R语言直线回归和直线相关分析

医学和生信笔记

发布于 2026-05-13 12:54:52

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检验、多样本均数比较的方差分析、卡方检验、秩转换的非参数检验，都是着重于描述某一变量的统计特征（或者叫分布情况）或比较该变量在不同组别之间的差别。但是在大量医学实践中，经常会遇到两个变量关系的研究，比如：两个变量有没有相关关系？是正相关/负相关？有没有直线相关或者曲线相关关系？

直线回归

孙振球《医学统计学》第4版例9-1、例9-2、例9-3、例9-4。

某地方病研究所调查了8名正常儿童的尿肌酐含量（mmol/24h），估计尿肌酐含量（Y)对其年龄（X）的直线回归方程。

data9_1 <- data.frame(x = c(13,11,9,6,8,10,12,7),
                    y = c(3.54,3.01,3.09,2.48,2.56,3.36,3.18,2.65))

建立回归方程，书中对于最小二乘法写了非常多内容，但是用代码就是1行即可：

fit <- lm(y ~ x, data = data9_1)
summary(fit) # 查看模型结果
## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x, data = data9_1)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -0.21500 -0.15937 -0.00125  0.09583  0.30667 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
## (Intercept)  1.66167    0.29700   5.595  0.00139 **
## x            0.13917    0.03039   4.579  0.00377 **
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.197 on 6 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7775, Adjusted R-squared:  0.7404 
## F-statistic: 20.97 on 1 and 6 DF,  p-value: 0.003774

截距是1.66167，x的系数是0.13917（也就是这条直线的斜率），对x这个变量进行假设检验得出：t=4.579，p=0.00377。

同时该结果也给出了回归方程的假设检验结果：F-statistic: 20.97，p-value: 0.003774。

例9-3，计算回归系数的95%的可信区间：

# β值的95%可信区间
confint(fit)
##                  2.5 %   97.5 %
## (Intercept) 0.93493789 2.388395
## x           0.06480131 0.213532

我们可以通过函数的方式分别获取模型信息：

# β值
coefficients(fit)
## (Intercept)           x 
##   1.6616667   0.1391667
# β值
coef(fit)
## (Intercept)           x 
##   1.6616667   0.1391667
# OR值
exp(coef(fit))
## (Intercept)           x 
##    5.268084    1.149316
# OR值的95%的可信区间
exp(confint(fit))
##                2.5 %    97.5 %
## (Intercept) 2.547055 10.895997
## x           1.066947  1.238043

或者直接使用broom计算即可：

broom::tidy(fit,conf.int = T)
## # A tibble: 2 × 7
##   term        estimate std.error statistic p.value conf.low conf.high
##   <chr>          <dbl>     <dbl>     <dbl>   <dbl>    <dbl>     <dbl>
## 1 (Intercept)    1.66     0.297       5.59 0.00139   0.935      2.39 
## 2 x              0.139    0.0304      4.58 0.00377   0.0648     0.214

根据结果知：x的可信区间为：(0.06480131,0.213532)。

例9-4，当x=12时，计算总体均数的可信区间和个体Y值的预测区间，1行代码即可实现:

new_x <- data.frame(x=12)

# 总体均数的可信区间
predict(fit, newdata = new_x,interval = "confidence",level = 0.95)
##        fit      lwr      upr
## 1 3.331667 3.079481 3.583852

# 个体Y值的预测区间
predict(fit, newdata = new_x,interval = "prediction",level = 0.95)
##        fit      lwr      upr
## 1 3.331667 2.787731 3.875602

以上结果均和书中一致。

直线相关

孙振球《医学统计学》第4版例9-5、例9-6。

某医师测量了15名正常成年人的体重（kg）与CT双肾总体积（ml）大小，问：两变量是否有关联？其方向与密切程度如何？

data9_5 <- data.frame(
  weight = c(43,74,51,58,50,65,54,57,67,69,80,48,38,85,54),
  kv = c(217.22,316.18,231.11,220.96,254.70,293.84,263.28,271.73,263.46,
         276.53,341.15,261.00,213.20,315.12,252.08)
)

str(data9_5)
## 'data.frame':    15 obs. of  2 variables:
##  $ weight: num  43 74 51 58 50 65 54 57 67 69 ...
##  $ kv    : num  217 316 231 221 255 ...

两变量是否有关联？其方向和密切程度如何？

直接用cor可计算相关系数r（又叫Pearson积差相关系数）：

cor(data9_5$weight, data9_5$kv)
## [1] 0.8754315

或者直接用cor.test，既可以计算相关系数，又可以计算相关系数的P值：

cor.test(data9_5$weight, data9_5$kv)
## 
##  Pearson's product-moment correlation
## 
## data:  data9_5$weight and data9_5$kv
## t = 6.5304, df = 13, p-value = 1.911e-05
## alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  0.6584522 0.9580540
## sample estimates:
##       cor 
## 0.8754315

从结果可以看出，两者是正相关，相关系数r=0.8754，且P值小于0.05，并给出了相关系数的可信区间：（0.6584522~0.9580540），具有统计学意义！

可视化结果：

library(ggplot2)

ggplot(data9_5, aes(weight, kv)) +
  geom_point(size = 4) +
  geom_smooth(method = "lm",se=F) +
  geom_vline(xintercept = mean(data9_5$weight),linetype=2)+
  geom_hline(yintercept = mean(data9_5$kv),linetype=2)+
  labs(x="体重(kg)X",y="双肾体积(ml)Y")+
  theme_classic()
## `geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'

相关性分析的过程比较简单，在选择方法时要注意是使用pearson相关还是秩相关。

决定系数R2的计算：

summary(lm(weight ~ kv, data = data9_5))
## 
## Call:
## lm(formula = weight ~ kv, data = data9_5)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -9.947 -4.469 -1.338  4.285 12.500 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -23.1845    12.7869  -1.813    0.093 .  
## kv            0.3109     0.0476   6.530 1.91e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 6.777 on 13 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7664, Adjusted R-squared:  0.7484 
## F-statistic: 42.65 on 1 and 13 DF,  p-value: 1.911e-05

Multiple R-squared：0.7664, Adjusted R-squared（调整后的决定系数）：0.7484

R2取值在0到1之间且无单位，其数值大小反映了回归贡献的相对程度，也就是在Y的总变异中回归关系所能解释的百分比。回归平方和（R2）越接近总平方和，则r（相关系数）绝对值越接近1，说明相关的实际效果越好。

本例r=0.875，得到R2=0.7656，表示此例中休重可解释双肾体积变异性的76.56%，另外约23%的变异不能用体重来解释。

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