如何在曲率数据集上找到曲线的切线？ - 腾讯云开发者社区

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曲率

曲率用于描述函数弯曲的程度，本文记录定义以及计算方法。定义曲率：针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率。曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。...曲率用 K 表示；切线方向角用 α 表示；弧长用 s 表示；半径用 r 表示。...概念定义：对于连续可微的函数区间上一点 x，其距离无限接近 0 的函数上另一点 x’ ，距离为 \Delta s，函数在点 x 和 x’ 的切线夹角为 \Delta \alpha，那么这两个切线过 x...为曲率半径，长度为 r，那么就有等式：推导过程公式推导设曲线的方程为 y=f(x)，且 f(x) 具有二阶导数。...x 点上的切线角度为 \alpha，\tan \alpha 为 y’=\frac{dy}{dx}，即 \tan \alpha = y’。

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网格测量

所以从定义上看，测地曲率刻画了曲线在曲面内蕴的弯曲程度，而法曲率刻画了曲线在嵌入空间的弯曲程度。...两点之间的最短曲线就是测地线，反过来讲不一定成立，但是从局部上看是成立的。全局上看不一定成立，比如球上连接两点的优弧虽然是测地线，但不是最短距离。...---- 曲率曲率有很多种类，如高斯曲率，平均曲率，测地曲率，法曲率，主曲率等等。测地曲率，法曲率：属于曲线曲率概念。曲面上的曲线有一个曲率向量。...经过曲面某一点有无数条曲线，每条曲线都有法曲率，那么就有最大最小的法曲率，这个最大最小值就是主曲率，对应的曲线在这点的切线方向就是主曲率方向。有时候，最大最小值相等，就退化成脐点。...数字的单位需要用户指定，或者导入的数据文件有标明单位。一般的模型文件，如stl，obj，asc等，都没有单位信息的。导入模型文件后，需要软件用户指定单位。数值计算是没有单位概念的。

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ICDM’21 | ACE-HGNN：自适应曲率探索的双曲图神经网络

它表明，不同的曲率显著影响双曲曲空间中的距离指标。曲率降低时，双曲的嵌入距离会更反映树的结构，因为它接近两个节点的最短路径长度（即双曲曲线图距离）。...其中，和分别是两个智能体的最佳策略，上式可以找到最优曲率。...，但在具有较低双曲性的数据集上表现差。...与其将曲率作为超参数（如κGCN）或学习参数（如HGCN），ACE-HGNN中的自适应曲率探索机制收益更好。我们进一步分析嵌入失真、曲率探索和注意力权重，以研究ACE-HGNN的表征能力。...为了进一步说明曲率对聚合邻居信息的影响，我们可视化不同δ的数据集上 HGNN-智能体邻居聚合的注意力权重。下图（Figure 8）显示了较低δ的数据集上，中心节点更关心他们父节点（关注层级关系）。

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如何优雅的构造完美的麦克纳姆轮辊子？

我们的目标是使得辊子的包络线完全在一个整圆上，该圆也就是麦克纳姆轮的设计圆。...2、只要能找到一条连接辊子轴线两端并经过正确的辊子表面的曲线，而不用管该线段的走势方向，就可以通过扫略的方式获得正确的辊子外表面，说白了形成辊子表面无需母线这样规则而优雅的曲线，弯弯扭扭的也行。...3、由于辊子的对称性，沿着切线画垂直于两曲面的垂面应当通过辊子轴线。你可以这么理解：将切线离散化为无数个点，通过这些点做两曲面的垂线是不是肯定会与辊子轴线相交？无数的垂线最终构成垂面。...4、第3点的解释反过来其实就是UG中沿面的法向投影，即通过辊子轴线往设计圆柱面上做法向投影得到的曲线才是正确辊子表面曲线。真切线实际为一条3D曲线，曲率复杂度远高于椭圆。...该切线与辊子轴线形成的直纹面也是一块曲率复杂的3D曲面（有扭曲存在）。

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暑期追剧学AI | 十分钟搞定机器学习中的数学思维（二）

5.在梯度曲线负方向上，重复这一步骤，接近最小值后我们也就得到了所选模型的最佳权值。此时梯度为0，这时该模型就能对输入数据做出预测。...一阶导数告诉我们，函数在某一点上是趋于增加还是减少。二阶导数则告诉我们，一阶导数的增减情况。通过一阶优化法，我们可以得到一条经过误差曲面上某一点的切线。...根据牛顿法，我们要先得出切线在那一猜测点上的斜率，然后求出切线与X轴的交点。我们用这个交点找到原始函数的映射点，然后我们重复之前的步骤。这一次，我们用得到的映射点作为初始值。...二阶法适用范围通常一阶方法的计算量和耗时比较少，当计算大型数据集时一阶收敛非常快，当二阶导数已知并且很容易计算的时候，二阶方法会更快。但是二阶导数通常很难算，需要极大的计算量。...关于比赛上周代码挑战的获胜者是 Alberto Garces！Alberto 利用梯度下降法找到了最优曲线，他的 Jupyter notebook 无敌详细！光读他写的笔记你都能学会梯度下降法！

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数控铣进给路线的分析确定

图2 内轮廓加工刀具的切入和切出铣削封闭的内轮廓表面时，若内轮廓曲线允许外延，则应沿切线方向切入切出。...当采用图6(b)所示的加工方案时，符合这类零件数据给出情况，便于加工后检验，叶形的准确度高，但程序较多。...在此情况下，曲面的曲率变化会导致球头刀与曲面切削点的位置改变，因此切削点的连线ab是一条空间曲线，从而在曲面上形成扭曲的残留沟纹。...图8 二轴半坐标加工图9 三坐标加工　　由于二轴半坐标加工的刀心轨迹为平面曲线，故编程计算比较简单，数控逻辑装置也不复杂，常在曲率变化不大及精度要求不高的粗加工中使用。...如图9所示，Pyz平面为平行于yz坐标面的一个行切面，它与曲面的交线为ab，若要求ab为一条平面曲线，则应使球头刀与曲面的切削点总是处于平面曲线ab上(即沿ab切削)，以获得规则的残留沟纹。

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曲线检测器是否为可解释性带来了出路？

如果我们想了解神经元实际上是如何工作的，我们应该直接观察他对数据集中图像的实际反映。 3 数据集分析由于一些实验需要大量的工作量，当我们研究数据集时，我们将重点关注3b:379的曲线。...7 人为合成曲线尽管数据集给我们提供了几乎所有可以想象到的曲线，但是它们并没有诸如方向或半径之类的标注数据，这使得回答那些需要系统地测量视觉属性响应（曲率、方向、颜色等）的问题变得很困难。...本节中的实验在很大程度上受到了类似的研究曲线探测生物神经元的实验的启发。由于数据集表明曲线对于方向和曲率最为敏感，因此我们将使用这两个属性作为曲线渲染器的参数。...对数据集的分析显示，曲线探测器对于光照、颜色这种装饰性的特征具有不变性，我们可以通过人为合成的刺激验证这一点。图 15：曲线对于填充度和颜色具有不变性。...8 人为合成夹角我们的合成曲线实验和数据集分析都表明，虽然曲线对方向很敏感，但是它们对曲线半径有很大的容忍度。

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MuRP | 双曲空间下知识图谱链路预测新方法

1 研究背景然而，在分层多关系图数据结构中，双曲空间嵌入方法性能却不如欧几里得模型。因为在双曲空间中很难找到一种方式来表示跨关系共享的实体(节点)，使得它们在不同的关系下形成不同的层次。...WN18RR是分层的，而FB15k-237不是分层的，所以该研究还在包含75492个实体和200个关系的NELL-995数据集上进行了对比实验，该数据集包含22%的分层数据，以观察文章提出的MuRP模型在分层数据集上的性能...实验发现，这两个模型在WN18RR数据集的最佳学习率为50。在FB15k-237数据集的最佳学习率为10。实验将批次大小设置为128，负样本数为50，MuRP的曲率设置为c=1。...表1 WN18RR和FB15k-237上的链接预测结果从表中可以观察到，MuRE在非分层的FB15k-237数据集上的性能略好一些，而MuRP在WN18RR上的性能要好。...一系列实验结果表明，MuRP在分层多关系数据集上的链路预测任务上优于MuRE和现有模型，并且需要更低的维度就能获得与其欧几里德类似模型相当的性能。

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【图形学】贝塞尔与B样条曲线曲面笔记

参数曲线曲面和数学(P2~P8) 参数方程的优势参数方程形如, 即由组成的一个有界点集, 其中t是参数, 样条曲线就常用参数方程表达, 有下面几个优势: 几何不变性: 只与点间相对位置有关, 与坐标系选择无关...参数方程中的曲线几何性质切向量: 单位切向量: 曲率: 对切向量再求导曲率半径: 曲率的导数法向量: 切向量T和副法向量B的叉乘挠率: 曲线的扭曲程度(离开密切面的程度), 与副法线的夹角在弦长上的导...描述曲线的平滑, 最好能够: 尽量高阶的连续性没有多余的拐点和奇异点曲率变化较小曲线连续性参数连续性: 0阶连续性, 判断处的两端点的值相同 1阶连续性, 判断处的两端一阶导相同 2阶连续性,...: 处最大积分: 凸包: 曲线落在控制点产生的凸包中, 使得控制点重合或共线时也能正常计算贝塞尔曲线性质端点性: 曲线只会经过头尾两个端点导函数: 曲线的起点与终点的切线和第一与倒数第一条特征线一致...组合分段曲线要注意头尾拼接的问题, 常用的拼接需要满足连续性, 由于贝塞尔曲线曲线的起点与终点的切线和第一与倒数第一条特征线一致, 因此只要保证连接的两段贝塞尔曲线的连接点和相邻两点形成的三点共线即可.

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数据可视化之下发图实践

自主绘制的地图主要利用了墨卡托投影原理，将地球正轴圆柱投影，由经纬度信息转化到画布上对应的位置。本文案例中用了 d3.js 中的 geoMercator 进行墨卡托投影转换。...] [8593a40bbc483380f1e12067e8c1555f.png] 上图为本文案例中飞线的贝塞尔曲线应用，其中 from 为起点，to 为终点，curveness 为曲线的曲率，取值-1...~ 1，曲率的绝对值越大，曲线越弯曲，percent为飞线位置占比。...发光的头部是一个类似棉签棒的形状，该形状可以用一个半圆和一个三角形来绘制，再根据曲线的切线，获取三角形以及半圆的旋转角度。...5.透视如果不调整透视角度，贝塞尔曲线的样式如下图所示： [79fbf089df88be4a704ab616b0db904e.png] 当曲线与下发方向的角度呈90度时，曲率最大；角度为0度或者180

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【Autoware】PurePursuit纯跟踪控制节点

纯跟踪算法（pure pursuit）的思想就是：把阿克曼转向的车辆抽象成自行车两轮模型，构建前轮转角和后轴曲率的约束关系，然后以车后轴为切点，车辆纵向车身为切线，控制车辆后轴中心经过轨迹上一系列的点。...在示意图中，(Cx，Cy)表示当前智能车的位置坐标，(Gx, Gy)表示跟踪轨迹的预瞄点的位置坐标，Ld为预瞄点到车辆后轴中心的距离即预瞄距离，R表示跟踪的曲率半径。...算法改进使用后发现pure pursuit只能用于一些简单的场景，如直线道路上的循迹；对于一些复杂的路径跟踪效果较差，例如U型/S型等曲线路径。...动态调整预瞄距离的计算规则：与车速的关系；与跟踪轨迹曲率的关系；跟踪轨迹曲率K计算。...之后要做的事：如何做算法改进；如何手撕算法；针对具体问题，如做倒车场景下的轨迹跟踪。

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入门深度学习，理解神经网络、反向传播算法是第一关

初学者最好从计算机视觉入手，因为它不像语音等领域需要那么多的基础知识，结果也比较直观。例如，用各种网络模型来训练手写数字（MNIST）及图像分类（CIFAR）的数据集。...我们用眼睛看到某样东西，可以一下子看出它的一些基本特征。可是计算机呢？它看到的只是一堆数字而已，因此要让机器从事物的特征中找到规律，其实是一个如何在数字中找规律的问题。 ?...如果在曲线的最底端画一条切线，那么这条切线一定是水平的，在图中可以把横坐标轴看成是这条切线。...而我们要做的是从十万乃至亿万张这样的图片中找规律，这可能吗？很显然，前面的那些回归方法已经不够用了，我们急需找到一种数学模型，能够在此基础上不断减少特征，降低维度。...在你的问题中，首先要找到某些问题的一些特征，以及对应的评价数据，用这些数据来训练神经网络。 - BP神经网络主要是在实践的基础上逐步完善起来的系统，并不完全是建立在仿生学上的。

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使用矩阵运算加速实现神经网络误差的反向传播

回想前面我们说过的用矩阵驱动神经网络数据加工链所说的，用矩阵来表示神经元链路的内容，那里提到如何用矩阵运算上一层节点如何把信号传递给下一层节点时，用到了下面公式： ?...在数值运算中有一种办法叫牛顿下山法，它是一种如何在由非线性函数构成的复杂曲面找找到极值的方法，这种方法有点像一个人如何从山顶上下山。...我们不管一个函数形成的曲线或曲面有多复杂，我们只要在给定点上做这条曲线或曲面的切线，如果切线的斜率表明切线是向下倾斜的，那么朝着切线的方向增大或减小变量的值，那么根据函数计算出来的值就会相应的变小。...上图中的蓝色曲线就是函数y，假设当前x的值对应于红色点处，现在我们要看x的值是增大还是减少才能让y的值变小，于是我们就在红点出做一条曲线的切线，也就是带箭头的那条绿色直线，这时我们发现切线的斜率是负值，...我们找改点处对应的曲线的切线，发现切线的斜率是正的，也就是说，只要我们减少x的值，y值就能相应的降低，于是我们”适当“的减少x的值，我们从红点所在处来到粉色点所在处，不难发现，粉色的对应的y值比红色点对应的

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ICLR 2024 Oral｜用巧妙的「传送」技巧，让神经网络的训练更加高效

图 3 通过可视化的方式展示了一个梯度流 L (w) 和一条极小值上的曲线（γ），这两条曲线的曲率对应着极小值的锐度和曲率。此外，表中还显示了测试集上的损失与锐度或曲率之间的 Pearson 相关性。...在三个数据集中，锐度与验证损失呈强正相关，而极小值的曲率则与验证损失呈负相关。这些发现表明，具有较小锐度或较大曲率的极小值，可能会带来更好的泛化效果。...图 3：展示了一个梯度流 L (w) 和一条极小值上的曲线（γ）这些相关性的一种解释来源于损失地形（loss landscape）在不同数据分布上的变化。...通过传送改变曲率对泛化能力有更显著的影响。传送到曲率较大的点有助于找到具有较低验证损失的极小值，而传送到曲率较小的点则产生相反的效果。这表明至少在局部，曲率与泛化相关。...其他可能的应用包括将传送扩展到不同的架构，如卷积或图神经网络，以及不同的算法，如基于采样的优化。

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微积分的发现是人类精神的最高胜利

开普勒已经观察到，一个函数的增量通常在函数的极大、极小值处变得无限地小。费马利用这一事实找到了求函数极大、极小值的方法。它的根是使函数取极小值的。费马还创造了求曲线切线的方法。...费马还创造了求曲线切线的方法。这些方法的实质都是求导数的方法。曲线的切线问题和函数的极大、极小值问题都是微分学的基本问题。正是这两个问题的研究促进了微分学的诞生。...求曲线的切线。这是一个纯几何的问题，但对于科学应用具有重大意义。例如在光学中，透镜的设计就用到曲线的切线和法线的知识。...这是他超越前人的功绩，正是在这样的意义下，我们说牛顿发明了微积分。在《流数简论》的其余部分，牛顿讨论了求曲线切线、曲率、拐点，求曲线长度、求曲线围成的面积，求引力与引力中心等16类问题。...在数学上，除了微积分，他的代数名著《普遍算术》，包含了方程论的许多成果，如虚数根成对出现、笛卡儿符号法则的推广、根与系数的幂和公式等等；他的几何杰作《三次曲线枚举》，首创对三次曲线的分类研究，这是解析几何发展一个新的高峰

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使用Python+OpenCV探索鲸鱼识别

使用曲率积分和动态时间规整，让我们深入研究抹香鲸识别！前言最近，我们参加了Capgemini的全球数据科学挑战赛。...探索我们的数据集，分析图片如引言中所述，我们得到了数千张图片。乍一看，鲸鱼就是鲸鱼，所有这些图片看上去都像是一个蓝色背景（天空和大海），中间有一个灰色斑点（尾巴）。...曲率积分原理最后，我们定义曲率如下：曲率是曲线下到正方形总面积的面积，这意味着直线的曲率值为c = 0.5 因此，我们获得了标准化信号，与鲸鱼和摄影者之间的距离无关、与鲸鱼和摄影者之间的角度无关、并且与鲸鱼和海洋之间的倾角无关...数据集的每个尾巴都转换为“积分曲线信号”，我们计算了所有尾巴之间的距离，以发现最接近的那些尾巴。...首先，曲率积分是一种通过查看曲线的局部变化对信号进行归一化的方法，然后，我们使用了动态时间规整，这是两条曲线之间的距离计算方法，即使移动了两条曲线也可能会发现两条曲线之间的相似性。

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多元微积分-向量分析上

如果散度为正，表示该点有源（如正电荷）；如果散度为负，表示该点有汇（如负电荷）；如果散度为零，表示该点既不是源也不是汇。...定义：在空间曲线上的某一点，与曲线在该点处的切向量方向一致的直线称为切线。几何意义：切线表示曲线在该点处的局部线性近似。...法平面定义：过空间曲线上一点的切线的所有垂直平面称为法平面。几何意义：法平面表示曲线在该点处的所有可能的方向。求法：法平面与切向量垂直，因此法平面的法向量就是切向量。...假设有一条空间曲线，其参数方程为： r(t) = t²i + t³j + tk 求当 t=1 时曲线的切线和法平面方程。...空间曲线的切线反映了曲线在某一点的局部方向。法平面则表示了曲线在该点处的所有可能的方向。曲率：描述曲线弯曲程度的量。挠率：描述曲线偏离平面曲线的程度。

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CurcveLane-NAS：华为&中大提出一种结合NAS的曲线车道检测算法

在诸如CULane之类的传统车道基准数据集上进行的大量实验也证明了本文的CurveLane-NAS的优势，例如在CULane上获得了新的SOTA 74.8％F1得分。...此外，由于插值的原因，曲线车道的曲率对于远处的部分会大大增加，这使得这些远处的部分很难被追踪到。此外，实时的硬件限制和各种恶劣的场景如恶劣的天气/光线条件也限制了模型的能力。 ?...为了更好地衡量具有挑战性的曲线车道检测性能并促进对困难路况的研究，本文引入了一个新的大规模车道检测数据集，名为CurveLanes，该数据集包含150K图像和经过仔细标注的680K曲线车道标签，并精心挑选所有图像...同时对包括TuSimple和CULane在内的多个现有车道检测基准数据集进行了广泛的实验，结果证明了方法的有效性，例如本文的模型优于SCNN 和SAD ，并CULane数据集上在FOLPS降低的情况下获得了新的...如何在骨干网络的不同阶段利用其计算成本进行最佳的车道网络设计？

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ECEF和大地坐标系的相互转化

简而言之，遇到的问题如下图所示。 ? 一开始想着能不能直接在某个文献中直接找到与程序算法一致的处理流程，但找了很久都没能如愿。...最后，只能想着彻底从平面几何上理解这个数学推导过程，从而再尝试理解为什么程序会那么写。在查找介绍大地坐标系的文献中，总能看到酉卯圆曲率半径这个名词。...百度百科上给的定义是：过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈，如下图中的PEE′所示。 ?...其中，Pn就称为酉卯圆曲率半径，PT则为椭圆的切线，角B则是酉卯圆曲率半径与长轴的夹角，称为纬度（也就是说通常意义上某个点的纬度并不是该点到地心的连线与长轴的夹角！）。 ?...这个事情证明，不会推公式的算法程序员是不合格的。找到的现成理论依据在复杂编程问题时可能会不够高效，或者当算法流程稍作改变时就会看不懂别人写的程序了。

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无人驾驶常用路径规划

路径规划的定义路径规划方法是在障碍物环境下，按照一定的评价标准规划出一条从起始状态(位置，姿态)到目标状态的无碰路径，主要考虑局部移动主体和障碍物之间的几何关系，找到一条不发生碰撞的路径。...Dubins路径方法 Dubins路径是生成光滑路径最常用、最广泛、最出名的一种方法。其表示机器人向前行驶的最短路径，通过两个圆弧和直线段组成，其中直线段部分是对应的圆弧的切线。...CC转向路径是一种特殊的螺旋曲线，它的曲率随着曲线长度的变化而变化，但是曲率一直是连续变化的**。...但是其生成的路径在长度上有可能就不是最短的了，而且生成的路径曲线的坐标（x，y）无法直接闭环来表示，只能通过对曲线长度s进行积分得到，计算成本较大。...基于仿生学的路径优化算法该方法准要是模拟一些生物上的生理特点进行的算法，如遗传算法、CNN、蚁群优化、栗子滤波等等。

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网格测量

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