希尔伯特曲线是以下一系列分形曲线 Hn 的极限。...我们可以把 Hn 看作一条覆盖 2n × 2n 方格矩阵的曲线，曲线上一共有 2n × 2n 个顶点(包括左下角起点和右下角终点)，恰好覆盖每个方格一次。 ?...用3条单位线段把4部分连接起来 对于 Hn 上每一个顶点 p ，我们定义 p 的坐标是它覆盖的小方格在矩阵中的坐标，定义 p 的序号是它在曲线上从起点开始数第几个顶点。...n 是分形曲线的阶数，(x, y)是 p 的坐标。 1 ≤ n ≤ 30 1 ≤ x, y ≤ 2n 输出 p 的序号。...样例输入 4 6 1 样例输出 20 题解：这一题理解起来很难，如果学过Hilbert曲线应该会好点。左下角p的序号为1，从此开始沿着曲线经过方格的p的序号依次增加1. 例如： ?
希尔伯特曲线是一条填满整个平面的神奇曲线，可以理解为一种线段和正方形平面的一一映射，本文记录相关内容。...希尔伯特曲线的独特之处在于它具有无限长度，但能以有限的空间覆盖整个平面。因此，希尔伯特曲线广泛应用于计算机科学、物理学、遥感、生物信息学等领域，用于分形分析、地图制作、信号处理等方面。...希尔伯特曲线一种能填充满一个平面正方形的分形曲线（空间填充曲线）。由于它能填满平面，它的豪斯多夫维是2。取它填充的正方形的边长为1，第 n 步的希尔伯特曲线的长度是 2^n - 2^{-n}。...4 个上一阶的希尔伯特曲线首尾相连。...四等分生成上一阶曲线 第三第四象限对角线翻转 添加三条线段 把 4 个上一阶的希尔伯特曲线首尾相连 这样就生成了下一阶希尔伯特曲线，以此类推，可以在 1\times1 内生成无限阶希尔伯特曲线填满空间
现在想求四叉树上黄色的点的希尔伯特曲线邻居。图中黑色的线就是一颗穿过四叉树的希尔伯特曲线。希尔伯特曲线的起点0在左上角的方格中，终点63在右上角的方格中。...那么怎么求四叉树上任意一点的希尔伯特曲线邻居呢？ 一....这里需要把希尔伯特曲线上的点转换成坐标以后才能按照上面的思路来计算边邻居。 关于 CellID 的生成与数据结构，见笔者这篇《Google S2 中的 CellID 是如何生成的 ？》...如何在四叉树上如何求希尔伯特曲线的邻居 ？经过前文的一些铺垫，再来看这个问题，也许读者心里已经明白该怎么做了。...Google S2 中的四叉树求 LCA 最近公共祖先 神奇的德布鲁因序列 四叉树上如何求希尔伯特曲线的邻居 ？
空间填充曲线索引 常用的空间索引曲线有z曲线、希尔伯特曲线，其目的是在空间网格的基础上降低空间维度，以便于在顺序读取的磁盘上存取信息。...空间填充曲线(space-filling curve)是一条连续曲线，自身没有任何交叉；通过访问所有单元格来填充包含均匀网格的四边形。...z曲线 希尔伯特曲线 Z曲线和Hilbert曲线共同特点： 填充曲线值临近的网格，其空间位置通常也相对临近； 任何一种空间排列都不能完全保证二维数据空间关系的维护（编号相邻，空间位置可能很远...） 不同点： Hilbert曲线的数据聚集特性更优，Z曲线的数据聚集特性较差 Hilbert曲线的映射过程较复杂，Z曲线的映射过程较简单 z曲线实现： Z-curve曲线的二维坐标与Z值的相互转换： 基于...in the position is 1 if (value & mask) // Do bit shuffling coor[1-i] |= 1 << j; } } } 希尔伯特曲线实现
一年后，即1891年，希尔伯特就作出了这条曲线，叫希尔伯特曲线（Hilbert curve）。 上图就是1-6阶的希尔伯特曲线。具体构造方式在下一章再说。 上图是希尔伯特曲线填充满3维空间。...希尔伯特曲线的定义 希尔伯特曲线一种能填充满一个平面正方形的分形曲线（空间填充曲线），由大卫·希尔伯特在1891年提出。 由于它能填满平面，它的豪斯多夫维是2。...三阶的希尔伯特曲线，生成方法就是与二阶类似，先生成二阶希尔伯特曲线。然后把4个二阶的希尔伯特曲线首尾相连。...n阶的希尔伯特曲线的生成方法也是递归的，先生成n-1阶的希尔伯特曲线，然后把4个n-1阶的希尔伯特曲线首尾相连。 3....为何要选希尔伯特曲线 看到这里可能就有读者有疑问了，这么多空间填充曲线，为何要选希尔伯特曲线？ 因为希尔伯特曲线有非常好的特性。
注意： i，j 并不是直接对应的 希尔伯特曲线 坐标系上的坐标。因为初始化需要生成的是五阶希尔伯特曲线。...在 posToIJ 数组表示的一阶希尔伯特曲线，所以 i，j 才直接对应的 希尔伯特曲线 坐标系上的坐标。 读者到这里就会疑问了，那是什么参数对应的是希尔伯特曲线坐标系上的坐标呢？...由于 pos 是4个小方块组成的大方块，它本身就是一个一阶的希尔伯特曲线。所以初始化需要生成一个五阶的希尔伯特曲线。 ? 上图是一阶的希尔伯特曲线。是由4个小方格组成的。 ?...上图是二阶的希尔伯特曲线，是由4个 pos 方格组成的。 ? 上图是三阶的希尔伯特曲线。 ? 上图是四阶的希尔伯特曲线。 ? 上图是五阶的希尔伯特曲线。pos 方格总共有1024个。...至此已经说清楚了希尔伯特曲线的方向和在 Google S2 中生成希尔伯特曲线的阶数，五阶希尔伯特曲线。
一年后，即1891年，希尔伯特就作出了这条曲线，叫希尔伯特曲线（Hilbert curve）。 ? 上图就是1-6阶的希尔伯特曲线。具体构造方式在下一章再说。 ? 上图是希尔伯特曲线填充满3维空间。...接下来继续来说多维空间点索引算法，下面一个算法的理论基础来自希尔伯特曲线，先来仔细说说希尔伯特曲线。 三. Hilbert Curve 希尔伯特曲线 1. 希尔伯特曲线的定义 ?...三阶的希尔伯特曲线，生成方法就是与二阶类似，先生成二阶希尔伯特曲线。然后把4个二阶的希尔伯特曲线首尾相连。 ?...n阶的希尔伯特曲线的生成方法也是递归的，先生成n-1阶的希尔伯特曲线，然后把4个n-1阶的希尔伯特曲线首尾相连。 ? 3....为何要选希尔伯特曲线 看到这里可能就有读者有疑问了，这么多空间填充曲线，为何要选希尔伯特曲线？ 因为希尔伯特曲线有非常好的特性。
Google S2 和 希尔伯特曲线 Google S2 库是这个领域的另一个重要参与者，和四叉树类似，它是一种内存解决方案。它基于希尔伯特曲线把球体映射到一维索引。...而 希尔伯特曲线 是一种能填充满一个平面正方形的分形曲线（空间填充曲线），由大卫·希尔伯特在1891年提出，如下 希尔伯特曲线是怎么生成的？...最简单的一阶希尔伯特曲线，先把正方形平均分成四个网格，然后从其中一个网格的正中心开始，按照方向，连接每一个网格。 二阶的希尔伯特曲线， 每个网格都先生成一阶希尔伯特曲线 ， 然后把它们首尾相连。...三阶的希尔伯特曲线 n阶的希尔伯特曲线, 实现一条线连接整个平面。 同样，希尔伯特曲线也可以填充整个三维空间。...希尔伯特曲线的一个重要特点是 降维，可以把多维空间转换成一维数组，可以通过动画看看它是如何实现的。 在一维空间上的搜索比在二维空间上的搜索效率高得多了。
评价指标系列 PR曲线 查准率和查全率 PR曲线绘制 ROC曲线 TPR和FPR ROC曲线绘制 AUC的计算 python 代码实现及注解 类别不平衡问题 PR曲线 混淆矩阵 预测...如何利用PR曲线对比性能： 如果一条曲线完全“包住”另一条曲线，则前者性能优于另一条曲线。...为横坐标绘制图像 如何利用ROC曲线对比性能： ROC曲线下的面积（AUC）作为衡量指标，面积越大，性能越好 AUC的计算 AUC就是衡量学习器优劣的一种性能指标。...PR曲线更适合度量类别不平衡问题中： 因为在PR曲线中TPR和FPR的计算都会关注TP，PR曲线对正样本更敏感。...而ROC曲线正样本和负样本一视同仁，在类别不平衡时ROC曲线往往会给出一个乐观的结果。
希尔伯特扫描 希尔伯特扫描（Hilbert Scan）来源于数学中的空间填充曲线，即希尔伯特曲线，其具体扫描方式如下： image.png 当然，此类基于空间填充曲线的扫描还有很多类型，不仅仅局限于上述形式...，比如附录中的皮亚诺曲线。
- 单曲线方法 曲线构建 - 多曲线方法 (基差) 曲线构建 - 多曲线方法 (抵押品) 产品估值理论 产品估值 - 解析法和数值积分法 (CF) 产品估值 - 偏微分方程有限差分法 (PDE-FD)...对利率基差和跨货币基差的处理方式和金融危机之前一样 由此可见，「单曲线」指的就是折现曲线和基准指标曲线是相同条线；而「多曲线」指的就是折现曲线和基准指标曲线是不同曲线。...- 单货币曲线 2.1 市场报价 2.2 方法论 第三章 - 多货币曲线 3.1 市场报价 3.2 方法论 总结 1 曲线基础知识 1.1 曲线定义 放在金融背景下，曲线是一组金融产品的市场报价...前者包含着市场信息，称为平价曲线（par curve） 后者用于折现现金流，称为收益曲线（yield curve） 而曲线构建就是如何将平价曲线通过拔靴（bootstrap）技巧转化成收益曲线的过程。...1.5 单曲线构建框架 该构建框架只需两个步骤就可以生成所有曲线： 在单曲线环境下，构建曲线分两步： 在各国利率市场中，收集存款、利率期货、远期利率协议和利率掉期的报价，构建出为各国货币利率产品的折现曲线
曲线积分，顾名思义，就是沿着一条曲线进行的积分。与我们常见的定积分（在一段区间上积分）不同，曲线积分的积分路径是一条曲线。 在物理学中，很多问题都可以转化为曲线积分。...例如，计算一个力沿一条路径所做的功，计算一个向量场沿一条曲线的环量等等。曲线积分可以用来计算曲线的长度、曲面面积等几何量。 第一型曲线积分: 计算一根非均匀密度细杆的总质量。...根据被积函数的不同，曲线积分可以分为两类： 第一型曲线积分: 其中，C为积分路径，f(x,y)为被积函数，ds为曲线C上的弧长微元。 被积函数为一个标量函数（即一个数值函数）。...∫_C F(x,y)·dr C为积分路径，F(x,y)为向量场，dr为曲线C上的微元向量，·表示向量点积。 参数方程法: 将曲线C用参数方程表示，然后将曲线积分转化为定积分。...格林公式: 对于闭合曲线上的第二型曲线积分，可以利用格林公式将其转化为二重积分。 格林公式告诉我们，在一定条件下，我们可以将一个闭合曲线的线积分转化为一个平面区域的二重积分。
上一期简单聊了聊ROC曲线的绘制方法。可以很明显看出来，有了GraphPad的帮助，绘图是非常简单的。 回顾：【ROC曲线专栏】如何快速绘制ROC曲线？...ROC曲线的难点并不在于绘制，而是数据整理和曲线解读。尤其是解读ROC曲线后，如何用于指导现实。这才是最难的。...上期提到，就临床研究而言，ROC曲线非常适用于评价不同诊断标准对相同目标的诊断敏感度和准确性。 ? 现在，开发新型诊断标志物挺火。我就拿这个作为一个简单的例子，对ROC曲线进行解读。...从上图可以看出，曲线B整体位于曲线A之下，且曲线B更挺近X轴。Y轴代表的是敏感性，而X轴则代表的是假阳性率。...因为这个阈值直接关系到敏感度和准确度数值，当然也就决定着ROC曲线的走势了。建议在适当范围内调整一下阈值，可能ROC曲线会更加明确。 第二，这种交叉式曲线需要结合临床具体情况进行分析。
曲线折叠 clear ; close all; %正常绘图 x=0:0.005:5; y=exp(-6*x).*sin(x*40)*6+exp(5*x)*5e-11....+2'); xlim([0 5]); end drawnow; cutout(a(2),1,4,0.2); %将a(2)的1到4部分折叠为长度0.2的虚线段 title('After'); 折叠曲线的函数
关键词 随机森林分类器 5折交叉验证 ROC曲线 AUC 可视化 import matplotlib.pylab as plt from scipy import interp from sklearn.ensemble...RandomForestClassifier(random_state=random_state) cv = StratifiedKFold(n_splits=,shuffle=False) 在ROC曲线中...，x轴是假阳性率，y轴是真阳性率 如果曲线图中的曲线靠近左上角则测试更准确。...Roc曲线得分高低取决于auc，即预测得分曲线下的计算区域 我们希望auc越接近于1，这代表预测结果越精确 fig1 = plt.figure(figsize=[,]) ax1 = fig1.add_subplot
什么是第二曲线？ 第二曲线=第一曲线小尺度的创新+市场选择,相当于进化论中原有物种的变异、通过自然选择成为了新物种。...从S型曲线理论，我们得出一个S型曲线最终会经历极限点而衰落，而对于公司，如果想长期生存下去的唯一方式就是赶在第一曲线逐渐消失之前，开始一条新的S型曲线。也就所谓的第二曲线。...中国最新的数据中小企业的平均寿命仅2.5年（第一曲线未做起来），集团企业的平均寿命仅7到8年（未能开启第二曲线）。 为什么第二曲线这么难开启？ 因为在大多数情况下，前后两条曲线之间是互斥的。...你想发展第二曲线，势必会影响第一曲线的发展。所以选择什么时候开启第二曲线很重要。早了影响第一曲线的增长，晚了第二曲线没时间成长。很可能被别的企业给颠覆掉。...最后给出一个结论：企业想要长期存在，只有2种方式 第一：尽量延长第一曲线的生命。 第二：第一曲线到达极限点之前启动独立的第二曲线。
此时，ROC曲线就派上用场了。 ROC曲线全称receiver operating characteristic curve，又称作感受性曲线（sensitivity curve）。...随后采用这些数据绘制ROC曲线图（横坐标为假阳性率，纵坐标为敏感度）。通过比较ROC曲线特征和曲线下面积，就可以比较A、B、C三种诊断方法了。...ROC曲线的使用方法大致就是如此，大家可以根据具体情况类推。ROC曲线的详细解读将放在后面几期中进行。 老规矩，先说怎么绘制单个的ROC曲线图。...曲线下面积AUC为0.9467。 ? （5）点击左侧的Graph，选择ROC curve: ROC of data A。可以看到曲线已经出来了，但是不太美观，下面对其进行美化。 ?...（6）打双击图中的曲线，在弹窗中如下选择。下面红框中可修改点和曲线的样式、色彩、大小。调整至合适状态即可。（也可取消show symbols，只保留曲线） ?
二分类的性能指标：PR曲线、ROC曲线、AUC的基本相关概念PR 曲线PR曲线实则是以precision（精准率）和recall（召回率）这两个变量而做出的曲线，其中recall为横坐标，precision...如果一个学习器的P-R曲线被另一个学习器的P-R曲线完全包住，则可断言后者的性能优于前者。 我们还可以根据曲线下方的面积大小来进行比较，但更常用的是平衡点或者是F1值。...（Receiver Operating Characteristic） 受试者工作特征曲线ROC曲线实则是以假正例率 （FPR）和 真正例率（TPR）这两个为变量而做出的曲线，其中 FPR 为横坐标，...通过不断调整阈值，就得到若干个点，从而画出一条曲线。为什么使用ROC曲线ROC有一个很好的特性，当测试集中的正负样本分布变化时，ROC曲线能够保持不变。...ROC曲线能直观体现分类器的性能，但是需要一个数值，直接判定分类器的性能好坏。
---- 在学习机器学习的同学如果对SVM中的核函数进行深究，一定会见到再生核希尔伯特空间（RKHS）这个概念，其他理工科的同学往往也会在书中遇到希尔伯特空间这样的字眼，还有什么巴拿赫空间、赋范线性空间等等...希尔伯特空间 终于迎来了我们今天的主角，希尔伯特空间就是完备的内积空间。 到了这里，我们来捋一捋这些概念的关系。...那么希尔伯特空间的应用场景呢，希尔伯特空间中的元素一般是函数，因为一个函数可以视为一个无穷维的向量。如果大家熟悉傅里叶变换或者泰勒展开，便能自然的想到这个空间的基底是什么。...再生核希尔伯特空间 支持向量机的核技巧（kernel trick），涉及到再生核希尔伯特空间的概率。 核技巧将不能线性可分的数据集映射到高维空间，使其变得线性可分。...关键大家容易不理解的是再生核希尔伯特空间和这个核技巧的关系。
运行结果 心形曲线函数 x 2 + ( y − x 2 3 ) 2 = 1 x^2+(y-\sqrt[3]{x^2})^2=1 x2+(y−3x2 )2=1 将原函数变形：...\sqrt[3]{x^2}\pm\sqrt{1-x^2} y=3x2 ±1−x2 实现思路： 显然，x的值域为：[-1,1] 在值域内取适当个x的值，并求出相应y的值，用描点法绘制曲线
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