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【统计学家的故事】泊松定理、泊松公式、泊松方程、泊松分布、泊松过程的西莫恩·德尼·泊松

1人物简介 泊松的父亲是退役军人，退役后在村里作小职员，法国革命爆发时任村长。泊松最初奉父命学医，但他对医学并无兴趣，不久便转向数学。...后人戏剧性地称这个亮点为泊松亮斑。 数学和物理学 泊松是法国第一流的分析学家。年仅18岁就发表了一篇关于有限差分的论文，受到了勒让德的好评。...除泊松分布外，还有许多数学名词是以他名字命名的，如泊松积分、泊松求和公式、泊松方程、泊松定理，等等。...泊松也是19世纪概率统计领域里的卓越人物。他改进了概率论的运用方法，特别是用于统计方面的方法，建立了描述随机现象的一种概率分布──泊松分布。...在数学中以他的姓名命名的有：泊松定理、泊松公式、泊松方程、泊松分布、泊松过程、泊松积分、泊松级数、泊松变换、泊松代数、泊松比、泊松流、泊松核、泊松括号、泊松稳定性、泊松积分表示、泊松求和法等

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    R语言中的模拟过程和离散化：泊松过程和维纳过程

    p=17303 本文中，我们讨论了一个将Poisson过程与Wiener过程结合在一起的最佳算法的问题。实际上，为了生成泊松过程，我们总是习惯于模拟跳跃之间的持续时间。...，我们必须离散化，而对于复合泊松过程，我们不能离散化。...泊松过程的特征是 因此，极少有机会同时进行两次跳跃，尤其是在时间步长较小的情况下。如果我们生成数千条轨迹，那么一次出现问题的可能性就可以忽略不计。...---- 最受欢迎的见解 1.R语言泊松Poisson回归模型分析案例 2.R语言进行数值模拟：模拟泊松回归模型 3.r语言泊松回归分析 4.R语言对布丰投针（蒲丰投针）实验进行模拟和动态可视化 5....用R语言模拟混合制排队随机服务排队系统 6.GARCH（1,1），MA以及历史模拟法的VaR比较 7.R语言做复杂金融产品的几何布朗运动的模拟 8.R语言进行数值模拟：模拟泊松回归模型 9.R语言对巨灾风险下的再保险合同定价研究案例

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    R语言中的模拟过程和离散化：泊松过程和维纳过程

    p=17303 本文中，我们讨论了一个将Poisson过程与Wiener过程结合在一起的最佳算法的问题。实际上，为了生成泊松过程，我们总是习惯于模拟跳跃之间的持续时间。...，我们必须离散化，而对于复合泊松过程，我们不能离散化。...另一种可能性是使用我在引言中提到的泊松过程的均匀性。因为泊松过程满足一个特性：如果是第i个跳跃发生的日期，则有条件基于以下事实： ? ，变量 ? 对应于的订单统计 ?...通过此过程，我们不能在同一时间间隔内有两次跳跃。泊松过程的特征是 ? 因此，极少有机会同时进行两次跳跃，尤其是在时间步长较小的情况下。如果我们生成数千条轨迹，那么一次出现问题的可能性就可以忽略不计。...例如，生成一些模拟以具有一百次跳跃（因此两次跳跃之间的持续时间为一百次），然后进行指数定律检验。

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    随机过程（6）——泊松过程三大变换，更新过程引入

    上一节，我们给大家介绍了泊松过程和复合泊松过程（微信公众号的版本，“过程”写成了“分布”造成了一些误会，读者注意下～）。...设 表示符合 的 的个数（ ），证明 是一个速率为 的泊松过程，并且与原始的泊松过程相互独立。 这个过程大概可以用图表示为下面这样。 ?...那么实际上这一块我们可以得到 这个如何利用上Theorem 1呢？...大致可以解释为，在规定了泊松过程的一些条件之后，泊松过程内部的到达时间服从的分布近似于均匀分布。具体来说，设 为泊松过程的到达时间，设 服从均匀分布 ，且两两独立。...对于第一个题，我们注意到，相当于知道了之前时间的情况，问之后的泊松过程的期望。因此可以考虑做一个变换，得到 这是因为两个泊松过程的差依然服从一个泊松分布。

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    NumPy 泊松分布模拟与 Seaborn 可视化技巧

    泊松分布简介泊松分布是一种离散概率分布，用于描述在给定时间间隔内随机事件发生的次数。它常用于模拟诸如客户到达商店、电话呼叫接入中心等事件。...生成泊松分布数据NumPy 提供了 random.poisson() 函数来生成服从泊松分布的随机数。该函数接受以下参数：lam：事件发生的平均速率。size：输出数组的形状。...Seaborn 库提供了便捷的函数来可视化分布，包括泊松分布。...λ 很大时，泊松分布可以近似为正态分布。...模拟顾客到达商店的次数并绘制分布图。比较不同平均速率下泊松分布形状的变化。利用泊松分布来模拟一个呼叫中心每天接到的电话呼叫数量，并计算平均呼叫量和每天接听超过 30 个电话的概率。

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    随机过程（5）——无限状态马尔科夫链的进一步探讨，泊松分布引入，复合泊松分布

    目录 无限状态马尔可夫链的进一步探讨 泊松过程 复合泊松过程 无限状态马尔可夫链的进一步探讨 对于无限状态马尔可夫链，主要的问题在于对常返性和平稳分布的探讨。...泊松过程 泊松过程（Poisson Process）是一类极为重要的随机过程。与马尔可夫链的场景不同，它主要关注的是状态与状态之间的转移时间的随机性。...同时因为一方面，整个过程与泊松分布有关，所以起名叫泊松过程。另一方面，为了保持无记忆性，它与指数分布又密不可分。 首先，我们自然要先好好的定义一下，什么是泊松过程。...复合泊松过程 复合泊松过程（Compound Poisson Process）的场景比正常的泊松过程复杂一点（不然也不叫复合了）。...好的，关于泊松过程，我们先说到这里。 小结 本节主要讨论了无限状态马尔可夫链的零常返，正常返问题。并且同时我们也介绍了简单的泊松过程，复合泊松过程的性质和应用。

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    R语言小数定律的保险业应用：泊松分布模拟索赔次数

    因此，超出模型（针对罕见事件）与泊松过程密切相关。 泊松过程 如上所述，当事件以某种方式随机且独立地随时间发生时，就会出现泊松分布。然后很自然地研究两次事件之间的时间（或在保险范围内两次索赔）。...他确实获得了以下分布（此处，泊松分布的参数为0.61，即每年的平均死亡人数） 在很多情况下，泊松分布都非常适合。...在n年内观察到的事件数量具有二项式分布，其概率为 ，将收敛到参数为1的泊松分布。那么 ，没有灾难的概率为，等于0.632。 稀有概率与泊松分布 计算稀有事件的概率时，泊松分布不断出现。...也， 即 > [1] 0.4262466 ---- 参考文献 1.R语言泊松Poisson回归模型分析案例 2.R语言进行数值模拟：模拟泊松回归模型 3.r语言泊松回归分析 4.R语言对布丰投针（蒲丰投针...）实验进行模拟和动态可视化 5.用R语言模拟混合制排队随机服务排队系统 6.GARCH（1,1），MA以及历史模拟法的VaR比较 7.R语言做复杂金融产品的几何布朗运动的模拟 8.R语言进行数值模拟：模拟泊松回归模型

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    R语言小数定律的保险业应用：泊松分布模拟索赔次数

    泊松分布 所谓的泊松分布（请参阅http://en.wikipedia.org/…）由SiméonPoisson于1837年进行了介绍。...如果我们进行一些模拟 > n=1000 > ns=100000 > N=rep(NA,ns) > + + + + + > > mean(N) [1] 31.41257 泊松分布的参数是黄色圆盘的面积...泊松过程 如上所述，当事件以某种方式随机且独立地随时间发生时，就会出现泊松分布。然后很自然地研究两次事件之间的时间（或在保险范围内两次索赔）。...他确实获得了以下分布（此处，泊松分布的参数为0.61，即每年的平均死亡人数） ? 在很多情况下，泊松分布都非常适合。例如，如果我们考虑1850年后在佛罗里达州的飓风数量， ?...稀有概率与泊松分布 计算稀有事件的概率时，泊松分布不断出现。例如，在50年的时间里，至少有一次在核电厂发生事故的可能性。假设在反应堆中发生事故的年概率 很小，例如0.05％。

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    R语言使用链梯法Chain Ladder和泊松定律模拟和预测未来赔款数据

    p=13923 我们通过对增量进行泊松回归，我们获得了与链梯法Chain Ladder方法完全相同的结果 > Y [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [1,] 3209...28.7 [5,] 4919.9 1874.1 77.7 29.8 12.8 32.7 [6,] 5217.0 1987.3 82.4 31.6 13.6 34.7 [1] 2426.985 注意到泊松定律的变化太小...我们已经在定价过程中看到，分母的方差可以被预测代替，因为在泊松模型中，期望和方差是相同的。所以我们考虑 ?...理想情况下，我们希望模拟拟泊松定律，但这不是真实定律。另一方面，我们可以记住，在这种情况下，伽玛定律应该给出一个很好的近似值。...我们得到 polygon(c(D$x[I],rev(D$x[I])),c(D$y[I],rep(0,length(I))),col="blue",border=NA) 但是，我们还可以在下面将基于泊松定律

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    随机过程（9）——连续时间马尔科夫链的泊松过程描述，爆炸现象，离散马尔科夫链对比

    Problem 2: 考虑排队论中的 模型，也即顾客到达服从一个速率为 的泊松过程，而服务时间服从一个速率为 的泊松过程，二者相互独立。...最后总结一下，因为我们相当于把一条连续时间马尔科夫链给建模成了一条泊松过程，所以一切之前与泊松过程有关的性质，结论，都可以应用到这里的连续时间马尔科夫链上。...服务时间服从一个速率为 的泊松分布。刻画这个系统的平稳分布。 事实上有了连续时间马尔科夫链的工具，我们可以用它来解决一些排队论的问题，因为它也可以被理解为是一种泊松过程。...这一个对应泊松过程的稀疏变换，可以参考这一节 随机过程（6）——泊松过程三大变换，更新过程引入 这个转移速率其实可以利用细致平衡条件来求解，不难得到 当然要刻画它的平稳分布，在这个无限状态的情况下...Problem 6: 考虑一个理发店排队论模型 ，理发店理发服从一个速率为 的泊松过程（平均每一个小时完成3个人），顾客到达服从一个速率为 的泊松过程。

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    R语言精算学：使用链梯法Chain Ladder和泊松定律模拟和预测未来赔款数据

    p=13923 我们停止使用模拟方法,通过对增量进行泊松回归，我们获得了与链梯法Chain Ladder方法完全相同的结果 > Y [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6][1...11.2 28.7[5,] 4919.9 1874.1 77.7 29.8 12.8 32.7[6,] 5217.0 1987.3 82.4 31.6 13.6 34.7[1] 2426.985 注意到泊松定律的变化太小...，分母的方差可以被预测代替，因为在泊松模型中，期望和方差是相同的。...理想情况下，我们希望模拟拟泊松定律，但这不是真实定律。另一方面，我们可以记住，在这种情况下，伽玛定律应该给出一个很好的近似值。...，我们得到 polygon(c(D$x[I],rev(D$x[I])),c(D$y[I],rep(0,length(I))),col="blue",border=NA) 但是，我们还可以在下面将基于泊松定律

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    R语言精算学：使用链梯法Chain Ladder和泊松定律模拟和预测未来赔款数据

    p=13923 我们停止使用模拟方法,通过对增量进行泊松回归，我们获得了与链梯法Chain Ladder方法完全相同的结果 > Y [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6][1...11.2 28.7[5,] 4919.9 1874.1 77.7 29.8 12.8 32.7[6,] 5217.0 1987.3 82.4 31.6 13.6 34.7[1] 2426.985 注意到泊松定律的变化太小...，分母的方差可以被预测代替，因为在泊松模型中，期望和方差是相同的。...理想情况下，我们希望模拟拟泊松定律，但这不是真实定律。另一方面，我们可以记住，在这种情况下，伽玛定律应该给出一个很好的近似值。...，我们得到 polygon(c(D$x[I],rev(D$x[I])),c(D$y[I],rep(0,length(I))),col="blue",border=NA) 但是，我们还可以在下面将基于泊松定律

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    R语言和Python用泊松过程扩展：霍克斯过程Hawkes Processes分析比特币交易数据订单到达自激过程时间序列|附代码数据

    p=25880 最近我们被客户要求撰写关于泊松过程的研究报告，包括一些图形和统计输出。 本文描述了一个模型，该模型解释了交易的聚集到达，并展示了如何将其应用于比特币交易数据。这是很有趣的，原因很多。...描述事件计数到达的最基本方法，例如上面的时间序列，是泊松过程 ，有一个参数λ。在泊松过程中，每单位时间的预期事件数由一个参数定义。这种方法被广泛使用，因为它非常适合大量数据，例如呼叫中心的电话到达。...霍克斯过程(Hawkes Processes)，是基本泊松过程的扩展，旨在解释这种聚类。...霍克斯过程(Hawkes Processes)霍克斯过程对随时间变化的强度或过程的事件发生率进行建模，这部分取决于过程的历史。另一方面，简单的泊松过程没有考虑事件的历史。...----本文摘选 《 R语言和Python用泊松过程扩展：霍克斯过程Hawkes Processes分析比特币交易数据订单到达自激过程时间序列 》 ，点击“阅读原文”获取全文完整资料。

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    Python用 PyMC3 贝叶斯推理案例研究：抛硬币和保险索赔发生结果可视化

    PyMC3 和其他类似软件包提供了一组简单的函数来组装和运行概率模拟，例如贝叶斯推理。 个案研究： 使用贝叶斯推理评估保险索赔发生率 保险索赔通常被建模为由于泊松分布式过程而发生。...在泊松分布中，泊松分布的期望值 E（Y）、均值 E（X） 和方差 Var（Y） 相同; 例如，E（Y） = E（X） = Var（X） = λ。 请注意，如果方差大于均值，则称数据过于分散。...一、建立先验分布 在这里，我们生成一些观测数据，这些数据遵循泊松分布，速率为 lambda，λ = 2。...，或任何类似于观察到的λ数据形状的分布，但是伽马泊松最适合： 泊松可以取任何正数到无穷大（0，∞），而β或均匀是[0-100]。...伽马和泊松属于同一分布家族。 伽马的峰值接近于零。 伽马尾巴走向无穷大。 伽马泊松先验为： 其中 a 是伽马形状，b 是伽马速率参数。

    19830

    Python用 PyMC3 贝叶斯推理案例研究：抛硬币和保险索赔发生结果可视化

    PyMC3 和其他类似软件包提供了一组简单的函数来组装和运行概率模拟，例如贝叶斯推理。 个案研究： 使用贝叶斯推理评估保险索赔发生率 保险索赔通常被建模为由于泊松分布式过程而发生。...在泊松分布中，泊松分布的期望值 E（Y）、均值 E（X） 和方差 Var（Y） 相同; 例如，E（Y） = E（X） = Var（X） = λ。 请注意，如果方差大于均值，则称数据过于分散。...一、建立先验分布 在这里，我们生成一些观测数据，这些数据遵循泊松分布，速率为 lambda，λ = 2。...，或任何类似于观察到的λ数据形状的分布，但是伽马泊松最适合： 泊松可以取任何正数到无穷大（0，∞），而β或均匀是[0-100]。...伽马和泊松属于同一分布家族。 伽马的峰值接近于零。 伽马尾巴走向无穷大。 伽马泊松先验为： 其中 a 是伽马形状，b 是伽马速率参数。

    25120

    泊松分布

    在这篇文章中，我们将讨论用于模拟上述情况的泊松分布背后的理论，如何理解和使用它的公式，以及如何使用Python代码来模拟它。 离散型概率分布 这篇文章假设你对概率有一个基本的了解。...即使这个条件不成立，我们仍然可以认为分布是泊松分布，因为泊松分布足够接近，可以模拟情况的行为。 模拟泊松分布 利用numpy从泊松分布中模拟或抽取样本非常容易。...我们首先导入它，并使用它的随机模块进行模拟: import numpy as np 从泊松分布中提取样本，我们只需要速率参数λ。我们把它插入np，随机的。...泊松函数，并指定样本个数: poisson = np.random.poisson(lam=10, size=10000) 这里，我们模拟了一个速率为10的分布，有10k个数据点。...现在，让我们假设我们忘记了泊松分布的PMF公式。如果我们做观察新生儿的实验，我们如何求出看到10个新生儿而比率为6的概率呢? 首先，我们用给定的速率作为参数来模拟完美泊松分布。

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    R语言Poisson回归的拟合优度检验

    首先我们将模拟一些简单的数据，具有均匀分布的协变量x和泊松结果y： set.seed（612312） n < - 1000 x < - runif（n） y 泊松回归拟合检验的偏差优度 为了研究测试的性能，我们进行了一个小的模拟研究。我们将使用与以前相同的数据生成机制生成10,000个数据集。...对于每一个，我们将拟合（正确的）泊松模型，并收集拟合p值的偏差良好性。...当我运行这个时，我得到了0.9437，这意味着偏差测试错误地表明我们的模型在94％的情况下被错误地指定 为了在平均值较大时查看情况是否发生变化，让我们修改模拟。...结论 上面显然是一个非常有限的模拟研究，但我对结果的看法是，虽然偏差可能表明泊松模型是否适合，但我们应该对使用由此产生的p值有些警惕。

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    如何直观地理解程序的运行过程？

    了解代码的执行过程是编程的基本要求。一个熟练的编程老手只需要用肉眼看着代码，就能对其运行的过程有所了解。然而对于刚接触编程不久的新手来说，这种事情就没那么显而易见了。...后来意外发现有一款工具满足了此类需求，非常适合新手，可以让你直观地“看”出程序是怎么运行的。对于初学编程，难以理解程序运行过程的苦手来说，绝对可称之为“神器”。...再来体验一下其使用过程： 在编辑器里输入代码，点击 “Visualize Execution” 即可运行并演示。...看看效果如何： ? 左上是代码，箭头表示当前运行到的位置。 通过下面的按钮和进度条可以直接控制程序的进行。 左下是输出。 右边就是程序的可视化模拟。...在这个例子里，可以清楚地看到过程中变量的变化，何时调用了函数等信息。 不过同很多在线运行环境一样，Python Tutor 不支持运行过程中的输入功能。

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