让我来告诉你如何实现AVL树(C++)

Yuzuriha

发布于 2026-01-14 15:55:26

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概念

1.AVL树是最早发明的自平衡二叉树。AVL树是一颗空树or一个棵左右子树都为符合AVL树，且左右两边子树的高度差的绝对值不大于1。

2.对于实现AVL树，我们这里引入了平衡因子（banlance factor 简写为bf）这个概念帮助我们实现AVL树。AVL树的每一个节点都有平衡因子，平衡因子=右子树的高度-左子树高度。

3.其实AVL树是实现不一定要用平衡因子，只是使用平衡因子可以更好的帮助我们观察与控制AVL树的平衡

平衡因子的更新

1.平衡因子=右子树高度-左子树高度

2.只有当左右子树发生了高度变化才会更新平衡因子

3.插入左子树时，平衡因子--。插入有子树时，平衡因子++

4.parent的平衡因子是否变化决定了是否继续向上更新

停止更新条件

1.当更新之后parent的bf等于0，说明更新之前parent子树是一边高一边低（-1->0 or 1->0），更新之后使其两边都一样高，parent子树并没有高度变化，不会影响parent的父亲节点，所以停止更新

2.当更新之后parent的|bf|=1，说明更新之前parent子树左右两边一样高（0 -> 1）更新之后使左右两边一边高一边低，parent子树的高度发生改变，会影响parent的父亲节点，所以继续向上更新

3.当更新之后parent的|bf|=2，已经破坏平衡，停止更新，并调整结构使其重新达到平衡

4.一直更新直到更新到根节点，停止更新

实现

AVL树结构的实现

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	// 需要parent指针，后续更新平衡因子可以看到 
	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	int _bf; // balance factor 平衡因子

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
	{}
};


template<class k, class v>
class AVLTree
{
public:
	//typedef AVLTreeNode<k, v> Node;
	using Node = AVLTreeNode<k, v>;

    //
    //
    //
    //

private:
	Node* _root = nullptr;
}

AVL树的插入

当|bf|=0直接停止更新，当|bf|=1时使用循环直接向上更新，这两个情况后续我会在代码中直接展现不过多讨论。我们真正需要关注的是当|bf|=2时，我们应该如何调整使其重新回归平衡

单旋

右单旋：

由于左边插入节点导致左边高度太高，我们可以将parent向右旋转，让其左右高度平衡。旋转的核心是subRL这个节点，subR<subRL<parent。旋转之后仍满足搜索二叉树的规则，并且控制了高度

调整完成，更新各个节点的平衡因子后，就停止更新了

//右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;

	Node* pParent = parent->_parent;
	subL->_right = parent;
	parent->_parent = subL;

	parent->_left = subLR;
	if(subLR)
		subLR->_parent = parent;

	//判断：若旋转的节点为根，则代表这是一颗完整的树，不需要处理
	//若旋转的节点不为根，则代表这是一颗子树，需要连接至上面的树
	if (pParent == nullptr)
	{
		_root=subL;
		subL->_parent = nullptr;
		
	}
	else
	{
		if (pParent->_left == parent)
		{
			pParent->_left = subL;
			subL->_parent = pParent;
		}
		else
		{
			pParent->_right = subL;
			subL->_parent = pParent;
		}
	}

	//更新平衡因子
	subL->_bf = parent->_bf = 0;

}

左单旋：

与右单旋同理，只是方向反了一下

//左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	
	parent->_right = subRL;
	if(subRL)
		subRL->_parent = parent;

	Node* pParent = parent->_parent;
	subR->_left = parent;
	parent->_parent = subR;

	if (pParent == nullptr)
	{
		_root = subR;
		subR->_parent= nullptr;
	}
	else
	{
		if (pParent->_left == parent)
		{
			pParent->_left = subR;
		}
		else
		{
			pParent->_right = subR;
		}
		subR->_parent = pParent;
	}

	//更新平衡因子
	subR->_bf = parent->_bf = 0;

}

双旋

左右双旋：

先给出一个简单情况帮助我们理解一下，左右双旋与前面的右单旋的区别与联系。由图我们可以看出，左右双选与右单旋都是左边高，仅仅是插入的位置不同

总的来说左右双旋的插入位置在subL的右边，如图所示。但是subL的右子树也存在左右子树所以我们应该要分类讨论一下这个细节

新增节点插在e时：

新增节点插在f时：

由图我们可以看到，其实对于左右双旋来说，插在e还是f点对结果的影响就是subL与parent的平衡因子不同，旋转的步骤是一模一样的。所以我们不管是插入在e还是f，对于左边双旋的步骤都为：1.左旋subL 2.右旋parent 3.记录subLR旋转前的平衡因子，判断插入的位置，根据插入的位置来更新平衡因子

//左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{
	//提前记录，插入的位置
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;
	int bf = subLR->_bf;

	//直接复用左右单旋
	RotateL(subL);
	RotateR(parent);

	if (bf == 0)
	{
		parent->_bf = 0;
		subL->_bf = 0;
		subLR->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 1)
	{
		parent->_bf = 0;
		subL->_bf = -1;
		subLR->_bf = 0;
	}
	else if (bf == -1)
	{
		parent->_bf = 1;
		subL->_bf = 0;
		subLR->_bf = 0;
	}
	else
	{
		assert(false);
	}
}

右左双旋：

右左双选的步骤与左右双选的步骤一模一样，只是方向反了。这里就不画图演示了，具体步骤为：1.右旋subR 2.左旋parent 3.记subRL旋转前的平衡因子，判断插入的位置，根据插入的位置来更新平衡因子

//右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	int bf = subRL->_bf;

	//直接复用右左单旋
	RotateR(subR);
	RotateL(parent);

	if (bf == 0)
	{
		parent->_bf = 0;
		subR->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 1)
	{
		parent->_bf = -1;
		subR->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
	}
	else if (bf == -1)
	{
		parent->_bf = 0;
		subR->_bf = 1;
		subRL->_bf = 0;
	}
	else
	{
		assert(false);
	}
}

AVL的搜索

AVL的搜索与搜索二叉树的搜索无异，这里我们直接给出

Node* Find(const K& key)
{
    Node* cur = _root;
    while (cur)
    {
        if (cur->_kv.first < key)
        {
            cur = cur->_right;
        }
        else if (cur->_kv.first > key)
        {
            cur = cur->_left;
        }
        else
        {
            return cur;
        }
    }
    return nullptr;
}

总结

完整代码如下

#pragma once
#include<iostream>
#include<assert.h>
#include<vector>
using namespace std;

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	// 需要parent指针，后续更新平衡因子可以看到 
	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	int _bf; // balance factor 平衡因子

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
	{}
};

template<class k, class v>
class AVLTree
{

public:
	//typedef AVLTreeNode<k, v> Node;
	using Node = AVLTreeNode<k, v>;

	bool Insert(const pair<k,v>& kv)
	{
		Node* cur = _root;
		Node* parent = cur;

		if (cur == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
		
		while(cur)
		{
			if (cur->_kv.first > kv.first)       //pair重载了大小于运算符
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
				
			}
			else if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
					
			}
			else
				return false;
		}
		if (parent->_kv.first > kv.first)
		{
			cur = new Node(kv);
			parent->_left = cur;
		}
		else
		{
			cur = new Node(kv);
			parent->_right = cur;
		}
		
		//连接到父亲节点
		cur->_parent = parent;


		//控制平衡
		//更新平衡因子
		while (parent)
		{
			if (parent->_left == cur)
				parent->_bf--;
			else
				parent->_bf++;

			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				//进行旋转
		
				if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)//右单旋（单纯的左边高）
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if(parent->_bf==2&&cur->_bf==1)//左单选（单纯的右边高）
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf==-2&&cur->_bf==1)//左右双旋:先左单旋再右单旋（不单纯的左边高）
				{
					RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf==2&&cur->_bf==-1)//右左双旋：先右单旋再左单旋（不单纯的右边高）
				{
					RotateRL(parent);
				}
				else
				{
					assert(false);
				}

				break;
			}
			else
			{
				assert(false);
				//预防未知错误的编程逻辑
			}
		}


		return true;
	}

	//右单旋
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		Node* pParent = parent->_parent;
		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		parent->_left = subLR;
		if(subLR)
			subLR->_parent = parent;

		//判断：若旋转的节点为根，则代表这是一颗完整的树，不需要处理
		//若旋转的节点不为根，则代表这是一颗子树，需要连接至上面的树
		if (pParent == nullptr)
		{
			_root=subL;
			subL->_parent = nullptr;
			
		}
		else
		{
			if (pParent->_left == parent)
			{
				pParent->_left = subL;
				subL->_parent = pParent;
			}
			else
			{
				pParent->_right = subL;
				subL->_parent = pParent;
			}
		}

		//更新平衡因子
		subL->_bf = parent->_bf = 0;

	}

	//左单旋
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		
		parent->_right = subRL;
		if(subRL)
			subRL->_parent = parent;

		Node* pParent = parent->_parent;
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;

		if (pParent == nullptr)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent= nullptr;
		}
		else
		{
			if (pParent->_left == parent)
			{
				pParent->_left = subR;
			}
			else
			{
				pParent->_right = subR;
			}
			subR->_parent = pParent;
		}

		//更新平衡因子
		subR->_bf = parent->_bf = 0;

	}

	//左右双旋
	void RotateLR(Node* parent)
	{
		//提前记录，插入的位置
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;

		//直接复用左右单旋
		RotateL(subL);
		RotateR(parent);

		if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 1;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}


	//右左双旋
	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;

		//直接复用右左单旋
		RotateR(subR);
		RotateL(parent);

		if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = -1;
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

	
	Node* Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}
		return nullptr;
	}

private:


	Node* _root = nullptr;
};

如有纰漏还请各位大佬斧正

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原始发表：2026-01-13，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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