为什么我们如此关注向量比较？ 在向量数据库中，向量比较主导了执行时间，通常是最耗费资源的因素。不论是 float32、int8、int4 或其他量化级别，我们在性能分析中都可以看到这一点。...Elasticsearch 和 Lucene 支持多种向量相似度指标，如点积、余弦和欧几里得距离，但我们将重点放在点积上，因为其他指标可以从点积中推导出来。...BBQ 采用非对称量化；查询向量被量化为 int4，而存储的向量则被进一步压缩到仅一个比特值。由于点积是组件值乘积的总和，我们可以立即看到，只有存储向量为 1 的查询组件值才能对结果产生积极贡献。...进一步观察，如果我们以一种方式转换查询向量，将每个组件值的相应位置比特（1、2、3、4）组合在一起，那么我们的点积就简化为一组基本的按位操作；每个组件的 AND 和比特计数，随后是表示查询部分相应位置的移位...逻辑上，点积简化为以下公式，其中 d 是存储向量，q1、q2、q3、q4 是转换后查询向量的相应部分： (bitCount(d & q1) << 0) + (bitCount(d & q2) << 1)
在这里，我们可以考虑电影推荐的标准矩阵分解(MF)方法，其中评级矩阵被分解成一个针对用户的嵌入矩阵和一个针对电影的嵌入矩阵。...混合推荐模型 分解机 Steffen Rendle在2010年提出的一个想法是分解机。它掌握了将矩阵分解与回归相结合的基本数学方法 ? 其中学习过程中需要估计的模型参数为: ?...⟨ ∙ , ∙ ⟩ 是两个向量vᵢ和vⱼ之间的点积，它们可以看成V中的行。 当查看如何表示该模型中的数据x的示例时，可以很直观地看出这个方程的意义。...参数如下: 潜在向量Vᵢ，用于衡量要素i与其他要素（嵌入层）互动的影响 Vᵢ被传递给FM组件以对2级交互进行建模（FM组件） wᵢ权衡原始特征i（FM组件）的顺序1的重要性 Vᵢ还传递给Deep组件以对所有高阶交互...DLRM体系结构如下图所示:分类特征用一个嵌入向量表示，连续特征由MLP处理，使其与嵌入向量具有相同的长度。现在在第二阶段，计算所有嵌入向量组合与处理过的(MLP输出)密集向量之间的点积。
功能概述（如何使用 Transformer，以及为什么它们比RNN 更好。该架构的组件，以及训练和推理期间的行为。）...源序列首先通过Embedding层和位置编码层（Position Encoding layer），它为序列中的每个词生成嵌入向量。Embedding向量被传递到编码器，在那里它将首先到达注意力模块。...要记住的重要一点是，这些矩阵的每一“行”对应源序列中的一个词。 ?...每个单元格是两个词向量之间的点积（图源自作者） 当我们在两个向量之间进行点积，我们将成对的数字相乘，然后将它们相加。...因此，它计算目标句子中的每个单词与源句子中的每个单词的相关性。 ? 编码器-解码器注意力机制（图源自作者） 结论 希望本文能让你对Transformer设计的优美之处有一个很好的认识。
点积的输出是一个标量。它不返回向量。 Hadamard（乘法） Hadamard 乘积用于执行逐元素乘法并返回一个向量。...通过这个视图，就可以清楚如何在矩阵上执行点积。发生乘法的唯一方法是第一个矩阵中的行数与第二个矩阵中的列数匹配。...在上图中，很明显，左侧矩阵中的每个向量（或行）都乘以第二个矩阵中的每个向量（或列）。因此，在此示例中，A 中的每个向量必须与 B 中的每个向量相乘，从而产生 16 个点积。...但是，第一个轴必须相同： (z, m, n) x (z, n, r) = (z, m, r) 为什么是这样？嗯，如前所述，二维的点积主要是将向量彼此相乘。...由于点积是通过按元素相乘然后求和来执行的，因此首先发生的事情是每个矩阵与其相应的矩阵相乘。当这种情况发生时，矩阵乘法会导致矩阵中的每个向量与其他向量执行点积。从某种意义上说，它就像一个嵌套的点积。
编码器块中的第一个组件是多头注意力，但在我们深入细节之前，让我们先了解一个基本概念：自注意力。 4....计算Q和K转置的点积 从上图可以看出，qi、ki、vi 代表了句子中第 i 个词的 Q、K、V 的值。 输出矩阵的第一行将使用点积告诉您 q1 表示的 word1 与句子中其余单词的关系。...点积的值越高，单词越相关。直觉上为什么要计算这个点积，可以从信息检索的角度理解Q（query）和K（key）矩阵。...缩放点积 与上一步一样，我们正在计算两个矩阵的点积，即执行乘法运算，该值可能会爆炸。为了确保不会发生这种情况并稳定梯度，我们将 Q 和 K-转置的点积除以嵌入维度 (dk) 的平方根。...编码器的下一个组件是前馈网络。 7. 前馈网络 编码器块中的这个子层是具有两个密集层和 ReLU 激活的经典神经网络。它接受来自多头注意力层的输入，对其执行一些非线性变换，最后生成上下文向量。
这是一种双向注意（也是唯一一种双向注意力机制，这就是为什么它是BERT中使用的唯一注意力类型），其中每个单词都彼此关联。...每当您需要查找两个向量之间的相似性时，我们只需获取它们的点积即可。为了找到第一个单词的输出，我们只考虑第一个单词的表示形式Q，并将其点积与输入中每个单词的表示形式K取乘积。...这样，我们就可以知道输入中每个单词相对于第一个单词的关系。 取点积后，我们将结果除以sqrt（dᵏ），其中dᵏ是向量K的维数。这样做是为了稳定梯度，因为点积可能非常大。...有一个问题仍然没有得到回答。为什么Q、V和K需要被降维向量，即使这样可能会导致原始单词的信息丢失?答案就是多头的自我注意力。...每层包含以下组件： 多头自我注意力层（编码器）：获取每个单词的输入向量，并将其转换为表示形式，其中包含有关每个单词应如何与序列中所有其他单词相伴的信息。
大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。如 【点乘】 在数学中，数量积（dot product; scalar product，也称为点积）是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。...向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物理离光照的轴线越近，光照越强。...运算律 交换律： 分配律： 结合律： ，其中m是实数。 【叉乘】 向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。...与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。 表示方法 两个向量a和b的叉积写作a×b（有时也被写成a∧b，避免和字母x混淆）。...应用 在物理学光学和计算机图形学中，叉积被用于求物体光照相关问题。
这个函数最简单的选项是点积： 注意， 是与当前输出向量 位置相同的输入向量。对于下一个输出向量，我们使用一系列全新的点积操作，以及不同的加权和。...这是所谓的序列模型中的嵌入层，它将单词序列从 得到向量序列 如果我们将该序列输入self-attention层，输出则为另外一列向量 ，其中 是第一个序列中所有嵌入向量的加权和，由它们的点积(归一化)与...点积表示输入序列中两个向量的由学习任务定义的“相关”程度，并且输出向量是整个输入序列的加权和，其权重由这些点积确定。...由于点积的平均值随着嵌入向量维度 k 的增长而增长，所以将点积的值减小一点有助于防止softmax函数的输入变得过大： 为什么是 ？假设有一个值全为 c 的 k 维向量，它的欧几里德长度是 。...我们向序列到序列模型输入一个序列，并且我们要求它预测序列中每个时间点的下一个字符。
它需要一个光索引和法线向量作为参数，从数组中提取相关数据，然后执行漫射照明计算并将其返回，并由光的颜色进行调制。 ?...为什么不使用颜色数组？ 通过在命令缓冲区上调用SetGlobalVectorArray方法，然后执行该数组，可以将其复制到GPU。...关系为，其中i是光的规定强度，d是光源与表面之间的距离。这被称为平方反比定律。因此，我们必须将最终的漫反射贡献除以光矢量的平方。为了避免被零除，我们对所使用的平方距离强制执行一个极小的最小值。 ?...尽管我们可以使用浮点数组满足要求，但我们将再次使用向量数组，因为稍后需要包含更多数据。 ? 将新向量数组复制到Render中的GPU。 ? 并将其填充到ConfigureLights中。...然后，在着色器中，可以使用点积，乘法，加法，饱和度以及最后的平方来计算点淡入淡出因子。然后使用结果调制漫射光。 ? ?
自注意力机制首先要计算查询矩阵Q与键矩阵K的点积： 通过计算查询 的点积，可以了解单词I与句子中的所有单词的相似度。...综上所述，计算查询矩阵[插图]与键矩阵[插图]的点积，从而得到相似度分数。这有助于我们了解句子中每个词与所有其他词的相似度。 第二步 自注意力机制的第2步是将 矩阵除以键向量维度的平方根。...这样做的目的主要是获得稳定的梯度。 为什么要除以dk(键向量维度的平方根)，其实是在做一个标准化以及防止softmax函数梯度消失的处理。...自注意力机制也被称为缩放点积注意力机制，这是因为其计算过程是先求查询矩阵与键矩阵的点积，再用dk对结果进行缩放。总结来说，自注意力机制将一个单词与句子中的所有单词联系起来，从而提取每个词的更多信息。...模型的注意力机制应该只与该词之前的单词有关，而不是其后的单词。要做到这一点，我们可以掩盖后边所有还没有被模型预测的词。 如，我们想预测与相邻的单词。
换句话说，它希望x每个对相乘，并生成一个9维向量。 让我们代入数字，使它更直观！假设 x = (1, 2, 3); y = (4, 5, 6)。...内核的另一个美妙之处在于: 它们允许我们在无限维中做事情！f(x)可以是从 n 维到无限维的映射，因此不可能先写出 f(x) 和 f(y) ，然后再做点积。内核给了我们一个绝妙的捷径。...其中一个例子就是径向基核函数（RBF）内核。 与SVM的关系: 这与SVM有什么关系？SVM的思想是 y = w phi (x) + b，其中 w 是权重，phi 是特征向量，b 是偏差。...为什么它也可以被理解为相似性的度量: 如果我们把以上内核的定义 放到 SVM 和特征向量的场景中，它变成了 。...点积是用来度量相似性的; 内核只是用来达到点积效果，而不需要实际上做 f(x)和f(y)之间点积的一种方法。
两个向量之间的点积是一个神奇的东西，可以肯定地说，它在一定程度上度量了相似性。通常在机器学习的文章中，点积表示成以下形式： ? 这表示了向量x和x'之间的点积。...那么，这两个文档之间的点积究竟是什么呢？一种选择是获取文档字符的 ASCII 码，并将它们连接到一个大的向量中 —— 当然，这不是你在实践中要做的工作，而是仅供思考。...然后我们就可以计算这个高维空间中的点积了。但还有一个问题是，这个点积的相关性，或者更确切地说，这个点积实际上意味着什么。显然，字符的细微变化会改变点积。即使我们用同义词来替换，它一样会改变点积。...我认为值得花点时间来考虑会产生Kernel 的映射函数 ϕ，因为 Kernel 是在映射空间中的一个相似性函数（点积），所以它会返回一个标量。...当然，也还有一些没有被提及的 Kernel。针对实际问题进行的 Kernel 设计是一项非常重要的任务，要想学好它，需要一定的经验。此外，在机器学习中有一个专门用于学习 Kernel 函数的领域。
) 返回两个（数组）向量的叉积。...其中a或b的尺寸为2时，则第三个分量假定输入向量为零，并据此计算叉积。如果两个输入向量的尺寸均为2，则返回叉积的z分量。...参数表 叉积来了哈~ 向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。...向量积可以被定义为： 模长:(在这里θ表示两向量之间的夹角（共起点的前提下）（0°≤θ≤180°），它位于这两个矢量所定义的平面上.)...为什么说力矩，因为最后有叉积。 这是我们的判断是否处于平衡状态 因为要叉积计算，注意两个向量的个数 这里也注意内在，位置是矢量，分力也是矢量，所以可以计算。
为了验证这一点，作者进一步提出了几个重参化的组件，以获得更好的性能。 在ImageNet分类任务上评估了所提出的OREPA。...例如，1×1卷积的一个分支和3×3卷积的一个分支，可以转移到3×3卷积的单个分支中。在训练阶段，设计了多分支和多层拓扑来取代普通的线性层(如conv或全连接层)来增强模型。...考虑一个缩放序列： 其中 是滑动窗口内的向量化像素， ，W是对应于特定输出通道的卷积核， 是比例因子。...这也揭示了为什么比例因子是重要的。 注意，当每个分支的权值 是随机初始化的，而缩放因子 被初始化为1时，条件1和条件2都始终满足。...为了证明这一点，作者删除了这些层，如表3中的最后一行所示，梯度变成无穷大，模型无法收敛。 3、每个组件都很重要 对ResNet-18和ResNet-50的结构都进行了实验。
SA 可以在一个模型当中被多次的、独立的使用（比如说在Transformer中，使用了18次；在Bert当中使用12次）。但是，AT在一个模型当中经常只是被使用一次，并且起到连接两个组件的作用。...两个不同的组件（Component），编码器和解码器。但是如果我们用 SA，它就不是关注的两个组件，它只是在关注你应用的那一个组件。...还有，这个分值的大小也表示了在某个属性上，它的程度是多大：比如说某一部电影，可能它的内容中只有一点点是关于爱情的，那么它的这个值就会很小；或者说有个用户他不是很喜欢爱情电影，那么这个值的绝对值就会很大，...在 大部分的场景中， the 这个单词和句子中的其他单词没有很强的相关性，因此，我们就会期待 v_{\text {the }} 和其他单词的点积结果应该比较小或者是一个负值。...所有的点积的结果 w_{i j}^{\prime} 也构成一个矩阵，我们可以简单的使用 X 乘以它的转置得到。
3 当引用一个冒号，一个向量，其例如为v（:)，该载体上的所有组件的被列出。...7 MATLAB向量点积 MATLAB 中两个向量的点积 a = (a1, a2, …, an) and b = (b1, b2, …, bn) 由以下给定: a.b = ∑(ai.bi) 下述函数可以计算两个向量...a 和 b 的点积： dot(a, b); 详细例子 在MATLAB中建立一个脚本文件，代码如下： v1 = [2 3 4]; v2 = [1 2 3]; dp = dot(v1, v2); disp...这也被称为矢量的点积向量的元素的平方的总和V. dp= sum(sv); 使用sqrt函数得到的总和的平方根，这也是该矢量的大小V. mag = sqrt(s); 详细例子 在MATLAB中建立一个脚本文件...要创建一个列向量 c 将 n 加 m 个元素放入其中，通过附加这些载体，编写： c = [c1; c2] 还可以创建一个矩阵c追加这两个向量；向量c2将第二列的矩阵： c = [c1, c2] 同样要注意
一个 token 对另一个 token 的影响是由 QK^T 点积决定的 —— 所以这正是我们应该关注位置编码的地方。...上面显示的点乘的几何解释给了我们一个洞察：我们可以通过增加或减小两个向量之间的夹角来调整我们的两个向量的点积的结果。...因此，现在我们知道注意力集中在哪里，并且从另一个角度看到了为什么旋转可能是一个合理的「通道」，在其中编码我们的位置信息，让我们把它们放在一起。...我们创建了一个块对角矩阵，其中 M_i 是该组件对所需旋转的对应旋转矩阵: 与正弦编码非常相似，M_i 是简单的: 在实践中，我们不使用矩阵乘法来计算 RoPE，因为使用这样一个稀疏的矩阵会导致计算效率低下...通过巧妙地将我们的旋转应用于点积之前的 q 和 k 的 2D 块，并从加法转换为乘法，我们可以在评估中获得很大的性能提升。
在最基本的层面上，Self-Attention是一个过程，其中一个向量序列x被编码成另一个向量序列z（图2.2）。每一个原始向量只是一个代表一个单词的数字块。...我们将对每个向量和x2的转置（对角翻转）做一个乘积（图2.3）。这和做点积是一样的，你可以把两个向量的点积看作是衡量它们有多相似。 ?...图2.3 转置乘法（上标“T”=“转置”） 两个向量的点积与它们之间夹角的余弦成正比（图2.4），因此它们在方向上越接近，点积就越大。如果它们指向同一个方向，那么角A为0⁰，余弦为0⁰等于1。...图2.4 向量点积 如果你想要一个更直观的观点，Bloem的文章（地址参看引用段）讨论了自我关注如何类似于推荐系统决定电影或用户的相似性。...所以我们一次只关注一个词，然后根据它周围的词来确定它的输出。这里我们只看前面和后面的单词，但我们可以选择在将来拓宽这个窗口。 ?
今天我们来学习如何求向量 a 到向量 b扫过的弧度，或者也可以说是角度，转换一下就好了。 求两向量的夹角 求两向量的夹角很简单，用点积公式。...，这个夹角是没有方向的，为大于等于 0 小于 180 度，我们不知道其中一个向量在另一个向量的哪一次。...（1）有至少一个向量为零向量 零向量没有方向，和其他向量没法构成夹角。参与运算时也会导致除数为零，最后会返回 NaN。 这个怎么处理？自行决定。...三维中两个向量 a、b 的叉积运算，会使用 a x b 表示，其结果也是一个向量 c。向量 c 会同时垂直于向量 a、b，或者可以理解为垂直于它们形成的平面）。...叉积运算出来的结果向量的方向，在右手坐标系（二维坐标中，我们习惯的 x 向右，y 向上，z 朝脸上）中，满足 右手定则，见下图： 这个二维向量也能用，叉积是一个标量，即一个数字，对应三维空间中，第三个维度
Scalar addition 元素操作 在诸如加法，减法和除法的元素操作中，相应位置的值被重新组合以产生新的向量。 向量 A 中的第一个值与向量 B 中的第一个值配对。...向量乘法 向量乘法有两种类型：点积和 Hadamard乘积 。 点积 两个向量的点积是一个标量。 向量和矩阵的点积（矩阵乘法）是深度学习中最重要的操作之一。...给定空间中某一个点，向量场显示了图中各个不同点可能的变化 力度 和 方向 。 参考 向量场是非常有趣的，因为它根据不同的起点可以向不同的方向移动。...以下图为例(取自 Khan 学院的线性代数课程)，矩阵 C 中的每个元素都是矩阵 A 中行与矩阵 B 中列的点积。...操作 a1 · b1 表示我们取矩阵 A 中 第一 行 （ 1,7 ） 和矩阵 B 中 第 1 列 （ 3,5 ）的点积 。 这里是另一种方法： 为什么矩阵乘法以这种方式工作？
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