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如何求顶点i和j之间至多有S个顶点的最小路径

求顶点i和j之间至多有S个顶点的最小路径，可以使用动态规划算法来解决。下面是一个完善且全面的答案：

动态规划算法可以用来解决最短路径问题。在这个问题中，我们需要找到顶点i和j之间至多有S个顶点的最小路径。

首先，我们可以定义一个二维数组dp，其中dpik表示从顶点i到顶点j经过至多k个顶点的最小路径长度。初始时，将dp数组的所有元素初始化为无穷大。

然后，我们可以使用动态规划的思想来逐步计算dp数组的值。具体的计算过程如下：

初始化dpi0为顶点i到顶点j的直接路径长度，如果i和j之间存在直接路径的话。否则，将dpi0设为无穷大。
对于k从1到S，依次计算dpik的值。对于每个k值，我们可以通过以下方式来计算dpik：

a. 对于每个顶点v，如果v不等于i和j，并且存在一条从顶点i到顶点v经过至多k-1个顶点的路径，以及一条从顶点v到顶点j经过至多1个顶点的路径，那么我们可以更新dpik的值为dpik-1 + dpv1。

b. 否则，dpik的值保持不变。

最终，dpiS就是从顶点i到顶点j经过至多S个顶点的最小路径长度。

这样，我们就可以通过动态规划算法求解顶点i和j之间至多有S个顶点的最小路径。

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以上是关于如何求顶点i和j之间至多有S个顶点的最小路径的完善且全面的答案，以及推荐的腾讯云相关产品和产品介绍链接。

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期末复习之数据结构第7章图

AOE网—关键路径 6.最短路径 a.单源最短路径 (Dijkstra算法) b.Dijkstra（迪杰斯特拉）算法 c.所有顶点之间的最短路径(Floyd算法) 二.练习题...事件的最早发生时间Ve(j)：事件的最迟发生时间Vl(i)：活动as的最早开始时间e(s)：活动as的最迟开始时间l(s)： 6.最短路径 a.单源最短路径 (Dijkstra...有8个结点的无向图最多有条边。...用普里姆(Prim)算法求具有n个顶点e条边的图的最小生成树的时间复杂度为 O(n2) ；用克鲁斯卡尔(Kruskal)算法的时间复杂度是 O(elog2e) 。 15....用Dijkstra算法求某一顶点到其余各顶点间的最短路径是按路径长度递增的次序来得到最短路径的。 18. 拓扑排序算法是通过重复选择具有 0 个前驱顶点的过程来完成的。

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图的应用详解-数据结构

1.最小生成树 1.1 问题背景：假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连通n个城市只需要n—1条线路。这时，自然会考虑这样一个问题，如何在最节省经费的前提下建立这个通信网。...在每两个城市之间都可以设置一条线路，相应地都要付出一定的经济代价。n个城市之间，最多可能设置n(n-1)/2条线路，那么，如何在这些可能的线路中选择n-1条，以使总的耗费最少呢?...在AOV 网中，若从顶点i到顶点j之间存在一条有向路径，称顶点i是顶点j的前驱，或者称顶点j 是顶点i的后继。...(3)从汇点vn出发，令vl[n-1]=ve[n-1]，按逆拓扑有序求其余各顶点的最迟发生时间vl[i](n-2≥i≥0)； (4)根据各顶点的ve和vl值，求每条弧s的最早开始时间e(s)和最迟开始时间...算法的基本思想是：设置两个顶点的集合S 和T＝V－S，集合S 中存放已找到最短路径的顶点，集合T 存放当前还未找到最短路径的顶点。

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图原

如果图的所有边都是有向边，那么该图叫做有向图。一个图不能有重复的边。在无向图的任意两个顶点之间，最多只能有一条边。在有向图的任意两个顶点i和j之间，从顶点i到顶点j最多有一条边。...从顶点j到i也最多有一条边。一个图不可能包含自连边，即(i,i)形式的边。自连边也叫做环。在图的一些应用中，我们可能要为每条边赋予一个表示成本的值。我们称之为权。...所有发言人都只会说英语，而每一个与会人员所懂得的语言是L1，L2,……，Ln中的一种。翻译小组合一在有英语和其他语言之间互译。现在是任务是如何使翻译小组的人数最少。...一个具有n个顶点和n(n-1)/2条边的无向图是一个完全图(complete graph)。下面就是n=1,2,3,4时的完全无向图 ? 设G是一个有向图。顶点i入度是指关联至该顶点的边数。...一个有向图是强连通的，当且仅当对于每一对不同顶点i和j，从i到j和从j到i都有一条有向路径。对于每一个n(n>=1)，都存在一个恰有n-1条边的无向连通图。

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数据结构第六章图

在图中，一个顶点可以和其它多个顶点相连，当这样的顶点访问过后，如何选取下一个要访问的顶点？解决方案：深度优先遍历和广度优先遍历。...求顶点i的度：邻接矩阵的第i行（或第i列）非零元素的个数。判断顶点 i 和 j 之间是否存在边：测试邻接矩阵中相应位置的元素arc[i][j]是否为1。...求顶点 i 的度：顶点i的边表中结点的个数。判断顶点 i 和顶点 j之间是否存在边：测试顶点 i 的边表中是否存在终点为 j 的结点。...；输入顶点信息，初始化该顶点的边表；依次输入边的信息并存储在边表中； 3.1 输入边所依附的两个顶点的序号i和j； 3.2 生成邻接点序号为j的边表结点s； 3.3 将结点s插入到第i个边表的头部...单源点到其他顶点的最短路径 Dijkstra方法，O（n2）任意一对顶点之间的最短路径 Floyd方法，O（n3）单源点最短路径问题问题描述：给定带权有向图G＝(V, E)和源点v∈V，求从

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单源最短路径（狄克斯特拉算法）

在加权图G=(V,E)中，求给定顶点s,d之间各边权值总和最小的路径，这就是最短路径问题。...这个问题主要分为两类：单源最短路径：在图G中，求给定顶点s到其他所有顶点di之间的最短路径全点对间最短路径：在图G中，求“每一对顶点”之间的最短路径求单源最短路径，其实就是求从起点出发的最短路径生成树的过程...简单版本的狄克斯特拉算法就是这样的：设图G=(V,E)所有顶点的集合为V，起点为s，最短路径生成树中包含的顶点集合为S。在各计算步骤中，我们将选出最短路径生成树的边和顶点，并将其添加到S。...对于各顶点i，设仅经由S内的顶点s到i的最短路径成本为d[i]，i在最短路径中的父节点为p[i] 初始状态下，将S置空。...初始化s的d[s]=0,除此以外的d[i]=∞ 循环进行下述处理，直到S=V为止从V-S中选出d[u]最小的顶点u 将u添加到S，同时将与u相邻且属于V-S的所有顶点v的值按照下述方式更新 if(d[

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图的最短路径算法

图的最短路径算法最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括：确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。...确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。适合使用Floyd-Warshall算法。...该算法常用于路由算法或者作为其他图算法的一个子模块。指定一个起始点（源点）到其余各个顶点的最短路径，也叫做“单源最短路径”。例如求下图中的1号顶点到2、3、4、5、6号顶点的最短路径。 ?...请注意这些公路是单向的。我们现在需要求任意两个城市之间的最短路程，也就是求任意两个点之间的最短路径。这个问题这也被称为“多源最短路径”问题。...……允许经过1~n号所有顶点进行中转，求任意两点之间的最短路程。

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数据结构第15讲一场说走就走的旅行——最短路径

图2-8　一场说走就走的旅行 2.5.1　问题分析根据题目描述可知，这是一个求单源最短路径的问题。给定有向带权图G =（V，Ｅ），其中每条边的权是非负实数。此外，给定V中的一个顶点，称为源点。...现在要计算从源到所有其他各顶点的最短路径长度，这里路径长度指路上各边的权之和。如何求源点到其他各点的最短路径呢？...Dijkstra算法的基本思想是首先假定源点为u，顶点集合V被划分为两部分：集合S和 V−S。初始时 S 中仅含有源点 u，其中 S 中的顶点到源点的最短路径已经确定。...一旦S包含了所有顶点，dist[]就是从源到所有其他顶点之间的最短路径长度。（1）数据结构。...p[]：记录源点到某顶点的最短路径上的该顶点的前一个顶点（前驱）。flag[]：flag[i]等于true，说明顶点i已经加入到集合S，否则顶点i属于集合V−S。

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最短路径dijkstra算法精品代码（超详解）

所谓单源节点是指给定源节点，求图中其它节点到此源节点的最短路径。如下图所示：给定源节点a，求节点b到a的最短距离。 (图来自于参考资料2) 那么如何寻找？...如果想看这个最小距离所经过的路径，可以回溯，前提是你在步骤3里面加入了当前节点的最优路径前驱节点信息。...g.n - 1; i++) { min = INF;//找到的点目前最小 //这个循环每次从剩余顶点中选出一个顶点，通往这个顶点的路径在通往所有剩余顶点的路径中是长度最短的 for...set[u] = 1;//将选出的顶点并入最短路径中 //这个循环以刚并入的顶点作为中间点，对所有通往剩余顶点的路径进行检测 for(j = 0; j < g.n; j++) { //这个...if判断顶点u的加入是否会出现通往顶点j的更短的路径，如果出现，则改变原来路径及其长度，否则什么都不做 if(set[j] == 0 && dist[u] + g.edges[u][j] < dist

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数据结构–图

数据结构–图于2020年11月1日2020年11月1日由Sukuna发布 1.图的定义和术语 1.图图G由顶点集V和关系集E组成,记为:G=(V,E),V是顶点(元素)的有穷非空集，E是两个顶点之间的关系的集合...(连通图的连通分量是自身) 对有向图G ● 若在图G中,每对顶点vi和vj之间, 从vi到vj,且从 vj到vi都存在路径,则称G是强连通图。...) 2.广度优先搜索:无论如何先把该结点的每个儿子先遍历了(队列) 4.最小生成树 1.DFS和BFS的生成树生成森林:对图的每个联通分枝进行生成树搜索 5.网的最小生成树: 在网G的各生成树中...:ZJU 算法2（Floyd算法）：算法思想：假设求Vi到Vj的最短路径，如果从Vi到Vj有弧，则存在一条长度为arcs[i][j]的路径，该路径不一定是最短路径，尚需进行n次试探。...path[i][j] = k;/*记录I和j之间的中间结点*/ } return true; /* 算法执行完毕，返回正确标记 */ }

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图的最短路径算法

图的最短路径算法最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括：确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。...确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。适合使用Floyd-Warshall算法。...该算法常用于路由算法或者作为其他图算法的一个子模块。指定一个起始点（源点）到其余各个顶点的最短路径，也叫做“单源最短路径”。例如求下图中的1号顶点到2、3、4、5、6号顶点的最短路径。 ?...请注意这些公路是单向的。我们现在需要求任意两个城市之间的最短路程，也就是求任意两个点之间的最短路径。这个问题这也被称为“多源最短路径”问题。...……允许经过1~n号所有顶点进行中转，求任意两点之间的最短路程。

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图（graph）原

在图中两点之间的最短路径问题包括两个方面：一是求图中一个顶点到其他顶点的最短路径，二是求图中每对顶点之间的最短路径。这里的路径不是指路径上边数的总和，而是指路径上各边的权值总和。...1．单源最短路径单源最短路径是指，在带权图G=(V,E)中，已知源点为s∈V，求s到其余各顶点的最短路径。...1>定理若π=(u0=s,u1,u2,… ,uk=v)是从顶点s到顶点v的最短路径，则对于任何0 ≤ i < j ≤ k，τ=(ui, ui+1, … , uj)是从顶点ui到uj的最短路径。...此定理也可以简单的描述为：最短路径的子路径也是最短路径。 2>Dijkstra（迪卡斯特拉）算法算法基本思想：设置两个顶点集S和T，S中存放已确定最短路径的顶点，T中窜访待确定最短路径的顶点。...接着选取T中当前最短路径长度最小的一个顶点v加入S，然后修改T中生于顶点的当前最短路径长度。

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关于最短路径算法的理解

因此下一条次短的最短路径的长度是：D[j] = Min{D[i] | vi ∈ V - S}，其中，D[i]或者是弧(v, vi)的权值，或者是D[k](vk ∈ S)和弧(vk, vi)上权值之和。...然后又从{V – S}中找最小值，重复上述动作，直到所有顶点都并入S中。 Floyd（弗洛伊德）算法 Floyd算法是一个经典的动态规划算法。...于是，延伸到一般问题： 1、当不经过任意第三节点时，其最短路径为初始路径，即上图中的邻接矩阵所示。 2、当只允许经过1号节点时，求两点之间的最短路径该如何求呢？...arcs[i][j]表示的是从i号顶点到j号顶点之间的距离，arcs[i][1] + arcs[1][j]表示的是从i号顶点先到1号顶点，再从1号顶点到j号顶点的路程之和。...将图中所有点分成 S(已求出解)和U(未求出解)2个点集.dist[i]表示v0到v[i]当前已求得得最短路径.A[n][n]为边集 1.从剩下的边集合中选出dist最短的边并将边的另一顶点vi

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最短路径dijkstra，floyd

无权图的单源最短路径这里我先说一下我的理解，我们求一个顶点到其它各顶点的最短路径，那么肯定得用bfs算法来遍历。...之前的图的遍历和应用中，dfs用了很多，那么现在完全就是类比的概念了，在求两个顶点u，v的路径长度的时候，我们给dfs加了两个形参终点v和长度的d，那么这个bfs的算法也是类是的，不过我们得需要一个数组存储每个顶点到原点的距离...Dijkstra算法的解题思想将图G中所有的顶点V分成两个顶点集合S和T。以v为源点已经确定了最短路径的终点并入S集合中，S初始时只含顶点v,T则是尚未确定到源点v最短路径的顶点集合。...4、再选出一个到源点v路径长度最小的顶点k,从T中删去后加入S中，再回去到第三步，如此重复，直到集合S中的包含图G的所有顶点。...采用松弛技术（松弛操作），对在i和j之间的所有其他点进行一次松弛。

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一步一步深入理解Dijkstra算法

先简单介绍一下最短路径：最短路径是啥？就是一个带边值的图中从某一个顶点到另外一个顶点的最短路径。官方定义：对于内网图而言，最短路径是指两顶点之间经过的边上权值之和最小的路径。...并且我们称路径上的第一个顶点为源点，最后一个顶点为终点。由于非内网图没有边上的权值，所谓的最短路径其实是指两顶点之间经过的边数最少的路径。...有些朋友想用最短对的时间，有些朋友想花最少的金钱，这就涉及到不同的方案，那么如何才能最快的计算出最佳的方案呢？ ? 最短路径求法在网图和非网图中，最短路径的含义是不同的。...网图是两顶点经过的边上权值之和最少的路径。非网图是两顶点之间经过的边数最少的路径。我们把路径起始的第一个顶点称为源点，最后一个顶点称为终点。...因此，下一条长度次短的的最短路径长度必是D[j]= Min{ D[i] |v[i]∈V-S }，其中D 要么是弧( v,v[i])上的权值，或者是D[i]( v[k]∈S)和弧(v[k] ,v[i] )

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二分图匹配详解

注意：单独的节点也可以作为一条路径。 DAG最小路径覆盖解法如下：把所有节点i拆为左边点集的i和右边点集的i’，如果DAG图中有i到j的有向边，那么添加一条二分图的i到j’的无向边。...顶点覆盖：GG 中的任意边都有至少一个端点属于SS 的顶点集合S⊂VS⊂V 。相应的也有：最大匹配，最小边覆盖，最大独立集，最小顶点覆盖。...具体证明参考：百度百科:Konig定理二分图的最小顶点覆盖最大独立集最大团有向图中应用二分匹配求有向图最小路径覆盖：对于有向图的最小路径覆盖，先拆点，将每个点分为两个点，左边是1-n个点...例题 POJ3041(求最小点覆盖) 将所有x行视为一个点集，所有y列视为一个点集，那么（x，y）就表示x和y之间有一条边了。而这题所求是最小点覆盖，即最大匹配。...我们把所有串按其中1的个数和是奇还是偶分成左右两个点集. 对于任意两个串,如果他们只有1位不同,那么就在他们之间连接一条无向边.

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挑战程序竞赛系列（11）：2.5最短路径

问题来了，该如何得知这个顶点已经是最短路径上的一个顶点了？DIJKSTRA把整个顶点集划分为【最短路径顶点集】和【未确定顶点集】，目标就是在每一轮松弛操作后，能够得到当前一个最短路径上的顶点。...证明：源点到该顶点的路径一定是最短的，所以从该顶点出发连接未确定顶点集的路径中，必然会出现一条最短路径，指向一个新的顶点。...好了，现在经过第k轮，得到了d[i]是源点s到i的【最短路径】，我们选择方法是：从前一轮最短路径的某个顶点出发，更新所有与之相连的顶点j，选择【未确定顶点集】中的d[j]最小的顶点为新的最短路径顶点...没有，因为其他顶点d[j] > d[i]，而任何从顶点j到顶点i的连接边都是正值，不可能有比d[i]小的路径存在，所以d[i]已经是最短路径中的一个顶点了。那么由此更新它的每一条边必然是安全的。...AOJ 2249: Road Construction 给一版完整的实现，这道题是求最短路径相同的那些边的cost最小，所以先用dijkstra求一次最短路径，接着找到所有最短路径的边，选择cost最小的边即可

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C++图论之常规最短路径算法的花式玩法（Floyd、Bellman、SPFA、Dijkstra算法合集）

前言权重图中的最短路径有两种，多源最短路径和单源最短路径。多源指任意点之间的最短路径。单源最短路径为求解从某一点出到到任意点之间的最短路径。...如果你善于观察，从1->3、然后3->5、再5->2，其权重和为7。这条路径才是1->2之间的最短路径。也就是说，经过多个中转站也许比只经过一个中转站会让路径更短。..., i ~ k ~ j(Floyd的思想) for (int k = 1; k <= n; k ++) { // 求最小环, //至少包含三个点的环所经过的点的最大编号是...在一个含有n个顶点的图中，任意两点之间的最短路径最多包含n-1边。而实际是，有时也不需要更新n轮。如上述过程，也就三轮而已。...核心思想搜索到某一个顶点后，更新与其相邻顶点的权重。权重计算法则以及权重更新原则和Bellman相同。和Bellman区别是，DJ 算法搜索时，每次选择的下一个顶点是所有权重值最小的顶点。

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力扣1514——概率最大的路径

= b 0 <= succProb.length == edges.length <= 2*10^4 0 <= succProb[i] <= 1 每两个节点之间最多有一条边解题首次尝试原本，我想利用树的深度优先搜索遍历...而边 m 与点 n 的关系，m 最小是 0（也就是点之间没有线），最大是 (n - 1) * n / 2，每个点之间都有连线。因此可以预见，这样的算法效率确实很差。...算法思想设 G=(V,E) 是一个带权有向图，把图中顶点集合 V 分成两组：第一组为已求出最短路径的顶点集合（用 S 表示，初始时 S 中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合 S...在加入的过程中，总保持从源点 v 到 S 中各顶点的最短路径长度不大于从源点 v 到 U 中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S 中的顶点的距离就是从 v 到此顶点的最短路径长度。...从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

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最全二分图总结（最大匹配、最大权匹配、点覆盖、独立集、路径覆盖，带证明和例题）

设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图...匈牙利算法原理：匈牙利算法通过不断求增广路来求最大匹配。因为增广路有下面四个性质： 1.增广路有奇数条边。 2.路径上的点一定是一个在X边，一个在Y边，交错出现。...<< result << endl; return 0; } 五、覆盖和独立集 1.最小点覆盖定义：给定一张二分图，求出一个最小的点集S，使得图中任意一条边都有至少一个端点属于S。...+n之间连边，得到拆点二分图，记为G’（上图右），则最小路径覆盖=原图点个数-G’的最大匹配数。...– 最小路径可重复点覆盖：在一个有向无环图中（DAG）用最少的可相交的简单路径覆盖所有的点。 – 方法：先对DAG求一次传递闭包，然后当作求最小路径点覆盖。

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盘点工作中常用的算法

普里姆算法普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图最小生成树修路问题本质就是就是最小生成树问题...给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树 N个顶点，一定有N-1条边,包含全部顶点 N-1条边都在图中 ?...该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名弗洛伊德算法(Floyd)计算图中各个顶点之间的最短路径迪杰斯特拉算法用于计算图中某一个顶点到其他顶点的最短路径...弗洛伊德算法 VS 迪杰斯特拉算法：迪杰斯特拉算法通过选定的被访问顶点作为出发点, 求该顶点到其他顶点的最短路径；弗洛伊德算法中每一个顶点都是出发点和访问点，求出从每一个顶点到其他顶点的最短路径...),Lij)，vk的取值为图中所有顶点，则可获得vi到vj的最短路径至于vi到vk的最短路径Lik或者vk到vj的最短路径Lkj，是以同样的方式获得图解分析首先需要将各顶点之间的距离转换成邻接矩阵

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