群、图与超图：带支撑约束的通用矩阵核的平均维数

群、图与超图：带支撑约束的通用矩阵核的平均维数

Groups, graphs, and hypergraphs: average sizes of kernels of generic matrices with support constraints

https://arxiv.org/pdf/1908.09589

我们发展了一套关于具有由图和超图定义的支撑约束的一般矩阵的核的平均大小的理论。我们将这一理论应用于研究与图关联的幂幺群。特别是，我们建立了关于枚举这些群共轭类的zeta函数的强一致性结果。我们推导出，所考虑群的 Fq-点的共轭类数量多项式地依赖于 q。我们的方法结合了群论、图论、环面几何和 p-进积分。

我们的一致性结果与Higman关于单位三角矩阵群共轭类数量的猜想相一致。然而，我们的发现与Belkale和Brosnan关于与图关联的给定秩的一般对称矩阵数量的相关结果形成了鲜明对比。

1 引言

在本文中，我们研究通过支撑约束（support constraints）定义的矩阵空间相关的计数问题。我们的工作受到有限 pp-群的（共轭）类数研究的激励，并对此有直接应用。我们将自然地触及三个主题：矩阵空间中的秩分布、幂幺群（unipotent groups）的类数以及群的 zeta 函数。我们首先非正式地预览我们的主要结果，将精确的定义和表述推迟到引言的后续部分。

在定理 F 中，我们推导了余图群的全局和局部类计数 zeta 函数的解析性质：值得注意的是，这些 zeta 函数的全局收敛横坐标（global abscissae of convergence）和所有局部极点的实部结果都是整数。

为了获得我们的结果，我们应用、发展并扩展了来自环面几何（toric geometry）和 p-进积分（p-adic integration）的方法。我们要强调的是，我们的方法是构造性的。特别是，第一作者作为其计算机代数系统 SageMath [70] 的包 Zeta [69] 的一部分，实现了用于计算定理 A 中有理函数的实用算法。使用该软件，与最多七个顶点的图关联的图群的类计数 zeta 函数已被完全确定。这些 zeta 函数的完整列表 [68] 可在第一作者的主页上找到。在第 9 节中，我们记录了与少量顶点的图关联的 zeta 函数的大量（但小得多）例子。

我们现在对相关且与我们工作相关的主题提供更详细的讨论，并正式陈述我们的主要结果。

1.1 计数给定秩的矩阵

野性 (Wilderness)。 对秩分布的研究自然涉及代数几何方法。多亏了这些方法，人们对于与一般、对称和反对称矩阵相关的子式理想（ideals of minors）已经知之甚多 [14,80]。

1.2 幂幺群的类数

1.3 Zeta 函数

1.4 群、图与超图

在本节中，我们（ somewhat 非正式地）介绍本文的主角：图群（graphical groups）以及图和超图的邻接表示（adjacency representations）和关联表示（incidence representations）；更完整和严谨的论述将在 §3 给出。

全文中，图均为有限图且无平行边，但可能包含自环（loops）；不含自环的图称为简单图（simple）。

一般而言，与全局定义的模表示相关的局部 ask zeta 函数的函数方程会在有限多个位处失效。然而，在本文的组合框架中，定理 A 意味着这组“坏”位是空集，或者至多（在图的正邻接表示情形下）是整除素数 2 的位的子集（但见注记 6.18）。全局结构的组合起源使得能够严格控制相关局部函数方程的适用范围，这一情形也出现在 [17, 定理 1.2]（等价地，[18, 定理 2.2]）中。

下列推论关注定理 A 设定下的一个极限“q→1”。

1.6 结果 II：弱序与超图的显式公式

虽然具有构造性，但我们要对定理 A(ii)–(iii) 的证明所具有的复杂递归性质，几乎没有提供关于所得有理函数如何依赖于所讨论的图的线索。相比之下，在超图的情形下，正如我们要的下一个主要结果所示，我们要使定理 A(i) 中的一致性陈述完全显式化。

我们指出，积分 (1.5) 作为 [54] 中引入并研究的与一般超平面构型（hyperplane arrangements）相关的 pp-进积分的特例（或特化）而出现。对于手头相关的案例，即布尔构型（Boolean arrangements），这些积分本质上等于 [71, 定义 2.9] 中引入的弱序 zeta 函数；详见 [54, §§4.5, 4.8]。

1.7 结果 III：余图及其模型

我们要了解的关于与超图关联的 ask zeta 函数的大部分内容都依赖于如 (1.3) 这样的显式公式。如上所述，这些公式的起点是通过如 (1.5) 中的单项式积分来表达与超图关联的局部 ask zeta 函数（即在紧 DVR 上的那些）。我们没有理由期望这种方法对图的邻接表示也能成功。（例 7.5 将表明 (1.5) 中的积分是不够的。）这解释了为什么我们要对定理 A 的部分 (ii)–(iii) 的证明比部分 (i) 的证明要复杂得多。

我们的构造揭示了一系列模型的具体性质。例如，模型的超边数量总是少于顶点数量。此外，正如对于图一样，模型的关联矩阵的所有条目之和总是偶数（这将由注记 7.25 得出）。这些条件进一步阐明了定理 C 的一般性程度。

我们注意到，通过取 ΓΓ 为 n 个顶点上的完全图且 H 为 n 个顶点上具有 n−1条超边的超图（每条超边的支撑均为所有顶点的集合）而获得的定理 D 的特例，已在 [64, 命题 5.11] 中（隐含地）得到证明。

定理 D 证明的要素。 就像我们要对定理 A 的证明不仅仅是通过阐明某些模的结构来确立 zeta 函数的一致性一样，余图建模定理也不仅仅是基于有理函数的巧合。将精确定义推迟到 §3.2，超图 H 的关联模（incidence module）是一个代数地编码 H 的顶点与超边之间关联关系的模。在 §3.3 中，我们通过编码顶点间的邻接关系，类似地定义了简单图 Γ的负邻接模（negative adjacency module）。在这种术语下，定理 D 是定理 D 的一个结构对应物（定理 7.1）的推论，该对应物确立了对于每个余图 ΓΓ，存在一个（显式的）超图 H，使得 Γ 的负邻接模与 H 的关联模虽然通常不同构，但却是“环面同构”的（相差一个易于理解的直和项）。非正式地说，这意味着这两个模在与适当扇（fan）中的所有锥（cones）关联的环面环上变得同构；见 §4.4 以获得精确定义。

群论应用。 通过余图群（概型）（cographical group (scheme)），我们要指的是源自余图的图群（概型）（见 §1.4）。通过结合推论 B、定理 C 和定理 D，我们要获得了用关联的建模超图表示的余图群概型的（局部）类计数 zeta 函数的显式公式。

特别是，我们要关于超图的 ask zeta 函数的许多结果（例如显式公式和关于解析性质的信息）对于关联的余图群概型的类计数 zeta 函数有着直接的应用。这些结果记录在第 8 节中。例如，作为对几个先前已知公式的实质性推广，我们要显式确定了与以下 Z 上的余图群类关联的余图群概型的（局部）类计数 zeta 函数：

与自由 2-类幂零群以及两个自由阿贝尔群的 2-类幂零自由积相关的余图群概型的类计数 zeta 函数此前已由 Lins [52, 推论 1.5] 确定。

正如上文所述，右角 Artin 群与我们的图群关系密切。例如，与余图关联的右角 Artin 群已在 [41, 42] 中得到研究。

1.8 一个反复出现的例子

我们将通过一个简单但具有启发性的例子来阐述定理 A、C 和 D，该例子将在整篇论文中被反复提及。

例 1.6. 设 ΓΓ 为如下简单图：

1.9 结果 IV 与开放问题

我们汇集了上述主要结果的推论——这些推论将在 §8.1 中加以证明——它们既与渐近群论和有限群论中感兴趣的主题密切相关，又似乎有望为后续研究提供富有前景的途径。

解析性质。 （非负）狄利克雷级数最基本的解析不变量是其收敛横坐标，它精确刻画了该级数部分和的多项式增长的阶数。在一篇开创性的论文 [27] 中，du Sautoy 和 Grunewald 表明，与幂零群关联的子群 zeta 函数具有有理的收敛横坐标。事实证明，对于任意的 Baer 群概型，其类计数 zeta 函数也是如此。（要证明这一点，结合下文的命题 2.6 和 [64, 定理 4.20]。）对于余图群概型，我们可以做得更好。利用定理 D 以及对定理 C 中分母的分析，我们得到以下结果。

1.10 大纲

第 2 节。 在 §2 中，我们收集了关于 ask zeta 函数的基本事实，特别是来自 [67] 的关键对偶运算。在此过程中，我们在 §2.4 中正式定义了 Baer 群概型，并将它们的类计数 zeta 函数与附着在交错双线性映射上的 ask zeta 函数联系起来。除了回顾背景材料外，我们还发展了一种“余核形式体系”（见 §2.5），用于利用 pp-进积分来表达 ask zeta 函数。在 §2.6 中，我们利用这一点将 ask zeta 函数解释为附着在多项式环上的模的更一般类 zeta 函数的特例。

第 3 节。 在 §3.1 回顾了关于图和超图的基本构造和术语后，我们在 §§3.2–3.3 中定义了 §1.4 中非正式描述的邻接表示和关联表示。我们进一步定义了邻接模和关联模，并根据 §2.6 的意义将它们的 zeta 函数与和邻接及关联表示相关的 ask zeta 函数联系起来。在 §3.4 中，我们正式定义了图群和群概型，并将后者的类计数 zeta 函数与邻接表示的 ask zeta 函数联系起来。

第 4 节。 环面几何（Toric geometry）在 §4 中登场。我们首先在 §4.1 中收集凸几何的基本事实，并在 §4.2 中收集关于环面环（toric rings）和概型的基本事实。在 §4.3 中，我们通过将 zeta 函数附着在环面环上的模上，进一步扩大了 §2.6 中引入的 zeta 函数类（正如我们要所见，其中包括 ask zeta 函数）。在 §4.4 中，我们证明定理 A(i)，并引入关键概念“环面组合”（torically combinatorial）模，这也将构成我们要证明定理 A(ii)–(iii) 的基础。

第 5 节。 §5 致力于通过定理 A(i) 详细分析附着在超图 HH 上的有理函数 WH(X,T)WH(X,T)。在 §5.1 中，我们证明（稍更一般版本的）定理 C。随后 §5 的其余部分集中在两个主要主题上。首先，对于几类感兴趣的超图，我们要提供了定理 A(i) 的更易处理的形式。这些类别包括 §5.1.1 中的“阶梯超图”（staircase hypergraphs）、§5.2.1 中的“块超图”（block hypergraphs）的不交并，以及 §5.3.1 中后一族超图的“反射”（reflections）。其次，正如我们要在 §§5.2–5.4 中探索和利用的那样，定理 C 提供的通用公式在超图的自然运算下表现良好。最后，我们在 §5.5 中推导出了关于超图 ask zeta 函数解析性质的推论。

稍后，我们要在 §5 中的结果将通过余图建模定理（定理 D，在 §7 中证明）在 §8 中找到群论应用。特别是，上述提到的超图运算将转化为自然的群论运算。

第 6 节。 在 §6 中，我们证明定理 A(ii)–(iii) 以及推论 B。我们的证明通过一种共同的推广，即 §6.1 中引入的“加权符号多重图”（weighted signed multigraphs, WSMs），同时考虑图的正邻接表示和负邻接表示。多重图比图更一般，因为它们允许平行边。每个 WSM 都会产生一个邻接模（在适当的环面环上），这推广了 §3 中图的正负邻接模。在 §6.2 中，我们描述了一系列针对 WSMs 的“手术过程”（surgical procedures），这些过程不影响相关的邻接模。即使原始多重图是一个图，这些过程也可能引入平行边——这证明了引入 WSMs 概念的合理性。在 §6.3 进行了一些技术准备后，我们在 §6.4 中利用这些过程给出了定理 A(ii)–(iii) 的归纳证明。

第 7 节。 余图建模定理（定理 D）是 §7 的主题。我们首先在 §7.1 中回顾关于余图的基本事实。然后在 §7.2 中，我们要解释定理 D 如何从一个结构比较结果（定理 7.1）得出，该结果关联了余图的邻接模和超图的关联模。扩展支撑定理 A(ii)–(iii) 证明的思想，§7 的其余部分随后致力于证明定理 7.1。§7.3 给出了我们要证明中涉及的要素及我们要整体策略的概览。随后在 §§7.4–7.7 中实施了这一策略。

2 多项式环上的 ask zeta 函数与模

在本节中，我们回顾关于模表示及相关 ask zeta 函数的背景材料，这些材料来自 [64, 67]。我们还将后者与关联于 Baer 群概型的类计数 zeta 函数联系起来。最后，我们要为 ask zeta 函数发展一种“余核形式体系”，这使得我们要可以将后者视为附着在多项式环上的模的一类更广泛函数的特例。

全文中，令 R 为一个环。

2.1 模表示

原文链接：https://arxiv.org/pdf/1908.09589