在numpy或matlab中从满秩的非方阵中获得可逆方阵 - 腾讯云开发者社区 - 腾讯云

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我的机器学习线性代数篇观点向量矩阵行列式矩阵的初等变换向量组线性方程组特征值和特征向量几个特殊矩阵QR 分解（正交三角分解）奇异值分解向量的导数

通常用到的行列式是一个数行列式是数学的一个函数，可以看作在几何空间中，一个线性变换对“面积”或“体积”的影响。...image.png 伴随矩阵为了求矩阵的逆 ? image.png 方阵的逆 AB=BA=E，那么称B为A的逆矩阵，而A被称为可逆矩阵或非奇异矩阵。...image.png 行阶梯形矩阵最简矩阵标准行前者来求变量之间的关系，后者计算矩阵的秩定理（1）表明，即A 经一系列初等行变换变为B,则有可逆矩阵P,使如何求P？...image.png 特征值和特征向量 A为n阶矩阵，若数λ和n维非0列向量x满足Ax=λx，那么数λ称为A 的特征值，x称为A的对应于特征值λ的特征向量特征值的性质 (1)n阶方阵A...） A是正交阵的充要条件：A的列(行)向量都是单位向量，且两两正交 QR 分解（正交三角分解）对于m*n的列满秩矩阵A，必有： ?

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算法入门（二） -- 线性代数回顾

在机器学习中，向量加法可用于数据的合并或特征组合的操作，比如在图像识别中，将不同通道（如红、绿、蓝通道）的像素向量相加可以得到一个综合的颜色特征向量。 2.1.2.向量数乘对于向量和实数，。...3.秩的性质，即矩阵的秩不超过它的行数和列数中的较小值。例如，对于矩阵，其秩最大为。 - 若是阶方阵，可逆的充分必要条件是。可逆矩阵也称为满秩矩阵。...，这个性质在研究矩阵乘法与秩的关系时很有用。例如，已知矩阵的秩为，矩阵的秩为，那么矩阵的秩不超过。从几何角度理解，矩阵的秩反映了矩阵所对应的向量空间的维度。...例如在主成分分析（PCA）中，协方差矩阵的秩等于数据的有效维度，通过对协方差矩阵进行特征值分解，选取非零特征值对应的特征向量进行投影，可将高维数据降到与矩阵秩相等的低维空间，从而去除数据中的冗余信息。...2.3.2.矩阵的逆 1.定义：对于方阵，如果存在一个方阵，使得（为单位矩阵），那么方阵是可逆的，方阵称为的逆矩阵，记作。例如，单位矩阵是可逆的，它的逆矩阵就是其本身。

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秩-非零子式的最高阶数(矩阵内部的连通性）

从表格里剪出最大的“非零正方形” 子式：就像是从这个表格里剪下来的一小块正方形。你可以选择表格中任意多行和任意多列，然后把这些行和列交叉的部分“剪”下来，就得到一个小正方形。...判断矩阵是否可逆：如果一个方阵（行数和列数相等）的非零子式的最高阶数等于它的阶数，那么这个矩阵就是可逆的。解决线性方程组：在解线性方程组时，非零子式的最高阶数可以告诉我们方程组解的情况。...如果一个方阵中，最大的那个非零的“小方阵”（也就是子式）的边长正好等于整个方阵的边长，那么这个方阵就是可逆的。我喜欢不厌其烦的重复，里面的名词一定要搞明白。方阵：行数和列数相等的矩阵。...子式的一种特殊情况最高阶数：所有非零子式中，边长最大的那个子式的阶数。可逆矩阵：存在逆矩阵的矩阵。秩：非零子式的最高阶数就是矩阵的秩。初等变换：初等变换不改变矩阵的秩。...而这个“最大的能拼起来的完整部分”就对应着非零子式的最高阶数。如果这个最大的完整部分正好能拼满整个拼图，那么这个拼图就是完整的，也就是矩阵是可逆的。

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Matlab矩阵基本操作（定义，运算）

此外，还可利用一般向量和end运算符来表示矩阵下标，从而获得子矩阵。end表示某一维的末尾元素下标。利用空矩阵删除矩阵的元素：在MATLAB中，定义[]为空矩阵。...(2) 矩阵的伪逆如果矩阵A不是一个方阵，或者A是一个非满秩的方阵时，矩阵A没有逆矩阵，但可以找到一个与A的转置矩阵A’同型的矩阵B，使得：ABA=A，BAB=B 此时称矩阵B为矩阵A的伪逆，也称为广义逆矩阵...在MATLAB中，求一个矩阵伪逆的函数是pinv(A)。 6、方阵的行列式把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的规则求值，这个值就称为矩阵所对应的行列式的值。...在MATLAB中，求方阵A所对应的行列式的值的函数是det(A)。 7、矩阵的秩与迹 (1) 矩阵的秩矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的秩。在MATLAB中，求矩阵秩的函数是rank(A)。...(3) 从文件中创建稀疏矩阵利用load和spconvert函数可以从包含一系列下标和非零元素的文本文件中输入稀疏矩阵。

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日拱一卒，麻省理工的线性代数课，一阶段复习

我们从 x 和 b 的大小可以看出，它们都有三个元素，所以 A 是一个3 x 3的矩阵。接着我们来看下它的秩，它的秩是多少？...从特解中我们可以看出，矩阵 A 的第一列是 \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} ，我们可以令 c = 0, d= 0 就可以很容易看出来这点。...方阵的零空间只有零向量，说明方阵满秩。那么方阵的转置矩阵同样满秩，所以它的左零空间也只有零向量。 Q8 判断题，由所有5 x 5矩阵组成的矩阵空间，其中的可逆矩阵能否构成子空间？解答错误。...因为矩阵各列线性无关，说明它是满秩矩阵，也说明它可逆，所以一定有解。...解答我们令 B = CD ，通过观察可以发现矩阵 C 是满秩矩阵，意味着可逆。

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matlab 稀疏矩阵乘法,Matlab 矩阵运算

此外，还可利用一般向量和end运算符来表示矩阵下标，从而获得子矩阵。end表示某一维的末尾元素下标。利用空矩阵删除矩阵的元素：在MATLAB中，定义[]为空矩阵。...(2) 矩阵的伪逆如果矩阵A不是一个方阵，或者A是一个非满秩的方阵时，矩阵A没有逆矩阵，但可以找到一个与A的转置矩阵A’同型的矩阵B，使得：ABA=A，BAB=B 此时称矩阵B为矩阵A的伪逆，也称为广义逆矩阵...在MATLAB中，求一个矩阵伪逆的函数是pinv(A)。 6、方阵的行列式把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的规则求值，这个值就称为矩阵所对应的行列式的值。...在MATLAB中，求方阵A所对应的行列式的值的函数是det(A)。 7、矩阵的秩与迹 (1) 矩阵的秩矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的秩。在MATLAB中，求矩阵秩的函数是rank(A)。...(3) 从文件中创建稀疏矩阵利用load和spconvert函数可以从包含一系列下标和非零元素的文本文件中输入稀疏矩阵。

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线性代数整理(三)行列式特征值和特征向量

Ax=b只有唯一解方阵A的列向量线性无关方阵A的列向量可以生成n维空间方阵A的列向量是n维空间的基方阵A为满秩矩阵(秩=n) 方阵A的行秩为n 方阵A的列秩为n 方阵A的行空间为 ?...现在我们来看A和B中的所有行都线性无关，从方阵的等价命题中对于方阵A,矩阵A可逆，A是非奇异矩阵线性系统Ax=0(齐次线性方程组)只有唯一解，x=0 矩阵的行最简形式rref(A)=I A可以表示成一系列初等矩阵的乘积...Ax=b只有唯一解方阵A的列向量线性无关方阵A的列向量可以生成n维空间方阵A的列向量是n维空间的基方阵A为满秩矩阵(秩=n) 方阵A的行秩为n 方阵A的列秩为n 方阵A的行空间为 ?...方阵A的列向量线性无关方阵A的列向量可以生成n维空间方阵A的列向量是n维空间的基方阵A为满秩矩阵(秩=n) 方阵A的行秩为n 方阵A的列秩为n 方阵A的行空间为 ?...rref(A)=I A可以表示成一系列初等矩阵的乘积 Ax=b只有唯一解方阵A的列向量线性无关方阵A的列向量可以生成n维空间方阵A的列向量是n维空间的基方阵A为满秩矩阵(秩=n) 方阵A的行秩为

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呆在家无聊？何不抓住这个机会好好学习！

矩阵的秩为线性变换的维度，方阵对应的行列式的绝对值是每个单位正方形在经过该方阵变换之后的面积，或者任意图形经过该方阵变换之后面积变化的倍数（伸缩因子），行列式值为负改变基向量的相对位置。...行列式值为0，那么对应的矩阵当然不可逆，因为这样的线性变换会导致降维，无法进行还原。因此可逆的矩阵一定是方阵，且其对应的行列式值不为0。...)分别返回行数和列数，row()和col()则返回矩阵每个元素的行数与列数坐标，如下所示： ⑶行列式的运算由n阶方阵A的元素构成的行列式，称为方阵A的行列式，记作|A|或者detA，在R中函数det...对于n阶矩阵A，如果R(A)=n，则为满秩矩阵，且有|A|不为0，矩阵可逆；如果R(A)秩矩阵，且有|A|=0，矩阵不可逆（称为奇异矩阵）。矩阵不可逆则其线性变换不可逆。...对于实数矩阵A来说，不同实特征值的个数等于其矩阵的秩，且不同特征值对应的特征向量之间相互正交，满秩矩阵全部特征值的乘积等于其行列式|A|的值，满秩矩阵的特征向量矩阵为正交矩阵。

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python求逆矩阵的方法,Python 如何求矩阵的逆「建议收藏」

print(np.linalg.inv(kernel)) 注意，Singular matrix奇异矩阵不可求逆补充：python+numpy中矩阵的逆和伪逆的区别定义：对于矩阵A，如果存在一个矩阵...(此时的逆称为凯利逆) 矩阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0。伪逆矩阵是逆矩阵的广义形式。由于奇异矩阵或非方阵的矩阵不存在逆矩阵，但可以用函数pinv(A)求其伪逆矩阵。...pinv(A)具有inv(A)的部分特性，但不与inv(A)完全等同。如果A为非奇异方阵，pinv(A)=inv(A)，但却会耗费大量的计算时间，相比较而言，inv(A)花费更少的时间。...)) # 对应于MATLAB中 inv() 函数 # 矩阵对象可以通过 .I 求逆,但必须先使用matirx转化 A = np.matrix(a) print(A.I) 2.矩阵求伪逆 import numpy...print(np.linalg.pinv(A)) # 求矩阵 A 的伪逆(广义逆矩阵)，对应于MATLAB中 pinv() 函数这就是矩阵的逆和伪逆的区别截至2020/10/4，matrix函数还可以使用

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利用 Numpy 进行矩阵相关运算

本文将介绍 NumPy（目前最新版本为 1.16）中与线性代数相关的模块的使用方法，包括 numpy.linalg , numpy.matlib 。...解线性方程组使用第二讲矩阵消元习题的例子，该方法要求满秩，即系数矩阵为方阵且各列线性无关。 ?...矩阵形式求解线性方程组（Ax=b）使用第二讲矩阵消元习题的例子，该方法同样要求满秩，即系数矩阵为方阵且各列线性无关。 ?...最小二乘使用第十六讲习题课的例子，返回值中含有多个值，系数矩阵在返回值的第一个数组中 ? 逆使用第三讲课程内容中的例子 ?...对角线为 1 矩阵这里可以不止是在主对角线上，可由参数k控制，该参数定义全为 1 的对角线离主对角线的相对距离，为正则往上三角移动，为负则往下三角移动。并且可以是非方阵。

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利用 Numpy 进行矩阵相关运算

本文将介绍 NumPy（目前最新版本为 1.16）中与线性代数相关的模块的使用方法，包括 numpy.linalg , numpy.matlib 。...解线性方程组使用第二讲矩阵消元习题的例子，该方法要求满秩，即系数矩阵为方阵且各列线性无关。 ?...矩阵形式求解线性方程组（Ax=b）使用第二讲矩阵消元习题的例子，该方法同样要求满秩，即系数矩阵为方阵且各列线性无关。 ?...最小二乘使用第十六讲习题课的例子，返回值中含有多个值，系数矩阵在返回值的第一个数组中 ? 逆使用第三讲课程内容中的例子 ?...对角线为 1 矩阵这里可以不止是在主对角线上，可由参数k控制，该参数定义全为 1 的对角线离主对角线的相对距离，为正则往上三角移动，为负则往下三角移动。并且可以是非方阵。

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线性代数学习笔记(代数版)

) 有了这些性质，我们就可以用高斯消元在\(O(n^3)\)的时间复杂度内求出矩阵行列式的值伴随矩阵余子式：将方阵的第\(i\)行和第\(j\)行同时划去，剩余的一个\(n - 1\)阶的矩阵的行列式值称为元素...|A|A^{-1}\) 其他的一些定义线性空间线性空间：一个非空集合\(V\)，对加法满足阿贝尔群，对数乘满足结合律，分配律，封闭性，域\(F\)上的单位元\(1\)满足\(1v = v\) 子空间...：设\(W\)是\(V\)的一个子集，\(W\)在加法和数乘下都是封闭的，且\(0 \in W\)，则\(W\)是\(V\)的子空间生成子空间(扩张)：对于若干\(V\)中的元素\(v\)，包含这些\...\)的列秩。...显然，一个矩阵的行秩和列秩是相等的，如果一个矩阵的秩等于它的阶，那么这个矩阵满秩同样，一个矩阵可逆的条件等于矩阵满秩。反证法：如果矩阵不满秩，则消到最后一行时，一定可以被之间的线性表出

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Numpy中常用的10个矩阵操作示例

秩 Rank 矩阵的秩是由它的列或行张成(生成)的向量空间的维数。换句话说，它可以被定义为线性无关的列向量或行向量的最大个数。...可以使用numpy linalg包中的matrix_rank()函数来查找矩阵的秩。...行列式(决定式) 方阵的行列式可以计算det()函数，该函数也来自numpy linalg包。如果行列式是0，这个矩阵是不可逆的。在代数术语中，它被称为奇异矩阵。...伪逆即使对于奇异矩阵(行列式为0的方阵)，也可以使用numpy linalg包的pinv()函数计算伪(非真实)逆。...如果有一个非零向量x满足下列方程，λ标量称为A的特征值。 ? 向量x称为与λ相对应的A的特征向量。在numpy中，可以使用eig()函数同时计算特征值和特征向量。

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matlab矩阵及其运算(四)

大家好，感谢大家对matlab爱好者公众号的厚爱！如果公众号文章对您有帮助，别忘了分享和点赞哦！若您对公众号有什么意见或建议，请在公众号中回复或在任意文章底部留言，我们会第一时间改善改进！...在求解线性方程组的过程中把线性方程组的系数按之前行列式的规则排列的数表称为矩阵。 ? ? 称为3x3的矩阵。...（2）矩阵乘法一般不能随便消去一个非零矩阵，A≠0 且AB=AC,不能得到B=C。（3）两个非零矩阵的乘积可以使零矩阵，即但是不能得到A=0或B=0。...伴随矩阵：设A是n阶方阵，Aij是行列式A中元素aij的代数余子式，以Aij为元素组成如下n阶方阵： ? 称其为方阵A的伴随矩阵，记做A*.注意:非方阵没有伴随矩阵，因为非方阵没有行列式。...如果A可逆，则AT也可逆且 ? 如果A,B都可逆，则AB也可逆(AB)-1=B-1A-1。（这个在矩阵运算中很重要，会经常用到） ? 在实际问题中更多遇到的是： ?

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首发：吴恩达的 CS229的数学基础（线性代数），有人把它做成了在线翻译版本！

以下是秩的一些基本属性：对于，，如果，则：被称作满秩。对于，对于 , , 对于， 3.7 方阵的逆方阵的倒数表示为，并且是这样的独特矩阵: 请注意，并非所有矩阵都具有逆。...例如，非方形矩阵根据定义没有逆。然而，对于一些方形矩阵，可能仍然存在可能不存在的情况。特别是，如果存在，我们说是可逆的或非奇异的，否则就是不可逆或奇异的。为了使方阵 A 具有逆，则必须是满秩。...换句话说，做一些技术性的假设（即是满秩且），向量到的范围的投影由下式给出: 这个最后的方程应该看起来非常熟悉，因为它几乎与我们在课程中（我们将很快再次得出）得到的公式：用于参数的最小二乘估计一样。...很明显，如果是正定的，那么是负定的，反之亦然。同样，如果是半正定的，那么是是半负定的，反之亦然。如果果是不定的，那么是也是不定的。正定矩阵和负定矩阵的一个重要性质是它们总是满秩，因此是可逆的。...为了了解这是为什么，假设某个矩阵不是满秩。然后，假设的第列可以表示为其他列的线性组合：对于某些。设，则：但这意味着对于某些非零向量，，因此必须既不是正定也不是负定。如果是正定或负定，则必须是满秩。

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【Math for ML】矩阵分解(Matrix Decompositions) （上）

定理1：当且仅当一个方阵的行列式不为0，则该方阵可逆。...定理2：方阵\(A\)的行列式可沿着某一行或某一列的元素展开，形式如下: 沿着第\(i\)行展开:\[det(A)=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+i}a_{ik}det(A_{i,k})\...] 沿着第\(i\)列展开:\[det(A)=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+i}a_{ki}det(A_{k,i})\] 定理3：当且仅当一个方阵为满秩时，该方阵行列式不为0，即可逆。...特征值与特征向量定义：对于一个给定的矩阵 \(A∈R^{n×n}\)，它的特征向量\(v\) 经过这个线性变换之后，得到的新向量仍然与原来的 \(v\)保持在同一条直线上，但其长度或方向也许会改变。...答案在下面的特征值分解/对角化定理中：当且仅当方阵\(A∈R^{n×n}\)满秩(即有n个独立的特征向量)时，有 \[A=PDP^{-1}\] 其中\(P\)是由\(A\)的特征矩阵组成的可逆矩阵

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线性代数之行列式、矩阵和向量组

第一部分行列式【主要内容】 1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用——克莱姆法则 2、排列与逆序 3、方阵的行列式 4、几个重要公式：（其中为 n阶方阵，k 为常数） 5、行列式的常见计算方法...：（1）利用性质化行列式为上（下）三角形；（2）利用行列式的展开定理降阶；（3）根据行列式的特点借助特殊行列式的值（4）按行展开（5）递推公式和数学归纳法代码示例 import numpy...第二部分矩阵【主要内容】 1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。 2、方阵的行列式 3、可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆）。...2、熟悉矩阵的加法，数乘，乘法，转置等运算法则，会求方阵的行列式。 3、熟悉矩阵初等变换与初等矩阵，并知道初等变换与初等矩阵的关系。 4、掌握矩阵可逆的充要条件，会求矩阵的逆矩阵。...2、如何判断向量 b或向量组 B是否可由向量组A 线性表示？如果能，写出表达式。解法：以向量组A以及向量b或向量组B:为列向量构成矩阵，并对其进行初等行变换化为简化阶梯型矩阵，最终断定。

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人工智能数学基础（四）：线性代数

在人工智能中，数据常以矩阵形式存储，如图像可表示为像素值矩阵。 4.2.2 矩阵的运算矩阵运算包括加法、减法、数乘、乘法和转置等。矩阵乘法要求左矩阵的列数等于右矩阵的行数。...4.2.4 矩阵的秩矩阵的秩是矩阵中行或列向量组的最大线性无关组所含向量的个数。秩反映了矩阵的有效信息量。...若矩阵 A 的秩为 r，则解空间的维数为 n - r。 4.4.2 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组 Ax=b 的解集可能是空集，也可能是一个仿射空间。... 通过本文的学习，希望大家对线性代数在人工智能中的应用有了更深入的理解。...在实际操作中，多进行代码练习，可以更好地掌握这些数学工具，为人工智能的学习和实践打下坚实的基础。资源绑定附上完整资源供读者参考学习！

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【运筹学】线性规划问题的解 ( 可行解 | 可行域 | 最优解 | 秩的概念 | 极大线性无关组 | 向量秩 | 矩阵秩 | 基 | 基变量 | 非基变量 | 基解 | 基可行解 | 可行基 )

矩阵的秩 : ① 方阵的秩 : 方阵是行数和列数相等的矩阵 , 其列秩和行秩是相等的 , 其行数 = 列数 = 秩 ; ② 矩阵的秩 : m \times n 矩阵的秩最大取值...是 m 和 n 中较小的那个值 , 即 min(m , n) ; ③ 满秩 : 如果矩阵的秩等于 min(m , n) , 那么该矩阵被称为有满秩 , 是满秩矩阵 ; ④ 欠秩 :...m 阶 : 是指矩阵是 m \times m 阶矩阵 , 其实一个 m 行 m 列的方阵 ; ② 满秩 : 该矩阵的最大秩是 min(m , m) , 其秩为 m 时 , 是满秩矩阵...^m 排列组合说明 : n > m , 从 n 个变量中取 m 个 , 这是集合的组合问题 , 从 n 元集中取 m 个元素的个数 , 即 C(n, m) = C_n^m...; m 阶满秩子矩阵 : 基是满秩子矩阵 ① m 阶 : 是指矩阵是 m \times m 阶矩阵 , 其实一个 m 行 m 列的方阵 ; ② 满秩 : 该矩阵的最大秩是

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如何计算特征向量？

在Python中，特征向量是线性代数中的一个概念，它指的是一个方阵（即行数和列数相等的矩阵）乘以一个向量后，得到的新向量和原向量是共线的，即新向量是原向量的某个标量倍。...导入`numpy`库。2. 定义或创建你想要计算特征向量的方阵。3. 使用`numpy.linalg.eig`函数计算特征值和特征向量。...在Python中，判断一个矩阵是否可逆通常有以下几种方法：1. **检查行列式（Determinant）**：一个矩阵是可逆的当且仅当它的行列式不为零。...```在这两个例子中，如果矩阵`A`不可逆（即它是奇异矩阵或退化矩阵），那么：- 使用行列式的方法，`det`将会是0。- 使用逆矩阵的方法，将会抛出`LinAlgError`异常。...通常，使用行列式来检查矩阵是否可逆是更快的方法，因为它不需要实际计算逆矩阵。如果行列式非零，你可以确信矩阵是可逆的，并且如果你需要逆矩阵，可以继续使用`numpy.linalg.inv`来计算它。

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