机械臂电机选型时的扭矩计算

PART 01

扭矩：旋转的“力量”

扭矩的本质是一个力让物体绕着某个轴转动的能力，其计算公式非常简单，是物理学的核心概念：

扭矩（T） = 力（F） × 力臂（r）

这个公式是后续所有复杂计算的基础，例如，用一个 0.2 米长的扳手，在末端施加 50 牛顿（N）的力，产生的扭矩就是 10 牛米（0.2m × 50N）。

PART 02

区分扭矩要求：保持 vs. 运动

在实际计算中，必须区分两种不同类型的扭矩需求，以确保电机能胜任所有工况。

保持扭矩 ：这是电机为克服重力，让机械臂在某一位置保持静止所需的最小扭矩。其主要成分是 重力矩 。例如，当机械臂水平伸展时，力臂最长，重力矩达到最大。

运动扭矩 ：这是电机在驱动机械臂进行启动、加速或减速等动态运动时所需的扭矩。它除了要克服重力矩（保持扭矩），还需要额外克服由 惯性力 产生的 惯性矩 ，这部分的计算公式为τ_inertial = J × α，其中J是转动惯量，α是角加速度。

实际工程中，关节的 峰值扭矩 通常取重力矩和惯性矩的和，并乘以一个安全系数。有时还会考虑外部力矩，如下式所示：

τ_peak = (τ_gravity + τ_inertial) × K

PART 03

垂直方向计算扭矩

3.1 重力矩的计算

这是在静态下最基础的扭矩估算公式，也是最常见的计算起点。

公式 ：

τ_gravity = m (kg) × g (m/s²) × d (m)

• τ (τ_gravity) ：重力矩，单位是 N·m 。
• m ： 质量 。指该关节所要支撑的 所有 质量，包括它之后的连杆、负载的总质量，单位是 kg 。
• g ： 重力加速度 ，是地球引力产生的加速度。通常取一个常数， g ≈ 9.8 m/s² 。

这是转换的关键 ：如果给你一个重量（如载荷能力是“5公斤”），这里的“5”就是 m 的值。要将其转化为力（牛），就是用这个 m 乘以 9.8 。因此，1公斤质量物体所受的重力约为 9.8 牛顿。质量越大，产生的力越大。

• d ： 力臂 。指从关节旋转中心，到所支撑的总质量的 重心 的水平距离，单位是 米 (m) 。

3.2 扭矩单位换算 (N·m ↔ kgf·cm)

在工程实践中，尤其是选型一些小型舵机时，可能会遇到另一个常见的扭矩单位： 公斤力·厘米 (kgf·cm) 。两者换算关系如下：

• 1 N·m ≈ 10.2 kgf·cm （更精确地说，1 N·m ≈ 10.197 kgf·cm）
• 1 kgf·cm ≈ 0.098 N·m

这意味着，如果需要 10 N·m 的扭矩，那么大约需要一个能输出 102 kgf·cm 的电机。

3.3 示例：一个简单的单关节机械臂

假设你要设计一个简单的机械臂，长度0.5米，需要用电机在水平状态举一个2kg的负载，机械臂自身质量为1kg，且质心在其几何中心（距离旋转中心0.25米处）。

a. 计算总质量和总重力矩

计算总质量 ：m_total = 负载质量 + 机械臂质量 = 2 kg + 1 kg = 3 kg

机器人水平时力臂最长，扭矩最大，使用上述公式计算总重力矩 ：τ_gravity = m_total × g × d，但这里不能直接将d代入0.5米，因为这个公式一般用于计算一个 集中 质量点的力矩。更精确的方法是分开计算后再相加：

负载产生的力矩（质心在0.5米处）：τ_load = 2 kg × 9.8 m/s² × 0.5 m = 9.8 N·m

机械臂自身产生的力矩（质心在0.25米处）：τ_arm = 1 kg × 9.8 m/s² × 0.25 m = 2.45 N·m

总重力矩（保持扭矩）：τ_gravity = 9.8 N·m + 2.45 N·m = 12.25 N·m

b. 计算惯性矩（估算运动扭矩）

假设需要机械臂以α = 10 rad/s²的角加速度启动。

首先需要转动惯量J，为简化，将所有质量（3kg）视为集中在0.5米处的点质量，那么J ≈ m × d² = 3 kg × (0.5 m)² = 0.75 kg·m²。

计算惯性矩：τ_inertial = J × α = 0.75 kg·m² × 10 rad/s² = 7.5 N·m

c. 合计峰值扭矩：τ_peak_needed = τ_gravity + τ_inertial = 12.25 N·m + 7.5 N·m = 19.75 N·m

考虑一个1.5倍的安全系数：

τ_motor_required = 19.75 N·m × 1.5 ≈ 30 N·m

PART 04

水平方向计算扭矩

如果机械臂的关节是 水平运动 （即旋转轴垂直于地面，例如一个转台），并且 纵向（垂直方向）是固定的 （意味着所有部件在高度方向没有相对运动），那么 重力产生的力矩为零 。

这是因为重力方向竖直向下，与旋转轴（垂直轴）平行。力臂的方向是水平方向，按照力矩公式:τ = r × F，当力与力臂平行时（实际是力矢量与旋转轴平行），叉乘结果为零。

因此，在这种情况下，需要计算的力矩不需要考虑重力，主要包括：

4.1 惯性力矩（最主要）

当关节加速或减速时，需要克服负载和机构自身的 转动惯量 。

公式 ：

τ = J × α

• τ ：惯性力矩 (N·m)
• J ：系统相对于该垂直旋转轴的 转动惯量 (kg·m²)，包括所有随关节转动的部件（连杆、负载等）。
• α ：角加速度 (rad/s²)

计算方法 ：

如果负载可简化为一个质心距离旋转轴水平距离为r的点质量m，则

J = m × r²。

对于形状复杂的部件，可以通过 CAD 软件或积分计算转动惯量，然后累加。

需要根据运动要求（如最大角速度ω_max和加速时间t_acc）估算所需角加速度：

α = ω_max / t_acc

4.2 摩擦力矩

轴承、传动机构（如减速器）等存在摩擦，这会产生一个与运动方向相反的力矩。

估算 ：

如果是初步计算，可以取惯性力矩的 5%~20% 作为摩擦补偿，或者查阅所选减速器/轴承的技术手册获得其摩擦力矩值。

对于精密设计，需要计算轴承摩擦力矩（取决于径向载荷、轴向载荷和轴承类型），但径向载荷可能来自水平方向的惯性力或外部作用力。

4.3 外部载荷力矩（如有）

如果机械臂在水平运动时会推动其他物体、承受风载或切削力等，这些水平方向的力也会产生绕垂直轴的力矩：τ_ext = F_ext × r_perp，其中r_perp是从旋转轴到力作用点的水平垂直距离。

4.4 总结计算步骤

1. 确定系统总转动惯量 J_total（相对于旋转轴）。
2. 确定最大角加速度 α_max。
3. 计算惯性力矩 ：τ_inertia = J_total × α_max。
4. 加上摩擦力矩 ：τ_friction（查手册或估算）。
5. 加上外部水平力矩 ：τ_ext（如果有）。
6. 总需求力矩 ：τ_total = τ_inertia + τ_friction + τ_ext。
7. 考虑安全系数 （一般 1.5~2）。

4.5 示例

一个垂直旋转轴上有一个质量m = 10 kg的负载，质心距离旋转轴r = 0.5 m。要求在0.2 s内从静止加速到ω_max = 3 rad/s。忽略摩擦和外部力。

转动惯量 ：J = m × r² = 10 × 0.5² = 2.5 kg·m²

角加速度 ：α = 3 / 0.2 = 15 rad/s²

惯性力矩 ：τ = 2.5 × 15 = 37.5 N·m

加上安全系数 1.5 → 电机需提供 ≥ 56.25 N·m 的扭矩（考虑减速机后需换算到电机轴）。

注意：如果使用了减速机，负载侧的力矩需求需除以减速比（并考虑效率）得到电机轴的力矩需求。

PART 05

总结对比

• 区分质量和重量 ：扭矩公式中使用的是质量m，但最终作用于机械臂的力是重量m × g。
• 认清最差工况 ：对于旋转关节，重力矩通常在机械臂完全水平伸展时达到峰值，设计时应以这个姿态为基准进行计算。
• 留足安全系数 ：实际系统中存在摩擦、加工误差等不确定因素，将理论计算值乘以一个安全系数（通常1.5-2.5）是必要的。
• 善用工具 ：对于复杂的多轴机械臂，手动计算非常繁琐，使用 MATLAB 或其他专业动力学仿真软件 进行建模分析是更高效准确的方法。