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对于同一双连通分量中的任何顶点A和B以及边E，总是可能有一条从A到B的简单路径通过E吗？

对于同一双连通分量中的任何顶点A和B以及边E，总是可能有一条从A到B的简单路径通过E。

在图论中，双连通分量是指一个无向图中的一个子图，该子图中的任意两个顶点都存在至少两条互不相交的路径。简单路径是指不经过重复顶点的路径。

在同一双连通分量中，由于任意两个顶点之间都存在至少两条互不相交的路径，因此总是可以找到一条从顶点A到顶点B的简单路径。这条路径可能会经过边E，也可能不经过边E，取决于具体的图结构和顶点之间的连接关系。

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每周学点大数据 | No.14 图论基础回顾

图的例子 比如在上面的图G(V,E)中： V={A,B,C,D,E} E={(A,E),(A,D),(A,C),(B,E),(B,D),(B,C),(D,C),(D,E)} 整体上图可以分为两种：有向图和无向图...如果从一个顶点u到另一个顶点v中间途经数个顶点w1,w2,w3,…，并且这些顶点之间的边都存在的话，我们称是一条路径。 小可：嗯，这在现实中也是非常普遍存在的。...王：我们定义路径的长度，为途经的边的个数。如果中间的那些顶点w1,w2,w3,…没有重复的，我们称之为简单路径。如果u和v是同一个顶点，并且至少经过一条边的话，我们称这条路径是一个回路。...小可若有所思，说：如果u本身有一条边指向自己，就是有一个圈，这样也是回路吗？ Mr. 王：虽然没有经过任何一个其他顶点，但是中间经过了一条边，它也是一条回路。...相应的，如果回路中没有出现重复的顶点，这就是一条简单回路。 Mr. 王：另外，在无向图中，如果每两个顶点之间都有一条路径，我们称它是连通图。 小可：这样每个顶点就都连在一起了，整个图是连通的。

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基础算法 | 关于图论中最小生成树(Minimum Spanning Tree)那些不可告人的秘密

②对所有u∈U，v∈(V – U)（其中u,v表示顶点）的边(u,v)中，找一条权值最小的边(u’,v’)，将这条边加入到集合T中，将顶点v’加入集合U中。...U={a,b,c,d} ，V={e }，T={, ,} ? ⑸最后集合U和V中相关联的权值最小的边是，于是将e加入U。...这里简单提一提连通分量 在无向图中，如果从顶点vi到顶点vj有路径，则称vi和vj连通。如果图中任意两个顶点之间都连通，则称该图为连通图，否则，将其中较大的连通子图称为连通分量。...在有向图中，如果对于每一对顶点vi和vj，从vi到vj和从vj到vi都有路径，则称该图为强连通图；否则，将其中的极大连通子图称为强连通分量。...我们选边的标准是这样的：若边上的两个顶点从属于两个不同的连通分量，则此边可取，否则考察下一条权值最小的边。 于是问题又来了，如何判断两个顶点是否属于同一个连通分量呢？这个可以参照并查集的做法解决。

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    • 数据结构：图

    连通、连通图、连通分量：在无向图中，若从顶点v到顶点w有路径存在，则称为v和w是连通的。若图G中任意两个顶点都是连通的，则称为图G为连通图，否则称为非连通图。无向图中的极大连通子图称为连通分量。...如果一个图有n个顶点，并且有小于n-1条边，则此图必是非连通图。 强连通图、强连通分量：在有向图中，若从顶点v到顶点w和从顶点w到顶点v之间都有路径，则称这两个顶点是强连通的。...若图中顶点数为n，则它的生成树含有n-1条边。对于生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会变成一个回路。在非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林。...这意味着对于生成树来说，若砍去它的一条边，就会使生成树变成非连通图若给它增加一条边，就会形成图中的一条回路。 假设G=(V， E)是一个带权连通无向图，U是顶点集V的一个空子集。...每个顶点出现且只出现一次 若顶点A在序列中排在顶点B前面，则在图中不存从顶点B到顶点A的路径 或者定义为：拓扑排序是对有向无环图的顶点的一种排序，它使得如果存在一条从顶点A到顶点B的路径，那么在排序中顶点

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    图的定义与术语的详细总结

    2.4 有向图：图中任意两个顶点之间的边都是有向边，则称图为有向图。 如下图所示： 从A到B的边就是有向边（弧），A是弧尾 B是弧头。表示弧。...通过以上面的图，我们可以不难发现各个顶点的度之和=所以边数之和*2 3.2 对于有向图G=（v,{E}），如果弧属于E，则称则顶点v邻接到顶点v1，顶点v1邻接自顶点v。...连通图的基本概念 4.1连通图：在无向图中，如果从顶点v到顶点v1有路径，则称为v和v1是连通的。如果图中任意两个顶点vi,vj 属于E，vi和vj都是连通的。则称图G是连通图。...V，vi不等于vj，从vi到vj和从vj到vi都存在路径，则G是强连通图....有向图的极大强连通子图称为有向图的强连通分量。 上面这个图就不是强连通图，因为在A和D之间，D到A就没有路径。 此图就是强连通图，它是上一个图的极大强连通子图，即是它的强连通分量。

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    普林斯顿算法讲义（三）

    对于每个子句 x + y，从 y’到 x 和从 x’到 y 包括边缘。声明：如果没有变量 x 与其否定 x’在同一个强连通分量中，则公式是可满足的。...要了解如何做到这一点，请注意存在一条从 w 到 v 的有向路径 P，因为 v 和 w 在同一个强连通分量中。...在 G 中找到一个完美匹配；将匹配中的边从双分区的一侧定向到另一侧；将剩余的边定向到相反方向；在不在完美匹配中的边中，返回那些端点在不同强连通分量中的边。 有向图的传递闭包。...从一个顶点到另一个顶点可能有多条最低权重的路径；我们满足于找到其中任何一条。 并行边和自环可能存在。...计算从 s 到每个其他顶点的最短路径；计算从每个顶点到 t 的最短路径。对于每条边 e = (v, w)，计算从 s 到 v 的最短路径长度和从 w 到 t 的最短路径长度的和。

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    数据结构 第六章 图

    简单图：在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现。 数据结构中讨论的都是简单图。...2.1.若被考察的边的两个顶点属于T的两个不同的连通分量，则将此边作为最小生成树的边加入到T中，同时把两个连通分量连接为一个连通分量； 2.2.若被考察边的两个顶点属于同一个连通分量，则舍去此边，以免造成回路...当一个结点n的parent==-1，树的根节点即为n） 如何将一条边所依附的两个顶点合并到同一个连通分量中 要进行联通分量的合并 ，其中一个顶点所在的树的根节点为vex1，另一个顶点所在的树的根节点为...下一条路径长度次短的最短路径的特点： 它只可能有两种情况： 或者是直接从源点到该点(只含一条边)； 或者是从源点经过顶点v1（第一条最短路径所依附的顶点），再到达该顶点(由两条边组成)。...再下一条路径长度次短的最短路径的特点: 它可能有四种情况：或者是直接从源点到该点(只含一条边)； 或者从源点经过顶点v1，再到达该顶点(由两条边组成)；或者是从源点经过顶点v2，再到达该顶点（两条条边

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    最小生成树算法：Kruskal 与 Prim算法

    最小生成树 连通图中的每一棵生成树，都是原图的一个极大无环子图，即：从其中删去任何一条边，生成树就不再连通；反之，在其中引入任何一条新边，都会形成一条回路。...Ⅱ、Kruskal算法 任给一个有 n 个顶点的连通网络 N={V,E}， 首先构造一个由这 n 个顶点组成、不含任何边的图 G={V,NULL}，其中每个顶点自成一个连通分量， 其次不断从 E 中取出权值最小的一条边...( 若有多条任取其一 ) ，若该边的两个顶点来自不同的连通分量，则将此边加入到 G 中。...如此重复，直到所有顶点在同一个连通分量上为止。 核心：每次迭代时，选出一条具有最小权值，且两端点不在同一连通分量上的边，加入生成树。...但是贪心的方式和 Kruskal 完全不同。prim 算法的核心信仰是：从已知扩散寻找最小。它的实现方式和 Dijkstra算法相似但稍微有所区别，Dijkstra 是求单源最短路径。

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    【算法】关于图论中的最小生成树(Minimum Spanning Tree)详解

    ②对所有u∈U，v∈(V – U)（其中u,v表示顶点）的边(u,v)中，找一条权值最小的边(u’,v’)，将这条边加入到集合T中，将顶点v’加入集合U中。...最终的图是这样的 [1240] 算法逻辑很容易理解，但用代码判断当前边是否会引起环的出现则很棘手。这里简单提一提连通分量 在无向图中，如果从顶点vi到顶点vj有路径，则称vi和vj连通。...在有向图中，如果对于每一对顶点vi和vj，从vi到vj和从vj到vi都有路径，则称该图为强连通图；否则，将其中的极大连通子图称为强连通分量。...我们选边的标准是这样的：若边上的两个顶点从属于两个不同的连通分量，则此边可取，否则考察下一条权值最小的边。 于是问题又来了，如何判断两个顶点是否属于同一个连通分量呢？这个可以参照并查集的做法解决。...它的思路是：如果两个顶点的根节点是一样的，则显然是属于同一个连通分量。这也同样暗示着：在加入新边时，要更新父节点。

    7.3K01

    PHP数据结构-图的概念和存储结构

    关于图的比较正式的官方定义是： 图（Graph）G 由两个集合 V 和 E 组成，记为 G=(V, E) ，其中 V 是顶点的有穷非空集合，E 是 V 中顶点的有穷集合，这些顶点偶对称为边。...对于 有向图 来说，虽说边是有方向的，当然我们也可以定义一个来回的方向，比如 和 ，在有向图中我们就要画上两个相反方向的箭头表示可以从1到2也可以从2到1。...(7) 路径和路径长度：从某一个顶点到另一个顶点所经过的所有顶点就是路径。如果是有向图，那么它的路径就是按照箭头的方向。...路径长度就是一条路径上经过的边或孤的数量 (8) 回路或环：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环 (9) 连通、连通图和连通分量：如果某两个结点之间是有路径的，就称这两个结点是连通的。...其实就是通过一条路径，能够让图中所有的结点串联起来。

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    图的基本概念以及DFS与BFS算法

    在 无向图中，顶点对 (x, y) 是无序的，顶点对 (x,y) 称为顶点 x 和顶点 y 相关联的一条边，这条边没有特定方向， (x, y) 和 (y ， x) 是同一条边，比如下图G1和G2为无向图...邻接顶点：在无向图中 G 中，若 (u, v) 是 E(G) 中的一条边，则称 u 和 v 互为邻接顶点，并称边 (u,v) 依附于顶点 u 和 v；在有向图 G 中，若 是 E(G) 中的一条边...路径：在图G = (V， E)中，若从顶点 vi 出发有一组边使其可到达顶点 vj ，则称顶点 vi 到顶点 vj 的顶点序列为从顶点 vi 到顶点 vj 的路径。...路径长度：对于不带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上的边的条数；对于带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上各个边权值的总和。...强连通图：在有向图中，若在每一对顶点 vi 和 vj 之间都存在一条从 vi 到 vj 的路径，也存在一条从 vj 到 vi 的路径，则称此图是强连通图。

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    8-1 图结构

    重要结论： 无论是有向图还是无向图，顶点数n、边数e、和度数之间有关系：所有顶点的度数之和 等于 边数的2倍 ④路径和回路： 从一个顶点到另一顶点途径的所有顶点组成的序列（包含这两个顶点），称为一条路径...若路径 / 回路 中各顶点都不重复，此路径又被称为"简单路径" / "简单回路" ⑤权和网的含义 图中的每条边（或弧）会赋予一个实数来表示一定的含义，这种与边（或弧）相匹配的实数被称为"权"， 而带权的图通常称为网...③连通图 在无向图中，若每一对顶点 u和v之间都能找到一条路径，则此图称为 连通图； 若无向图不是连通图，但图中存储某个子图符合连通图的性质，则称该子图为连通分量。...（这里的子图指的是图中"最大"的连通子图） 在有向图中，若每一对顶点u和v之间都存在 u到v 以及 从 v到u的路径，则成为强连通图。...连通图中的生成树必须满足以下 2 个条件： ●包含连通图中所有的顶点； ●任意两顶点之间有且仅有一条通路； 因此，连通图的生成树具有这样的特征，即生成树中边的数量 = 顶点数 - 1。

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    并查集数据结构及其实例-- day15

    添加的边的两个顶点包含在 1 到 n 中间，且这条附加的边不属于树中已存在的边。...这道题中的图在树的基础上多了一条边，因此边的数量也是 n。 树是一个连通且无环的无向图，在树中多了一条边之后就会出现环，因此多余的边即为导致环出现的边。 可以通过并查集寻找多余的边。...初始时，每个节点都属于不同的连通分量。遍历每一条边，判断这条边连接的两个顶点是否属于相同的连通分量。...如果两个顶点属于不同的连通分量，则说明在遍历到当前的边之前，这两个顶点之间不连通，因此当前的边不会导致环出现，合并这两个顶点的连通分量。...如果两个顶点属于相同的连通分量，则说明在遍历到当前的边之前，这两个顶点之间已经连通，因此当前的边导致环出现，为多余的边，将当前的边作为答案返回。

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    文心一言 VS 讯飞星火 VS chatgpt （281）-- 算法导论20.4 2题

    初始化：为每个顶点创建一个单独的集合（连通分量）。 2. 遍历图的每一条边： • 对于每条边(u, v)，如果u和v不在同一个集合中，则将它们合并到同一个集合中。...它包含了初始化、查找、合并和检查两个顶点是否在同一连通分量中的功能。 讯飞星火： 在图论中，连通分量是图中的一个子图，其中任何两个顶点都通过路径相连。...由于所有边都已经被处理，这意味着从任何一个顶点到另一个顶点都可以通过这些边到达，因此它们在同一个连通分量中。 • 反向证明：如果两个顶点在同一个连通分量中，那么它们之间至少有一条路径。...根据UNION-FIND算法的性质，这意味着存在一条从u到v的路径，所有这些顶点都在同一个集合中。因此，u和v在同一个连通分量中。...(2) 必要性：如果两个顶点在同一个连通分量中，那么它们在同一个集合中。 证明：假设顶点u和顶点v在同一个连通分量中。根据连通分量的定义，存在一条从u到v的路径。

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    文心一言 VS 讯飞星火 VS chatgpt （325）-- 算法导论22.5 1题

    如果新边连接的一个顶点已经在一个强连通分量中，而另一个顶点不属于任何强连通分量，那么强连通分量的数量不变，但是原来的强连通分量会变大。 4....如果新边连接的两个顶点都不在任何强连通分量中，并且它们也不构成一个强连通分量（即它们之间没有其他路径相连），那么强连通分量的数量会增加1。...当在有向图G中加入一条新的边时，强连通分量的数量可能会减少，也可能不变，具体取决于这条边连接的两个顶点是否已经在同一个强连通分量中。...kimi： 在图论中，一个图G的强连通分量是指图中的一个最大子图，在这个子图中，任意两个顶点之间都存在有向路径。如果向图G中添加一条新的边，强连通分量的数量可能会有以下几种变化： 1....在实际应用中，你可能需要根据具体情况调整代码。 混元： 在图G中加入一条新的边后，强连通分量（SCC）的数量可能会发生变化，具体取决于新边的起点和终点以及它们在原图中的连接情况。

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    《大话数据结构》总结第一章 绪论第二章 算法第三章 线性表第四章 栈和队列第五章 字符串第六章 树第七章 图第八章 查找第九章 排序

    如果图中任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图（Directed graphs）。 简单图——在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图。...除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简单环。 在无向图G中，如果从顶点v到顶点v'有路径，则称v和v'是连通的。...在有向图G中，如果对于每一对vi、vj∈V、vi≠vj，从vi到vj和从vj到vi都存在路径，则称G是强连通图。有向图中的极大强连通子图称做有向图的强连通分量。...在E中选择代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上，则将此边加入到T中，否则舍去此边而选择下一条代价最小的边。依次类推，直至T中所有顶点都在同一连通分量上为止。...拓扑序列：设G=(V,E)是一个具有n个顶点的有向图，V中的顶点序列v1，v2，……，vn，满足若从顶点vi到vj有一条路径，则在顶点序列中顶点vi必在顶点vj之前。

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    数据结构学习笔记（图）

    *无向边用小括号“（）”表示，而有向边则用尖括号“”表示。 4.在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图。...强调： *要是子图； *子图要是连通的； *连通子图含有极大顶点数； *具有极大顶点数的连通子图包含依附于这些顶点的所有边。 2.从Vi到Vj和从Vi到Vj都存在路径，则称G是强连通图。...从图中某个顶点v出发，访问此顶点，然后从v的未访问的邻接点出发深度优先遍历图，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。 对于非连通图，只需要对它的连通分量分别进行深度优先遍历。...在E中选择代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上，则将次变加入到T中，否则舍去此边而选择下一条代价最小的边。依次类推，直至T中所有顶点都在同一连通分量上为止。...设G={V,E}是一个具有n个顶点的有向图，V中的顶点序列V1，V2，......,Vn,满足若从顶点Vi到Vj有一条路径，则在顶点序列中顶点Vi必在顶点Vj之前。

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    文心一言 VS 讯飞星火 VS chatgpt （330）-- 算法导论22.5 6题

    • 如果原图 G 中的某个强连通分量 C_1 包含节点 u，且从 u 有一条边到达另一个强连通分量 C_2 中的节点 v，则在分量图中添加一条从 C_1 到 C_2 的边。 3....• 对于分量图中的每条边 (C_1, C_2)，在 G' 中添加一条从 C_1 的代表到 C_2 的代表的边。...构建分量图： • 为每个强连通分量分配一个唯一的标识符或节点。 • 对于G中的每条边(u, v)，如果u和v属于不同的强连通分量，那么在分量图中添加一条从u的标识符到v的标识符的边。 3....对于原始图中的每条边(u,v)，若边所连接的两个顶点属于不同的强连通分量，则在G'中添加一条边从源强连通分量指向目标强连通分量。...对于原图 G 中的每条边 (u, v)，如果 u 和 v 属于不同的强连通分量，则在 G' 中添加一条从代表 u 的顶点到代表 v 的顶点的边。

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    重学数据结构（七、图）

    对于图G ,若边集E(G)为有向边的集合，则称该图为有向图；若边集E(G)为无向边的集合，则称该图为无向图。 图2：无向图（a）和有向图（b） ?...也称作一条弧，则 x为弧尾， y为弧头。 在无向图中，顶点对是无序的，它称为从顶点 x与顶点y相关联的一条边。这条边没有特定的方向，（x,y） 和 （y,x）是同一条边。...回路或环：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环。 简单路径、 简单回路或简单环：序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。...除了第一个顶点和最后一个顶点之外， 其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简单环。 连通、连通图和连通分量：在无向图 G 中，如果从顶点 v 到顶点 v'有路径，则称 v 和 v'是连通的。...强连通图和强连通分量：在有向图 G 中，如果对于每一对 Vi, Vj \in V,Vi \not= Vj, 从 Vi到 Vj和 从 Vj 到Vi都存在路径，则称G是强连通图。

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    图（graph） 原

    对于有向图路径也是有向的，路径的方向只能是从起点到终点，且与它经过的每一条边的方向一致。 路径上的边或弧的数目称之为该路径的长度。 除始点和终点外，其他各顶点均不同的路径称之为简单路径。...从一个顶点出发又回到该顶点，则所经过的路径称为回路。 始点和终点相同的简单路径称之为简单回路。 在无向图中，从一个顶点到另一个顶点之间有路径，则称这两个顶点是连通的。...按照长度递增的顺序依次选择E中的边（u,v），如果该边断点u、v分别是当前T的两个连通分量T1、T2中的顶点，则将该边加入到T中，T1、T2也由此边连接成一格连通分量；如果u、v是当前同一个连通分量中的顶点...依次类推，知道T中所有顶点都在同一连通分量上为止。从而得到G的一棵最小生成树T。 过程如下： ? 克鲁斯卡尔算法和普里姆算法产生的生成树是相同的。 不同之处： （1）边加入树的顺序不同。...1>定理 若π=(u0=s,u1,u2,… ,uk=v)是从顶点s到顶点v的最短路径，则对于任何0 ≤ i < j ≤ k，τ=(ui, ui+1, … , uj)是从顶点ui到uj的最短路径。

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    离散数学图论

    图可以被看作一个群，记号为G=(V, E)。图的顶点（vertex）之间的二元关系可以看成是E中的元素，也就是图里的边（edge）。图的边是否有序则分为有序图和无序图。...欧拉公式：对于连通平面图，e为边数，v为顶点数，r是region数，满足关系v+r-e=2。 欧拉公式往往和顶点的度结合起来问问题，要记得顶点的度之和=2e这一基本事实。...关于平面图有一些不那么好记的结论：对于连通简单平面图，如果v ≥ 3，那么满足e ≤ 3v-6。 对于连通简单平面图，它一定有一个度不超过五的点。...对于有多个连通分量的图，这个图的着色多项式就是各连通分量的着色多项式的乘积。...我们从这里开始寻找从source到sink（终点）的一条路径，找到这条路径之后获得路径这多条弧上（记得其方向性，反方向的不在路径上）的最小数字m，将路径上所有按原方向的弧的数都减去m，与此同时，将反方向的弧的数都加上

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