其实MBGD是一种介于SGD和BGD两种方法之间的一种折中的梯度下降法，一旦知道批量和随机梯度下降就很容易理解小批量梯度下降：在每一步中，不是基于完整训练集（如BGD）或仅基于一个实例（如SGD中那样）...多项式回归和学习曲线 2.1 多项式回归 如果你的数据实际上比简单的直线更复杂呢？我们仍然可以使用线性模型来拟合非线性数据。...请注意，正则化只应在数据训练期间被添加到代价函数中。 一旦模型训练完成，我们就需要使用非正则化的测量值来评估模型的表现。 超参数α控制你想要正则项惩罚模型的程度。...例如，上图（α= 10-7）右边的虚线看上去是二次的，高阶多项式特征的所有权重等于零。 换句话说，Lasso回归自动执行特征筛选并且输出稀疏模型（即，具有很少的非零特征权重）。...然后讲解了如何将多项式回归用于复杂的非线性数据中，最后学习了减少模型过拟合的三种常见的正则化模型方法。
首先回顾一下Logistic回归，根据log()函数以及Sigmoid函数的性质，有： ? 同时，Logistic回归的代价函数（未正则化）如下： ? 为得到SVM的代价函数，我们作如下修改： ?...8.2 Large margin intuition 根据8.1中的代价函数，为使代价函数最小，有如下结论： ? 现假设C很大（如C=100000），为使代价函数最小，我们希望 ?...8.4 Kernels 上述的讨论都是基于线性可分的样本，即存在一个划分超平面可以将训练样本正确分类，然而现实世界存在大量复杂的，非线性分类问题(如4.4.2节的异或/同或问题)。...Logistic回归处理非线性问题可以通过引入多项式特征量作为新的特征量；神经网络通过引入隐藏层，逐层进化解决非线性分类问题；而SVM是通过引入核函数(kernel function)来解决非线性问题。...对于第二个问题，常用的核函数有线性核，高斯核，多项式核，Sigmoid核，拉普拉斯核等，现以常用的高斯核(Gaussian)为例。 ? 高斯核具有如下性质： ? image.png ?
线性回归可以通过两种方法进行求解：一种是基于梯度下降法的迭代优化，另一种是基于闭式推导的解析解。...计算上不复杂：实现简单，建模迅速，对于小数据量和简单的关系非常有效。 基础性强：许多强大的非线性模型都是基于线性回归构建的。...非线性回归的优缺点 优点： 强大的拟合能力：能够处理变量之间的复杂关系，拟合曲线或非直线关系，捕捉到线性回归无法捕捉的模式。 灵活性高：可以采用多种形式，适用于各种不同的数据分析场景。...这种惩罚项会增加模型的代价函数，从而限制参数的大小，避免参数过大导致的过拟合问题。 通过减小参数的值，岭回归鼓励模型选择较小的、更简单的参数，从而减少过拟合的风险。...激活函数： 使用非线性激活函数如ReLU、tanh等来增加模型的表达能力并改善性能。 合理选择激活函数可以避免梯度消失或梯度爆炸的问题，特别是在深层网络中。
这样做的话，我们在尝试最小化代价时也需要将这个惩罚纳入考虑中，并最终导致选择较小一些的θ3和θ4。 修改后的代价函数如下： 通过这样的代价函数选择出的θ3和θ4 对预测结果的影响就比之前要小许多。...7.3 正则化线性回归 对于线性回归的求解，我们之前推导了两种学习算法：一种基于梯度下降，一种基于正规方程。...7.4 正则化的逻辑回归模型 针对逻辑回归问题，我们在之前的课程已经学习过两种优化算法：我们首先学习了使用梯度下降法来优化代价函数()，接下来学习了更高级的优化算法，这些高级优化算法需要你自己设计代价函数...Octave 中，我们依旧可以用 fminuc 函数来求解代价函数最小化的参数，值得注意的是参数θ0的更新规则与其他情况不同。...接下来的课程中，我们将学习一个非常强大的非线性分类器，无论是线性回归问题，还是逻辑回归问题，都可以构造多项式来解决。你将逐渐发现还有更强大的非线性分类器，可以用来解决多项式回归问题。
数学上，我们用线性得分函数s来表示：s=w^Tx。其中，x为特征值向量，w为权重，s是线性的。...假设它的hypotheses可以写成： h_{SEP}(x)=sign(-x_1^2-x_2^2+0.6) 基于这种非线性思想，我们之前讨论的PLA、Regression问题都可以有非线性的形式进行求解...也就是说，这种特征变换的一个代价是计算的时间、空间复杂度都比较大。 另一方面，z域中特征个数随着Q和d增加变得很大，同时权重w也会增大，即自由度增加，VC Dimension增大。...但是，这种人为地删减特征会带来一些“自我分析”代价，虽然对训练样本分类效果好，但是对训练样本外的样本，不一定效果好。所以，一般情况下，还是要保存所有的多项式特征，避免对训练样本的人为选择。...最后介绍了在要付出代价的情况下，使用非线性变换的最安全的做法，尽可能使用简单的模型，而不是模型越复杂越好。 注明： 文章中所有的图片均来自中国台湾大学林轩田《机器学习基石》课程
多项式回归 或 线性回归时，我们可以在特征中添加额外的高阶多项式，我们也可以在logistic回归中使用相同的方法。...该例子中，Θ_3 * x_1^2 + Θ_4 * x_2^2 就是额外增加的那个高阶多项式。。。 再次强调，“决策边界”不是训练集的属性。而是“假设函数”本身及其参数的属性。...如果，我们能够最小化函数J里面的这个代价函数，它也能工作。但实际上，如果我们使用这个代价函数，它会变成参数 Θ 的非凸函数。...因为对于logistic回归来说，h_Θ(x)函数是复杂的非线性函数。 ? ? 左图为目前，J(Θ) 的效果图，是一个非凸函数，它有很多的局部最优解。...所以，目前这个平方代价函数的问题是，中间这个非线性的sigmoid函数，导致J(Θ) 成为一个非凸函数，如果你用平方函数定义它的话。
首先回顾一下Logistic回归，根据log()函数以及Sigmoid函数的性质，有： ? 同时，Logistic回归的代价函数（未正则化）如下： ? 为得到SVM的代价函数，我们作如下修改： ?...8.2 Large margin intuition 根据8.1中的代价函数，为使代价函数最小，有如下结论： ? 现假设C很大（如C=100000），为使代价函数最小，我们希望 ?...图8-2 两种不同间距的情况 8.4 Kernels 上述的讨论都是基于线性可分的样本，即存在一个划分超平面可以将训练样本正确分类，然而现实世界存在大量复杂的，非线性分类问题(如4.4.2节的异或/同或问题...Logistic回归处理非线性问题可以通过引入多项式特征量作为新的特征量；神经网络通过引入隐藏层，逐层进化解决非线性分类问题；而SVM是通过引入核函数(kernel function)来解决非线性问题。...对于第二个问题，常用的核函数有线性核，高斯核，多项式核，Sigmoid核，拉普拉斯核等，现以常用的高斯核(Gaussian)为例。 ? 高斯核具有如下性质： ?
I-BERT主要贡献 针对激活函数GELU，Softmax函数，I-BERT提出了一种高效并且正确的integer-only的估算方法，该方法为基于整型计算实现的轻量级二阶多项式。...1 Integer-Only的非线性函数GELU计算 我们先放出非线性GELU的表达式，然后思考下这么复杂的函数如何用整数计算进行近似估计，orz我感觉挺难的反正： ?...2阶多项式估算GLUE又可以转化为优化如下目标函数，主要是对erf函数进行估计：找到一个2阶多项式，系数为a,b,c，能让GELU函数与2阶多项式误差最小。 ?...然后可以发现x=x-x_max之后都会变成非正数，然后任何一个非正数可以表达为x=(-ln2)z + p，其中z是一个非负整数，p是一个在[-ln2,0]之间的实数，因此x的指数可以表示为： ?...图3 Softmax估计算法 1 Integer-Only的Layer Norm Layer Norm在Transformer中大量使用，并且使用了非线性函数来计算方差和均值。 ?
一种处理非线性数据集方法是增加更多的特征，例如多项式特征（正如你在第4章所做的那样）；在某些情况下可以变成线性可分的数据。...然而，它能对特征数量很好的缩放，尤其对稀疏特征来说（sparse features）（即每个样本都有一些非零特征）。在这个情况下，算法对每个样本的非零特征的平均数量进行大概的缩放。...函数 被称为二次多项式核（polynomial kernel）。在机器学习，核函数是一个能计算点积的函数，并只基于原始向量a和b，不需要计算（甚至知道）转换ϕ。...对于线性SVM分类器，一种方式是使用梯度下降（例如使用SGDClassifire）最小化代价函数，如从原始问题推导出的公式 5-13。不幸的是，它比基于 QP 方式收敛慢得多。 ?...代价函数第一个和会使模型有一个小的权重向量w，从而获得一个更大的间隔。第二个和计算所有间隔违规的总数。如果样本位于“街道”上和正确的一边，或它与“街道”正确一边的距离成比例，则间隔违规等于 0。
多项式拟合和正规方程 特征点的创建和合并 对于一个特定的问题，可以产生不同的特征点，通过对问题参数的重新定义和对原有特征点的数学处理合并拆分，能够得到更加优秀的特征点。...多项式回归 对于更多更加常见的数学模型，其拟合往往是非线性关系的，这时候就需要考虑引用多项式来进行拟合，如： h(x)=θ_0+θ_1 x+θ_2 x^2+θ_3 x^3 正规方程算法 （最小二乘法）...在微积分中，对于函数 f(x,y) ，其局部最值往往是在 f_x=0 且 f_y=0 处取得。...因此，对于代价函数 J(θ) ，求 J(θ) 对每一个 θ_i 的偏导数，令它们都为0，即： \frac{∂J(θ)}{∂θ_i}=0~for~i=0,1,2,…,n 称为正规方程(Regular...\\y^{(m)} \end{bmatrix} 将代价函数转化为矩阵方程的形式，再对其求导，令其等于0，得到代价函数取得最小值时的 θ ： θ=(X^TX)^{-1}X^Ty 对比梯度下降算法
即，如果我们拟合一个高阶多项式，那么这个假设函数能拟合几乎所有的数据，这就面临可能的函数太过庞大，变量太多的问题。我们没有足够的数据来约束它，来获得一个好的假设函数。...8.2 代价函数 ? 我们不妨对函数加入惩罚项（ 1000θ_3^2 + 1000θ_4^2 ），使得参数θ_3和θ_4都非常的小。 对代价函数进行修改 ?...即，我们不知道该从101个参数中，挑选哪一些来缩小它们的值。因此在正则化中，我们要做的就是修改代价函数，来缩小所有的参数。 ? ?额外添加的正则项，来缩小每个参数的值。...同前面线性回归时写的表达式很像，但是他们不是同一个算法。因为假设函数 h(θ) 的定义不同。 这里的 J(θ) 是正则化的代价函数 如何在更高级的优化算法中只用正则化 ? 非线性分类器。...不管是线性回归还是logistic回归，我们都能通过构造多项式来解决，但事实上还有更为强大的非线性分类器，可以用之解决多项式回归的问题。
一种处理非线性数据集方法是增加更多的特征，例如多项式特征（正如你在第4章所做的那样）；在某些情况下可以变成线性可分的数据。...然而，它能对特征数量很好的缩放，尤其对稀疏特征来说（sparse features）（即每个样本都有一些非零特征）。在这个情况下，算法对每个样本的非零特征的平均数量进行大概的缩放。...被称为二次多项式核（polynomial kernel）。在机器学习中，核函数是一个能计算点积的函数，并只基于原始向量a和b，不需要计算（甚至知道）转换ϕ。公式 5-10 列举了一些最常用的核函数。...对于线性SVM分类器，一种方式是使用梯度下降（例如使用SGDClassifire）最小化代价函数，如从原始问题推导出的公式 5-13。不幸的是，它比基于 QP 方式收敛慢得多。 ? 公式5-13....线性SVM分类器损失函数 代价函数第一个和会使模型有一个小的权重向量w，从而获得一个更大的间隔。第二个和计算所有间隔违规的总数。
其优势是使用非线性算子（典型的是多项式或样条）可以更快的逼近任意函数，难度在于训练的算力要求过高。...我们团队在2019年发表的EDA algorithm dissertation中就定义了类似KAN层的算符隐层（具备非线性表征能力），直接将非线性函数/算子引入MLP结构，使之成为更加通用，适配范围更大的基础架构...参考泰勒展开的思路，可以使用多项式（非线性函数）累加做任意实数函数的逼近。这也就解释了为什么这类方法可以很好的应用于数学计算。...由于训练算力限制，短期看KAN还是很难代替MLP的。如果想要获得类似Transformer架构的类似效果，走的路会更长，训练代价也要大很多。...总体来说KAN的作者构建了一个非常好的基于KA定理的模型框架体系，并给出了足够的理论支撑，该文章估计会成为一代经典。
统计学习 统计学习（statistical learning）是关于计算机基于数据构建概率统计模型并运用模型对数据进行预测与分析的一门学科。...通常的监督学习使用给定的标注数据，往往是随机得到的，可以看作是“被动学习”，主动学习的目标是找出对学习最有帮助的实例让教师标注，以较小的标注代价，达到较好的学习效果。...： 核函数支持向量机、AdaBoost、神经网络、深度学习 ---- 参数化模型：模型由优先维参数描述（感知机、朴素贝叶斯、逻辑斯谛回归、k均值、高斯混合模型） 非参数化模型：模型参数不固定，随着训练数据增加而增大...2.4 按技巧分类 贝叶斯学习（Bayesian learning）：后验概率 核方法（kernel method）：是使用核函数表示和学习非线性模型的一种机器学习方法 核方法可以把线性模型扩展到非线性模型...统计学习方法三要素 方法=模型+策略+算法方法 = 模型+策略+算法方法=模型+策略+算法 模型：输入空间，输出空间，决策函数集合 策略：按什么准则选择最优模型 损失函数（代价函数）：度量预测错误程度
假设实际类为恶性，预测连续值为0.4，阈值为0.5，则将数据点划分为非恶性，会导致严重后果。 从这个例子可以推断线性回归不适合分类问题。线性回归是无界的，逻辑回归的值严格从0到1。...逻辑回归的类型 二元逻辑回归：分类反应只有两种可能结果。例子:垃圾邮件或非垃圾邮件 多项逻辑回归：三个或更多的类别，没有排序。...根据这个阈值，将获得的估计概率划分为类别。 如果predicted_value≥0.5,电子邮件邮件分类为垃圾邮件反之不是。 决策边界可以是线性的，也可以是非线性的。...多项式阶增加以获得复杂的决策边界。 代价函数 ? 为什么用于线性的代价函数不能用于逻辑回归? 线性回归以均方误差为代价函数。如果将其用于逻辑回归，则为参数的非凸函数。...只有当函数为凸函数时，梯度下降才收敛到全局最小值。 ? 代价函数的解释 ? ? 简化的代价函数 ? 为什么这是代价函数 ? ? 这个负函数是因为当我们训练时，我们需要通过最小化损失函数来最大化概率。
所谓核函数，也就是帮助svm实现分类的边界函数。 最常用的非线性的核函数即高斯核函数（Gaussian kernel）。其主要公式即为高斯分布的公式。...高斯核函数，可以写为f=similarity(x,l)，另外所有的核函数都可以写为k(x,l)。 如下图所示： ? 利用高斯核函数，可以非线性的划分边界函数。...除此之外还有其他不常用的核函数： 1）多项式核函数（polynomialkernel） k(x,l)=(xTl+C)m，C是常数，m是次数。...有个性质是当x和l很接近时，k的值会非常大。用这个多项式，通常要求样本的特征值都是大于0的。...，可以非线性分类。
介绍由线性分类器到非线性分类场景，对特征可以进行的变换如构建多项式特征，使得分类器得到分线性切分能力。...我们需要定义一个能量化衡量模型好坏的函数——损失函数（有时候也叫做「目标函数」或者「代价函数」）。我们的目标是使得损失函数最小化。...我们依然可以采用梯度下降对加正则化项的损失函数进行优化。 6.特征变换与非线性表达 1）多项式特征 对于输入的特征，如果我们直接进行线性拟合再给到Sigmoid函数，得到的是线性决策边界。...但添加多项式特征，可以对样本点进行多项式回归拟合，也能在后续得到更好的非线性决策边界。...2）非线性切分 如下图所示，在逻辑回归中，拟合得到的决策边界，可以通过添加多项式特征，调整为非线性决策边界，具备非线性切分能力。
与 y=1 的 情况,我们把这条边界，称为决策边界，这些都是关于假设函数的属性，决定于其参数，与数据集属性无关 2.1.2例子二 有数据集如下： 我们假设函数为多项式高阶函数，并对其参数假设赋值如下...，而是假设函数以及其参数的属性，数据集则是用于拟合参数 \theta 不同的高阶多项式 会得到不一样的决策边界 如： 2.2 拟合logistic回归参数 \theta_i 代价函数 我们给定如数据集...在往篇文章中我们线性回归的均方差代价函数可以变化如下： 简化函数，我们省略上标 因为 sigomid 是复杂的非线性函数，如果直接以函数作为代价函数，那么所求模型对应代价函数为非凹函数...函数惩罚很大 同样的符合代价函数性质 至此，我们定义了关于单变量数据样本的分类代价函数，我们所选择的代价函数可以为我们解决代价函数为非凹函数的问题以及求解参数最优，接下来我们使用梯度下降算法来拟合...公式如下图蓝色字体公式： 由于 y 只有两个情况 0，1 ，利用该性质 当y = 1 时，y=0情况的多项式消去，y = 0 时同理，这样就成功表达了两种不同情况的函数 通过将式子合并为一个等式
) 需要选定参数 ，通常适用于有 特征少但是样本数据多 的情况下 多项式核函数(Polynomial kernel) 多项式核函数一般满足 常数指数 的形式，其中 都是其常见的形式。...通常的效果比高斯核要差，且 x 和 l 都是 非负数 的情况下，以保证内积值永远不会是负数。...多项式核函数(String Kernel) 通常用于输入数据是文本字符串形式的情况下 卡方核函数(chi-square kernel) 直方相交核函数(histogram intersection kernel...n 为特征数(特征数可指为原始数据中的属性值或人为够早的特征)，m 为训练样本数 如果相较于 m 而言，n 要大许多，即训练集数据量不够支持我们训练一个复杂的非线性模型，我们选用逻辑回归模型或者不带核函数的支持向量机...神经网络和支持向量机 值得一提的是，神经网络在以上三种情况下都可能会有较好的表现，但是训练神经网络可能 非常慢(这是 2014 年的教程，所以现在 NG 当然不会这么说) ，而且容易陷入局部最优解，选择支持向量机的原因主要在于它的代价函数是凸函数
y=1$的 情况,我们把这条边界，称为决策边界，这些都是关于假设函数的属性，决定于其参数，与数据集属性无关图片2.1.2例子二有数据集如下：图片我们假设函数为多项式高阶函数，并对其参数假设赋值如下。...，数据集则是用于拟合参数 $\theta$ 不同的高阶多项式 会得到不一样的决策边界如：图片2.2 拟合logistic回归参数 $\theta_i$代价函数我们给定如数据集图片有$m$个样本，同样将每一个...在往篇文章中我们线性回归的均方差代价函数可以变化如下：图片简化函数，我们省略上标图片因为 $sigomid$ 是复杂的非线性函数，如果直接以函数作为代价函数，那么所求模型对应代价函数为非凹函数，会有非常多的局部最优...函数惩罚很大 同样的符合代价函数性质图片至此，我们定义了关于单变量数据样本的分类代价函数，我们所选择的代价函数可以为我们解决代价函数为非凹函数的问题以及求解参数最优，接下来我们使用梯度下降算法来拟合 $...公式如下图蓝色字体公式：图片由于 y 只有两个情况 0，1 ，利用该性质 当y = 1 时，y=0情况的多项式消去，y = 0 时同理，这样就成功表达了两种不同情况的函数图片通过将式子合并为一个等式，代价函数
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