【编者按】本文解释高斯过程回归的由来及其优势，除了揭示了高斯过程回归和Ridge回归的联系，还介绍了贝叶斯优化的具体实现。作者认为，高斯过程是一个非常包罗万象的根基，类似于小无相功。...Regression)的文章很少，且往往从高斯过程讲起，我比较不以为然：高斯过程回归（GPR）， 终究是个离散的事情，用连续的高斯过程( GP) 来阐述，简直是杀鸡用牛刀。...所以我们这次直接从离散的问题搞起，然后把高斯过程逆推出来。 这篇博客的主要目的是解释高斯过程回归这个主意是怎么想出来的，模型多了去了，为毛要用它。...先说一说 高斯过程回归 的 Intuition: ?...我们仔细观察一下上面那个蓝色的框框 ? 所以说，ridge回归是一种最最最最简单的高斯过程回归，核函数就是简单的点积！
核函数（协方差函数） 高斯过程可视化 高斯过程回归实现 超参数优化 多维输入 高斯过程回归的优缺点 一元高斯分布 我们从最简单最常见的一元高斯分布开始，其概率密度函数为 其中 和 分别表示均值和方差，...由于高斯过程回归是一种非参数化 (non-parametric)的模型，每次的 inference 都需要利用所有的训练数据进行计算得到结果，因此并没有一个显式的训练模型参数的过程，所以 fit 方法只需要将训练数据保存下来...超参数优化 上文提到高斯过程是一种非参数模型，没有训练模型参数的过程，一旦核函数、训练数据给定，则模型就被唯一地确定下来。...核函数本质上决定了样本点相似性的度量方法，进行影响到了整个函数的概率分布的形状。上面的高斯过程回归的例子中使用了 的超参数，我们可以选取不同的超参数看看回归出来的效果。 ?...多维输入 我们上面讨论的训练数据都是一维的，高斯过程直接可以扩展于多维输入的情况，直接将输入维度增加即可。
本文是对《机器学习-原理、算法与应用》一书的补充，限于篇幅，在这本书中没有讲述高斯过程回归和自动化机器学习的知识。 1 黑盒优化问题 绝大多数机器学习算法都有超参数。...这些超参数可以分为两种类型，定义模型及结构本身的参数，目标函数与优化算法（求解器）所需的参数。前者用于训练和预测阶段，后者只用于训练阶段。...在训练时需要人工设定它们的值，通过反复试验获得好的结果，整个过程会耗费大量的时间和人力成本。因此如何自动确定超参数的值是AutoML中一个重要的问题。...对模型进行评估即计算目标函数的值在很多情况下成本高昂，因为这意味着要以某种超参数配置训练机器学习模型，并在验证集上计算精度等指标。...图3 贝叶斯优化的原理 2 高斯过程回归 2.1 高斯过程 多维高斯分布具有诸多优良的性质。
在这篇文章中，我们将首先看看Lasso和Ridge回归中一些常见的错误，然后我将描述我通常采取的步骤来优化超参数。代码是用Python编写的，我们主要依赖scikit-learn。...Elastic Net 值得注意的是，您还可以将同一模型中的两个惩罚与Elastic Net结合起来。您需要在那里优化两个超参数。在本指南中，我们将不讨论此选项。...训练数据得分立即下降，验证数据得分上升一段时间，然后下降： 总结:使用R²或另一个基于差异的平方模型作为回归的主要评分。 本文的方法 在这一节中，我将介绍我用来准备数据和拟合正则化回归的方法。...这个过程的一个有趣之处在于，我们也在绘制测试分数: 取训练数据集和alpha值; 进行交叉验证，保存培训和验证分数; 假设这是我们选择并拟合模型的alpha值，而不需要对整个训练数据进行交叉验证; 计算该模型将对测试数据实现的分数...总结 这就是我为Lasso和Ridge做超参数调整的方法。
① 基于GPR的贝叶斯优化 高斯过程回归，是基于高斯过程的贝叶斯推断方法。 高斯过程，就是一个高斯分布的随机过程。我们对x和y做的一个先验假设：每一个对应的，都是一个高斯分布。...然后我们再来看高斯过程回归，所谓回归，就是根据一些观测点（也可以称为训练数据），来进行一些推断。上面的高斯过程描述了的过程，高斯过程回归就是想基于我们得到的一些观测点来得到条件分布。...由于多维高斯分布的良好性质，条件分布也会是一个高斯分布，所以可以根据的分布以及来直接推出，具体就不赘述了。...还是看sklearn的例子，在得到一些观测点之后，我们就可以推出后验分布： 高斯过程的后验分布，来源：sklearn 这样，每观测到一个新的点，就可以更新一次我们的总体分布，这个过程就叫高斯过程回归（...好，上面是知道了高斯过程回归是咋回事，现在的问题是：已知了一些超参数的观测结果，如何选择下一个超参数在何处取？
网上讲高斯过程回归的文章很少，且往往从高斯过程讲起，我比较不以为然：高斯过程回归（GPR）， 终究是个离散的事情，用连续的高斯过程( GP) 来阐述，简直是杀鸡用牛刀。...高斯过程回归(GPR)和贝叶斯线性回归类似，区别在于高斯过程回归中用核函数代替了贝叶斯线性回归中的基函数（其实也是核函数，线性核）。 ...来看看多维高斯分布的一些重要性质，第一个性质为两个相互独立的多维高斯分布A和B的和也是一个多维高斯分布C，且C的均值和方差都为A和B均值方差的和。...由贝叶斯线性回归和高斯过程回归的对比可知，贝叶斯线性回归是高斯过程回归中的一个子集，只是它用的是线性核而已，通过两者的公式就可以看出它们之间的关系： ? ...现在新来了一个样本点，要求是用高斯回归过程来预测新来样本点的输出值。这些样本点显示如下; ? 其中前面6个点是已知输出值的训练样本，其值为： ?
本文是在上一篇推文基于Python的随机森林（RF）回归与变量重要性影响程度分析的基础上完成的，因此本次仅对随机森林模型超参数自动择优部分的代码加以详细解释；而数据准备、模型建立、精度评定等其他部分的代码详细解释...其中，关于基于MATLAB实现同样过程的代码与实战，大家可以点击查看基于MATLAB的随机森林（RF）回归与变量重要性影响程度排序。 ...关于上述超参数如果大家不是太了解具体的含义，可以查看基于Python的随机森林（RF）回归与变量重要性影响程度分析的1.5部分，可能就会比较好理解了（不过其实不理解也不影响接下来的操作）。 ...之后，我们对random_forest_model_test_random加以训练，并获取其所得到的最优超参数匹配组合best_hp_now。...1.5 模型运行与精度评定 结束了上述超参数择优过程，我们就可以进行模型运行、精度评定与结果输出等操作。
下一节将介绍什么是高斯过程。 高斯过程的数学理论 上面已经看到，当参数数量增加时，线性回归模型存在维度诅咒问题。解决这个问题的方法是对参数进行期望处理，并创建一个不需要计算参数的情况。这是什么意思呢？...在拟合过程中，只需要通过核函数计算协方差矩阵，输出 y 分布的参数被确定为恰好为1。除了核函数的超参数外，高斯过程没有训练阶段。...新数据点的分布也遵循高斯分布，因此我们可以将其描述为: 还记得最前面的公式(2)，条件多元高斯分布的参数。 将此公式代入式(11)，得到的参数为: 这是高斯过程回归模型的更新公式。...数据点较多的区域具有较窄的置信区间，而数据点较少的区域则具有较宽的区间。 3、多维数据的高斯过程模型 我们将使用scikit-learn中的糖尿病数据集。...比如说更改内核的选择或超参数优化，或者收集更多的数据。 总结 本文讨论了高斯过程的数学理论和实际实现。当拥有少量数据时，这种技术是非常有帮助的。但是由于计算量取决于数据的数量，它不适合大数据。
超参数就使用了它。...机器学习中的大多数现代技术都倾向于通过参数化函数，然后对这些参数（例如线性回归中的权重）进行建模来避免这种情况。 然而，GP是直接对函数建模的非参模型。...让我们使用更多维度，并在更大范围的输入中查看他的外形： 用先验和观测进行预测 现在我们有了函数的分布，我们如何通过训练数据拟合隐函数从而进行预测？ 首先，我们需要获取训练数据。...高斯过程回归和噪声数据处理 实际上，我们需要做更多的工作才能得到更好的预测结果。你可能已经注意到核中包含两个参数-σ和l。...事实上，任何用到核的函数，我们都可以通过改变核得到一个完全不一样的函数（例如，周期函数）。 核的选择需要人工进行，但参数可以通过最小化损失函数来自动优化。这就是高斯过程回归的内容。
附录包括高斯过程回归推导，SKLearn 的 GP 实现和 GP 分类器的快速回顾。...在这里，我们描述两种方法，可以巧妙地设置超参数，并给出一些采样数据。 交叉验证 交叉验证是设置超参数的标准方法。这需要将可用的样本数据分为训练集和验证集。...训练集通过一系列超参数进行 GP 拟合，然后在已有的验证集上评估模型的准确性。然后，通过选择不同的超参数重复这个过程，选择可以使验证集表现最优的一组。...这种情况下，随着训练点数量的增加，最优超参数可以快速变化，意味着通过交叉验证得到的最优选择可能远不如训练一个完整样本集得到的最优集合 [3]。 设置超参数的另一种常见方法是使边缘似然最大化。...使得可以在任何维度上进行拟合和采样——即它比我们的最小类更一般，因为它可以在多维上拟合特征向量。另外，SKLearn 类的拟合方法尝试为一组给定的数据找到一组最佳的超参数。
本文从理论推导和实现详细地介绍了高斯过程，并提供了用它来近似求未知函数最优解的方法。 高斯过程可以被认为是一种机器学习算法，它利用点与点之间同质性的度量作为核函数，以从输入的训练数据预测未知点的值。...在这里，我们描述两种方法，可以巧妙地设置超参数，并给出一些采样数据。 1. 交叉验证 交叉验证是设置超参数的标准方法。这需要将可用的样本数据分为训练集和验证集。...训练集通过一系列超参数进行 GP 拟合，然后在已有的验证集上评估模型的准确性。然后，通过选择不同的超参数重复这个过程，选择可以使验证集表现最优的一组。 2....这种情况下，随着训练点数量的增加，最优超参数可以快速变化，意味着通过交叉验证得到的最优选择可能远不如训练一个完整样本集得到的最优集合 [3]。 设置超参数的另一种常见方法是使边缘似然最大化。...使得可以在任何维度上进行拟合和采样——即它比我们的最小类更一般，因为它可以在多维上拟合特征向量。另外，SKLearn 类的拟合方法尝试为一组给定的数据找到一组最佳的超参数。
在模型开始学习过程之前人为设置值的参数，而不是（像bias、weights）通过训练可得到的参数数据。 这些参数定义关于模型更高层次的概念（模型复杂性、学习能力等）。...但学习速率却又是十分重要的，较大的学习速率不易令模型收敛到较合适的较小值解，而较小的学习速率却又常常令模型的训练速度大大降低。对于像学习速率这样的超参数，我们通常需要在训练模型之前设定。...高斯过程是函数的分布。来自高斯过程的样本是整个函数。训练高斯过程涉及将此分布拟合到给定数据，以便生成接近观察数据的函数。使用高斯过程，可以计算搜索空间中任何点的EI。接下来将尝试给出最高的EI。...对于这个问题，高斯过程是一种优雅的方法。实际上，高斯过程生成多维高斯分布，并且存在足够灵活以模拟任何目标函数的模样。 [013.png?...Spearmint（高斯过程代理） SMAC（随机森林回归） Hyperopt（Tree Parzen Estimator-TPE） 7.
这里补充几点： # 1.上面的图中只有一个点，实际可以有无限多个点，这就是为什么说SVM可以将数据映射到多维空间中。计算一个点的距离就是1维，2个点就是二维，3个点就是三维等等。。。...开启的话会评估数据到每个分类的概率，不过这个会使用到较多的计算资源，慎用！！ - tol：停止迭代求解的阈值，单精度类型，默认为1e-3。逻辑回归也有这样的一个参数，功能都是一样的。...- verbose：输出详细过程，int类型，默认为0（不输出）。当大于等于1时，输出训练的详细过程。仅当"solvers"参数设置为"liblinear"和"lbfgs"时有效。...# “rbf”：高斯核函数，这个可以映射到无限维度，缺点是计算量比较大 # “sigmoid”：Sigmoid核函数，对，就是逻辑回归里面的那个Sigmoid函数，使用Sigmoid的话，其实就类似使用一个一层的神经网络...3.2 sklearn-SVM参数，多分类方案 其实这个在逻辑回归里面已经有说过了，这里还是多说一下。 原始的SVM是基于二分类的，但有些需求肯定是需要多分类。那么有没有办法让SVM实现多分类呢？
在Skicit-learn中，支持向量机是通过超参数C，来控制这个平衡的，C越小，能够获取到更宽的的分类间隔，但是有很多的误分类点，下图中就展示了在线性不可分的数据集上，两种不同软间隔支持向量机。...左图是使用较小的超参数C计算的支持向量机，决策间隔较大，但是出现很多的样本在分类间隔中导致不可分，右图是使用较大的参数C计算的支持向量机，得到了较小的决策间隔，较少的误分类点。...另外，如果你的训练的软间隔支持向量机出现了过拟合情况，也可以通过降低超参数C的值来达到正则化的目的。 下面我们通过支持向量机来对Iris进行分类。...四、高斯核函数 另外一个处理非线性问题的方式是，使用一个相似性函数，计算每个实例和选定的标识的相似度作为特征加入到训练集中。...和之前一样gamma和C像是正则化参数，如果出现过拟合或欠拟合，可以调整这两个参数值来达到最优的结果。 五、回归问题 文章刚开始出，我们提到支持向量机还能解决线性回归问题和非线性回归问题。
在Skicit-learn中，支持向量机是通过超参数C，来控制这个平衡的，C越小，能够获取到更宽的的分类间隔，但是有很多的误分类点，下图中就展示了在线性不可分的数据集上，两种不同软间隔支持向量机。...左图是使用较小的超参数C计算的支持向量机，决策间隔较大，但是出现很多的样本在分类间隔中导致不可分，右图是使用较大的参数C计算的支持向量机，得到了较小的决策间隔，较少的误分类点。...另外，如果你的训练的软间隔支持向量机出现了过拟合情况，也可以通过降低超参数C的值来达到正则化的目的。 下面我们通过支持向量机来对Iris进行分类。 ?...但是，上面的标识应该如何选取呢，一个简单的方法是对数据集上的每个实例都创建一个标识，这会创建很多维度，也增加了转换之后数据集的线性可分的概率。...和之前一样gamma和C像是正则化参数，如果出现过拟合或欠拟合，可以调整这两个参数值来达到最优的结果。 五、回归问题 文章刚开始出，我们提到支持向量机还能解决线性回归问题和非线性回归问题。
高斯过程回归（GPR）是一种非参数化的贝叶斯方法，用于解决回归问题。与传统的线性回归模型不同，GPR 能够通过指定的核函数捕捉复杂的非线性关系，并提供不确定性的估计。...GPR 算法简介GPR 的定义高斯过程回归（Gaussian Process Regression, GPR）是一种基于高斯过程的统计模型，用于处理回归问题。...GPR 算法的数学基础高斯过程回归的数学模型高斯过程回归（GPR）的数学模型可以通过以下步骤来描述：定义高斯过程：高斯过程是一个由多变量正态分布定义的随机过程。...超参数选择与优化GPR 模型的超参数包括核函数的参数和噪声项。超参数选择通常通过最大化对数似然函数来实现。...sklearn 中的 GaussianProcessRegressor 和核函数，用于构建和训练高斯过程回归模型。matplotlib 用于数据可视化。
从AlphaGo到AlphaGo Zero，Deepmind在MCTS超参数自动调优上一直表现出对高斯过程优化的信心，而这的确是它的优势领域。...当涉及丰富的建模可能性和大量随机参数时，高斯过程十分简单易用。 但是，掌握高斯过程不是一件简单的事，尤其是如果你已经用惯了深度学习常用的那些模型。...高斯过程（GP）是一种强大的模型，它可以被用来表示函数的分布情况。当前，机器学习的常见做法是把函数参数化，然后用产生的参数建模来规避分布表示（如线性回归的权重）。...——Yarin Gal 为了更好地介绍这一概念，我们假定一个没有噪声的高斯回归（其实GP可以扩展到多维和噪声数据）： 假设有一个隐藏函数：f：ℝℝ，我们要对它建模； fx 用高斯建模函数 GP背后的关键思想是可以使用无限维多变量高斯分布来对函数进行建模...在下篇文章中，我将集中讲解高斯过程回归和噪声数据，敬请期待！
机器学习模型中有大量需要事先进行人为设定的参数，比如说神经网络训练的batch-size，XGBoost等集成学习模型的树相关参数，我们将这类不是经过模型训练得到的参数叫做超参数(Hyperparameter...网格搜索使用每组超参数训练模型，挑选验证集误差最小的超参数作为最好的超参数。sklearn中通过GridSearchCV方法进行网格搜索。...贝叶斯优化是一种基于高斯过程(Gaussian process)和贝叶斯定理的参数优化方法，近年来被广泛用于机器学习模型的超参数调优。...常用的核函数包括高斯核函数(径向基核函数)、常数核函数、线性核函数、Matern核函数和周期核函数等。 高斯核函数形式如下： ? 下面我们基于sklearn的高斯过程接口实现一个高斯过程回归模型示例。...我们通过一些数据点来基于高斯过程回归进行拟合。
高斯过程的特点： 非参数特性：高斯过程能够适应数据的复杂性，因为它们不依赖于固定数量的模型参数。 概率预测：高斯过程的预测可以量化，因为它们以概率分布的形式提供预测结果。...超参数的边缘化：通过消除对超参数调整的明确需求，它们对超参数进行边缘化，从而使模型更简单。 均值函数 在高斯过程中，所建模函数在每个输入点的预测值由均值函数表示。...1.2 高斯过程回归的概念 对于回归任务，采用一种称为高斯过程回归的非参数概率机器学习模型。它是建模输入与输出变量之间复杂和模糊交互的强大工具。...选择核函数：选择一个适合你问题的协方差函数（核）。核的选择会影响高斯过程回归可以建模的函数形状。 参数优化：通过最大化数据的似然性来估计核函数的超参数。这可以使用诸如梯度下降等优化技术来完成。...预测：给定一个新的输入，使用训练好的模型进行预测。高斯过程回归提供了预测的均值以及相关的不确定性（方差）。
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