对于同一双连通分量中的任何顶点A和B以及边E，总是可能有一条从A到B的简单路径通过E吗？ - 腾讯云开发者社区 - 腾讯云

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每周学点大数据 | No.14 图论基础回顾

图的例子比如在上面的图G(V,E)中： V={A,B,C,D,E} E={(A,E),(A,D),(A,C),(B,E),(B,D),(B,C),(D,C),(D,E)} 整体上图可以分为两种：有向图和无向图...如果从一个顶点u到另一个顶点v中间途经数个顶点w1,w2,w3,…，并且这些顶点之间的边都存在的话，我们称是一条路径。小可：嗯，这在现实中也是非常普遍存在的。...王：我们定义路径的长度，为途经的边的个数。如果中间的那些顶点w1,w2,w3,…没有重复的，我们称之为简单路径。如果u和v是同一个顶点，并且至少经过一条边的话，我们称这条路径是一个回路。...小可若有所思，说：如果u本身有一条边指向自己，就是有一个圈，这样也是回路吗？ Mr. 王：虽然没有经过任何一个其他顶点，但是中间经过了一条边，它也是一条回路。...相应的，如果回路中没有出现重复的顶点，这就是一条简单回路。 Mr. 王：另外，在无向图中，如果每两个顶点之间都有一条路径，我们称它是连通图。小可：这样每个顶点就都连在一起了，整个图是连通的。

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基础算法 | 关于图论中最小生成树(Minimum Spanning Tree)那些不可告人的秘密

②对所有u∈U，v∈(V – U)（其中u,v表示顶点）的边(u,v)中，找一条权值最小的边(u’,v’)，将这条边加入到集合T中，将顶点v’加入集合U中。...U={a,b,c,d} ，V={e }，T={b>, b,c>,} ? ⑸最后集合U和V中相关联的权值最小的边是e>，于是将e加入U。...这里简单提一提连通分量在无向图中，如果从顶点vi到顶点vj有路径，则称vi和vj连通。如果图中任意两个顶点之间都连通，则称该图为连通图，否则，将其中较大的连通子图称为连通分量。...在有向图中，如果对于每一对顶点vi和vj，从vi到vj和从vj到vi都有路径，则称该图为强连通图；否则，将其中的极大连通子图称为强连通分量。...我们选边的标准是这样的：若边上的两个顶点从属于两个不同的连通分量，则此边可取，否则考察下一条权值最小的边。于是问题又来了，如何判断两个顶点是否属于同一个连通分量呢？这个可以参照并查集的做法解决。

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图的定义与术语的详细总结

2.4 有向图：图中任意两个顶点之间的边都是有向边，则称图为有向图。如下图所示：从A到B的边就是有向边（弧），A是弧尾 B是弧头。B>表示弧。...通过以上面的图，我们可以不难发现各个顶点的度之和=所以边数之和*2 3.2 对于有向图G=（v,{E}），如果弧属于E，则称则顶点v邻接到顶点v1，顶点v1邻接自顶点v。...连通图的基本概念 4.1连通图：在无向图中，如果从顶点v到顶点v1有路径，则称为v和v1是连通的。如果图中任意两个顶点vi,vj 属于E，vi和vj都是连通的。则称图G是连通图。...V，vi不等于vj，从vi到vj和从vj到vi都存在路径，则G是强连通图....有向图的极大强连通子图称为有向图的强连通分量。上面这个图就不是强连通图，因为在A和D之间，D到A就没有路径。此图就是强连通图，它是上一个图的极大强连通子图，即是它的强连通分量。

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普林斯顿算法讲义（三）

对于每个子句 x + y，从 y’到 x 和从 x’到 y 包括边缘。声明：如果没有变量 x 与其否定 x’在同一个强连通分量中，则公式是可满足的。...要了解如何做到这一点，请注意存在一条从 w 到 v 的有向路径 P，因为 v 和 w 在同一个强连通分量中。...在 G 中找到一个完美匹配；将匹配中的边从双分区的一侧定向到另一侧；将剩余的边定向到相反方向；在不在完美匹配中的边中，返回那些端点在不同强连通分量中的边。有向图的传递闭包。...从一个顶点到另一个顶点可能有多条最低权重的路径；我们满足于找到其中任何一条。并行边和自环可能存在。...计算从 s 到每个其他顶点的最短路径；计算从每个顶点到 t 的最短路径。对于每条边 e = (v, w)，计算从 s 到 v 的最短路径长度和从 w 到 t 的最短路径长度的和。

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数据结构：图

连通、连通图、连通分量：在无向图中，若从顶点v到顶点w有路径存在，则称为v和w是连通的。若图G中任意两个顶点都是连通的，则称为图G为连通图，否则称为非连通图。无向图中的极大连通子图称为连通分量。...如果一个图有n个顶点，并且有小于n-1条边，则此图必是非连通图。强连通图、强连通分量：在有向图中，若从顶点v到顶点w和从顶点w到顶点v之间都有路径，则称这两个顶点是强连通的。...若图中顶点数为n，则它的生成树含有n-1条边。对于生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会变成一个回路。在非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林。...这意味着对于生成树来说，若砍去它的一条边，就会使生成树变成非连通图若给它增加一条边，就会形成图中的一条回路。假设G=(V， E)是一个带权连通无向图，U是顶点集V的一个空子集。...每个顶点出现且只出现一次若顶点A在序列中排在顶点B前面，则在图中不存从顶点B到顶点A的路径或者定义为：拓扑排序是对有向无环图的顶点的一种排序，它使得如果存在一条从顶点A到顶点B的路径，那么在排序中顶点

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【c++高阶DS】最小生成树

01.最小生成树连通图中的每一棵生成树，都是原图的一个极大无环子图，即：从其中删去任何一条边，生成树就不在连通；反之，在其中引入任何一条新边，都会形成一条回路，且这些边的权值之和最小若连通图由n个顶点组成...贪心算法不是对所有的问题都能得到整体最优解 Kruskal算法任给一个有n个顶点的连通网络N={V,E}，首先构造一个由这n个顶点组成、不含任何边的图G={V,NULL}，其中每个顶点自成一个连通分量...，其次不断从E中取出权值最小的一条边(若有多条任取其一)，若该边的两个顶点来自不同的连通分量，则将此边加入到G中。...核心：每次迭代时，选出一条具有最小权值，且两端点不在同一连通分量上的边，加入生成树一个加权无向图：由顶点集 V 和边集 E 组成，边以 (u, v, w) 的形式表示，表示从 u...通过这一步，优先队列总是包含当前生成树 X 和未加入生成树的顶点 Y 之间的所有候选边。 4.

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数据结构第六章图

简单图：在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现。数据结构中讨论的都是简单图。...2.1.若被考察的边的两个顶点属于T的两个不同的连通分量，则将此边作为最小生成树的边加入到T中，同时把两个连通分量连接为一个连通分量； 2.2.若被考察边的两个顶点属于同一个连通分量，则舍去此边，以免造成回路...当一个结点n的parent==-1，树的根节点即为n）如何将一条边所依附的两个顶点合并到同一个连通分量中要进行联通分量的合并，其中一个顶点所在的树的根节点为vex1，另一个顶点所在的树的根节点为...下一条路径长度次短的最短路径的特点：它只可能有两种情况：或者是直接从源点到该点(只含一条边)；或者是从源点经过顶点v1（第一条最短路径所依附的顶点），再到达该顶点(由两条边组成)。...再下一条路径长度次短的最短路径的特点: 它可能有四种情况：或者是直接从源点到该点(只含一条边)；或者从源点经过顶点v1，再到达该顶点(由两条边组成)；或者是从源点经过顶点v2，再到达该顶点（两条条边

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数据结构的图存储结构

由于图存储结构中顶点之间的关系是用线来表示的，因此 (V1,V2) 还可以用来表示无向图中连接 V1 和 V2 的线，又称为边；同样，也可用来表示有向图中从 V1 到 V2 带方向的线，...路径和回路无论是无向图还是有向图，从一个顶点到另一顶点途径的所有顶点组成的序列（包含这两个顶点），称为一条路径。如果路径中第一个顶点和最后一个顶点相同，则此路径称为"回路"（或"环"）。...并且，若路径中各顶点都不重复，此路径又被称为"简单路径"；同样，若回路中的顶点互不重复，此回路被称为"简单回路"（或简单环）。...拿图 1 来说，从 V1 存在一条路径还可以回到 V1，此路径为 {V1,V3,V4,V1}，这是一个回路（环），而且还是一个简单回路（简单环）。在有向图中，每条路径或回路都是有方向的。...强连通图有向图中，若任意两个顶点 Vi 和 Vj，满足从 Vi 到 Vj 以及从 Vj 到 Vi 都连通，也就是都含有至少一条通路，则称此有向图为强连通图。如图 4 所示就是一个强连通图。

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最小生成树算法：Kruskal 与 Prim算法

最小生成树连通图中的每一棵生成树，都是原图的一个极大无环子图，即：从其中删去任何一条边，生成树就不再连通；反之，在其中引入任何一条新边，都会形成一条回路。...Ⅱ、Kruskal算法任给一个有 n 个顶点的连通网络 N={V,E}，首先构造一个由这 n 个顶点组成、不含任何边的图 G={V,NULL}，其中每个顶点自成一个连通分量，其次不断从 E 中取出权值最小的一条边...( 若有多条任取其一 ) ，若该边的两个顶点来自不同的连通分量，则将此边加入到 G 中。...如此重复，直到所有顶点在同一个连通分量上为止。核心：每次迭代时，选出一条具有最小权值，且两端点不在同一连通分量上的边，加入生成树。...但是贪心的方式和 Kruskal 完全不同。prim 算法的核心信仰是：从已知扩散寻找最小。它的实现方式和 Dijkstra算法相似但稍微有所区别，Dijkstra 是求单源最短路径。

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【算法】关于图论中的最小生成树(Minimum Spanning Tree)详解

②对所有u∈U，v∈(V – U)（其中u,v表示顶点）的边(u,v)中，找一条权值最小的边(u’,v’)，将这条边加入到集合T中，将顶点v’加入集合U中。...最终的图是这样的 [1240] 算法逻辑很容易理解，但用代码判断当前边是否会引起环的出现则很棘手。这里简单提一提连通分量在无向图中，如果从顶点vi到顶点vj有路径，则称vi和vj连通。...在有向图中，如果对于每一对顶点vi和vj，从vi到vj和从vj到vi都有路径，则称该图为强连通图；否则，将其中的极大连通子图称为强连通分量。...我们选边的标准是这样的：若边上的两个顶点从属于两个不同的连通分量，则此边可取，否则考察下一条权值最小的边。于是问题又来了，如何判断两个顶点是否属于同一个连通分量呢？这个可以参照并查集的做法解决。...它的思路是：如果两个顶点的根节点是一样的，则显然是属于同一个连通分量。这也同样暗示着：在加入新边时，要更新父节点。

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PHP数据结构-图的概念和存储结构

关于图的比较正式的官方定义是：图（Graph）G 由两个集合 V 和 E 组成，记为 G=(V, E) ，其中 V 是顶点的有穷非空集合，E 是 V 中顶点的有穷集合，这些顶点偶对称为边。...对于有向图来说，虽说边是有方向的，当然我们也可以定义一个来回的方向，比如和，在有向图中我们就要画上两个相反方向的箭头表示可以从1到2也可以从2到1。...(7) 路径和路径长度：从某一个顶点到另一个顶点所经过的所有顶点就是路径。如果是有向图，那么它的路径就是按照箭头的方向。...路径长度就是一条路径上经过的边或孤的数量 (8) 回路或环：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环 (9) 连通、连通图和连通分量：如果某两个结点之间是有路径的，就称这两个结点是连通的。...其实就是通过一条路径，能够让图中所有的结点串联起来。

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图的基本概念以及DFS与BFS算法

在无向图中，顶点对 (x, y) 是无序的，顶点对 (x,y) 称为顶点 x 和顶点 y 相关联的一条边，这条边没有特定方向， (x, y) 和 (y ， x) 是同一条边，比如下图G1和G2为无向图...邻接顶点：在无向图中 G 中，若 (u, v) 是 E(G) 中的一条边，则称 u 和 v 互为邻接顶点，并称边 (u,v) 依附于顶点 u 和 v；在有向图 G 中，若是 E(G) 中的一条边...路径：在图G = (V， E)中，若从顶点 vi 出发有一组边使其可到达顶点 vj ，则称顶点 vi 到顶点 vj 的顶点序列为从顶点 vi 到顶点 vj 的路径。...路径长度：对于不带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上的边的条数；对于带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上各个边权值的总和。...强连通图：在有向图中，若在每一对顶点 vi 和 vj 之间都存在一条从 vi 到 vj 的路径，也存在一条从 vj 到 vi 的路径，则称此图是强连通图。

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8-1 图结构

重要结论：无论是有向图还是无向图，顶点数n、边数e、和度数之间有关系：所有顶点的度数之和等于边数的2倍 ④路径和回路：从一个顶点到另一顶点途径的所有顶点组成的序列（包含这两个顶点），称为一条路径...若路径 / 回路中各顶点都不重复，此路径又被称为"简单路径" / "简单回路" ⑤权和网的含义图中的每条边（或弧）会赋予一个实数来表示一定的含义，这种与边（或弧）相匹配的实数被称为"权"，而带权的图通常称为网...③连通图在无向图中，若每一对顶点 u和v之间都能找到一条路径，则此图称为连通图；若无向图不是连通图，但图中存储某个子图符合连通图的性质，则称该子图为连通分量。...（这里的子图指的是图中"最大"的连通子图）在有向图中，若每一对顶点u和v之间都存在 u到v 以及从 v到u的路径，则成为强连通图。...连通图中的生成树必须满足以下 2 个条件： ●包含连通图中所有的顶点； ●任意两顶点之间有且仅有一条通路；因此，连通图的生成树具有这样的特征，即生成树中边的数量 = 顶点数 - 1。

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并查集数据结构及其实例-- day15

添加的边的两个顶点包含在 1 到 n 中间，且这条附加的边不属于树中已存在的边。...这道题中的图在树的基础上多了一条边，因此边的数量也是 n。树是一个连通且无环的无向图，在树中多了一条边之后就会出现环，因此多余的边即为导致环出现的边。可以通过并查集寻找多余的边。...初始时，每个节点都属于不同的连通分量。遍历每一条边，判断这条边连接的两个顶点是否属于相同的连通分量。...如果两个顶点属于不同的连通分量，则说明在遍历到当前的边之前，这两个顶点之间不连通，因此当前的边不会导致环出现，合并这两个顶点的连通分量。...如果两个顶点属于相同的连通分量，则说明在遍历到当前的边之前，这两个顶点之间已经连通，因此当前的边导致环出现，为多余的边，将当前的边作为答案返回。

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《大话数据结构》总结第一章绪论第二章算法第三章线性表第四章栈和队列第五章字符串第六章树第七章图第八章查找第九章排序

如果图中任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图（Directed graphs）。简单图——在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图。...除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简单环。在无向图G中，如果从顶点v到顶点v'有路径，则称v和v'是连通的。...在有向图G中，如果对于每一对vi、vj∈V、vi≠vj，从vi到vj和从vj到vi都存在路径，则称G是强连通图。有向图中的极大强连通子图称做有向图的强连通分量。...在E中选择代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上，则将此边加入到T中，否则舍去此边而选择下一条代价最小的边。依次类推，直至T中所有顶点都在同一连通分量上为止。...拓扑序列：设G=(V,E)是一个具有n个顶点的有向图，V中的顶点序列v1，v2，……，vn，满足若从顶点vi到vj有一条路径，则在顶点序列中顶点vi必在顶点vj之前。

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数据结构学习笔记（图）

*无向边用小括号“（）”表示，而有向边则用尖括号“”表示。 4.在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图。...强调： *要是子图； *子图要是连通的； *连通子图含有极大顶点数； *具有极大顶点数的连通子图包含依附于这些顶点的所有边。 2.从Vi到Vj和从Vi到Vj都存在路径，则称G是强连通图。...从图中某个顶点v出发，访问此顶点，然后从v的未访问的邻接点出发深度优先遍历图，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。对于非连通图，只需要对它的连通分量分别进行深度优先遍历。...在E中选择代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上，则将次变加入到T中，否则舍去此边而选择下一条代价最小的边。依次类推，直至T中所有顶点都在同一连通分量上为止。...设G={V,E}是一个具有n个顶点的有向图，V中的顶点序列V1，V2，......,Vn,满足若从顶点Vi到Vj有一条路径，则在顶点序列中顶点Vi必在顶点Vj之前。

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文心一言 VS 讯飞星火 VS chatgpt （325）-- 算法导论22.5 1题

如果新边连接的一个顶点已经在一个强连通分量中，而另一个顶点不属于任何强连通分量，那么强连通分量的数量不变，但是原来的强连通分量会变大。 4....如果新边连接的两个顶点都不在任何强连通分量中，并且它们也不构成一个强连通分量（即它们之间没有其他路径相连），那么强连通分量的数量会增加1。...当在有向图G中加入一条新的边时，强连通分量的数量可能会减少，也可能不变，具体取决于这条边连接的两个顶点是否已经在同一个强连通分量中。...kimi：在图论中，一个图G的强连通分量是指图中的一个最大子图，在这个子图中，任意两个顶点之间都存在有向路径。如果向图G中添加一条新的边，强连通分量的数量可能会有以下几种变化： 1....在实际应用中，你可能需要根据具体情况调整代码。混元：在图G中加入一条新的边后，强连通分量（SCC）的数量可能会发生变化，具体取决于新边的起点和终点以及它们在原图中的连接情况。

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文心一言 VS 讯飞星火 VS chatgpt （330）-- 算法导论22.5 6题

• 如果原图 G 中的某个强连通分量 C_1 包含节点 u，且从 u 有一条边到达另一个强连通分量 C_2 中的节点 v，则在分量图中添加一条从 C_1 到 C_2 的边。 3....• 对于分量图中的每条边 (C_1, C_2)，在 G' 中添加一条从 C_1 的代表到 C_2 的代表的边。...构建分量图： • 为每个强连通分量分配一个唯一的标识符或节点。 • 对于G中的每条边(u, v)，如果u和v属于不同的强连通分量，那么在分量图中添加一条从u的标识符到v的标识符的边。 3....对于原始图中的每条边(u,v)，若边所连接的两个顶点属于不同的强连通分量，则在G'中添加一条边从源强连通分量指向目标强连通分量。...对于原图 G 中的每条边 (u, v)，如果 u 和 v 属于不同的强连通分量，则在 G' 中添加一条从代表 u 的顶点到代表 v 的顶点的边。

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文心一言 VS 讯飞星火 VS chatgpt （281）-- 算法导论20.4 2题

初始化：为每个顶点创建一个单独的集合（连通分量）。 2. 遍历图的每一条边： • 对于每条边(u, v)，如果u和v不在同一个集合中，则将它们合并到同一个集合中。...它包含了初始化、查找、合并和检查两个顶点是否在同一连通分量中的功能。讯飞星火：在图论中，连通分量是图中的一个子图，其中任何两个顶点都通过路径相连。...由于所有边都已经被处理，这意味着从任何一个顶点到另一个顶点都可以通过这些边到达，因此它们在同一个连通分量中。 • 反向证明：如果两个顶点在同一个连通分量中，那么它们之间至少有一条路径。...根据UNION-FIND算法的性质，这意味着存在一条从u到v的路径，所有这些顶点都在同一个集合中。因此，u和v在同一个连通分量中。...(2) 必要性：如果两个顶点在同一个连通分量中，那么它们在同一个集合中。证明：假设顶点u和顶点v在同一个连通分量中。根据连通分量的定义，存在一条从u到v的路径。

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重学数据结构（七、图）

对于图G ,若边集E(G)为有向边的集合，则称该图为有向图；若边集E(G)为无向边的集合，则称该图为无向图。图2：无向图（a）和有向图（b） ?...也称作一条弧，则 x为弧尾， y为弧头。在无向图中，顶点对是无序的，它称为从顶点 x与顶点y相关联的一条边。这条边没有特定的方向，（x,y）和（y,x）是同一条边。...回路或环：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环。简单路径、简单回路或简单环：序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。...除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简单环。连通、连通图和连通分量：在无向图 G 中，如果从顶点 v 到顶点 v'有路径，则称 v 和 v'是连通的。...强连通图和强连通分量：在有向图 G 中，如果对于每一对 Vi, Vj \in V,Vi \not= Vj, 从 Vi到 Vj和从 Vj 到Vi都存在路径，则称G是强连通图。

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