法。...如果a是方阵且满秩，则x（四舍五入）是方程的“精确”解。你可以使用这个方法做一元或多元线性回归来得到计算的系数和残差。一个小诀窍是，在调用函数之前必须在x数据后加一列1来计算截距项。...每个估计对应一个泛结果列表。可根据现有的统计包进行测试，从而确保统计结果的正确性。对于线性回归，可以使用该包中的OLS或一般最小二乘函数来获得估计过程中的完整的统计信息。...方法六和七：使用矩阵的逆求解析解对于条件良好的线性回归问题（其中，至少满足数据点个数>特征数量），系数求解等价于存在一个简单的闭式矩阵解，使得最小二乘最小化。

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矛盾方程的最小二乘解

首先看两个个结论：结论一：方程组Ax=b的最小二乘解的通式为x=Gb+(I-GA)y, 其中G\in A\{1, 3\}, y是\mathbb C^n中的任意向量....结论二：只有A是满秩时, 矛盾方程组Ax=b 的最小二乘解才是唯一的, 且为x_0=(A^HA)^{-1}A^Hb. 否则, 便有无穷多个最小二乘解....下面看一个实例：求矛盾方程组 \begin{cases}x_1+2x_2=1, \\2x_1+x_2=0, \\x_1+x_2=0\end{cases}的最小二乘解。...解：系数矩阵A=\left[\begin{matrix}1&2\\2&1\\1&1\end{matrix}\right] 为列满秩矩阵，故矛盾方程有唯一最小二乘解： A^{(1, 3)}=(A^HA)...\\kx_n+b=y_n\end{cases} 这里的k和b为变量，使用上述公式求解出k和b的值，则可以得到变量的最小二乘线性拟合方程。

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