⼆叉搜索树

陈大大川

发布于 2025-12-30 15:19:28

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1.⼆叉搜索树的概念

⼆叉搜索树⼜称⼆叉排序树，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的⼆叉树:

若它的左⼦树不为空，则左⼦树上所有结点的值都⼩于等于根结点的值

若它的右⼦树不为空，则右⼦树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值

它的左右⼦树也分别为⼆叉搜索树

⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值，也可以不⽀持插⼊相等的值，具体看使⽤场景定义

2.⼆叉搜索树的性能分析

最优情况下，⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，其⾼度为： O (log 2 N )

最差情况下，⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀)，其⾼度为： O ( 2/N)

所以综合⽽⾔⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为： O ( N )

那么这样的效率显然是⽆法满⾜我们需求的，我们后续课程需要继续讲解⼆叉搜索树的变形，平衡⼆叉搜索树AVL树和红⿊树，才能适⽤于我们在内存中存储和搜索数据。

另外需要说明的是，⼆分查找也可以实现 O ( logN ) 级别的查找效率，但是⼆分查找有两⼤缺陷：

1. 需要存储在⽀持下标随机访问的结构中，并且有序。

2. 插⼊和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数

据。

这⾥也就体现出了平衡⼆叉搜索树的价值。

3.二叉树的插入

1. 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针

2. 树不空，按⼆叉搜索树性质，插⼊值⽐当前结点⼤往右⾛，插⼊值⽐当前结点⼩往左⾛，找到空位

置，插⼊新结点。

3. 如果⽀持插⼊相等的值，插⼊值跟当前结点相等的值可以往右⾛，也可以往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插⼊相等的值不要⼀会往右⾛，⼀会往左⾛）

4.二叉搜索树的查找

1. 从根开始⽐较，查找x，x⽐根的值⼤则往右边⾛查找，x⽐根值⼩则往左边⾛查找。

2. 最多查找⾼度次，⾛到到空，还没找到，这个值不存在。

3. 如果不⽀持插⼊相等的值，找到x即可返回

4. 如果⽀持插⼊相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x。如下图，查找3，要

找到1的右孩⼦的那个3返回

5.⼆叉搜索树的删除

⾸先查找元素是否在⼆叉搜索树中，如果不存在，则返回false。

如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）

1. 要删除结点N左右孩⼦均为空

2. 要删除的结点N左孩⼦位空，右孩⼦结点不为空

3. 要删除的结点N右孩⼦位空，左孩⼦结点不为空

4. 要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空

对应以上四种情况的解决⽅案：

1. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样

的）

2. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的右孩⼦，直接删除N结点

3. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的左孩⼦，直接删除N结点

4. ⽆法直接删除N结点，因为N的两个孩⼦⽆处安放，只能⽤替换法删除。找N左⼦树的值最⼤结点

R(最右结点)或者N右⼦树的值最⼩结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的

位置，都满⾜⼆叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转⽽变成删除R结

点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。

6.二叉搜索树的实现

#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;
namespace key
{
	template<class K>
	struct BSTNode
	{
		K _key;
		BSTNode* _left;
		BSTNode* _right;

		BSTNode(const K& key)
			; _key(key)
			, _left(nullptr)
			, _right(nullptr)
		{}
	};

	template<class K>
	class BSTree
	{
		using Node = BSTNode<K>;

	public:
		bool Insert(const K& key)
		{
			if (_root == nullptr)
			{
				_root = new Node(key);
				return true;
			}

			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;
			while (cur)
			{
				if (cur->_key < key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_key > key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else
					return false;
			}
			cur = new Node(key);
			if (parent->_key < key)
			{
				parent->_right = cur;
			}
			else
			{
				parent->_left = cur;
			}
		}

		bool Find(const Node& key)
		{
			Node* cur = _nood;
			while (cur)
			{
				if (cur->_key < key)
					cur = cur->_right;
				else if (cur->_key > key)
					cur = cur->left;
				else
					return true;
			}
			return false;
		}

		bool Earse(const Node* key)
		{
			Node* cur = _root;
			Node* parent = nullptr;
			while (cur)
			{
				if (cur->_key < key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_key > key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					//左为空
					if (cur->_left == nullptr)
					{
						if (cur == _nood)
						{
							_nood = cur->_right
						}
						else 
							if(parent->_left == cur)
							{
							parent->_left = cur->_right;
							}
							else
							{
								parent->_right = cur->_right;
							}
						delete cur;
					}
					//右为空
					else if (cur->_right == nullptr)
					{
						if (_nood == cur)
						{
							_nood = cur->_left;
						}
						else
						{
							if(parent->_right == cur)
							{
								parent->_right = cur->_left;
							}
							else
							{
								parent->_left = cur->_left;
							}
						}	
						delete cur;
					}
					//两边都不为空
					// 右子树最左节点
					else
					{
						Node* replaceParent = cur;
						Node* replace = cur->_right;
						while (replace->_left)
						{
							replaceParent = replace;
							replace = replace->_left;
						}

						cur->_key = replace->_key;

						if (replaceParent->_left == replace)
							replaceParent->_left = replace->_right;
						else
							replaceParent->_right = replace->_right;

						delete replace;
					}
					return true;
				}
			}
			return false;
		}
		void InOrder()
		{
			_InOrder(_root);
			cout << endl;
		}
	private:

		void _InOrder(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
			{
				return;
			}

			_InOrder(root->_left);
			cout << root->_key << " ";
			_InOrder(root->_right);
		}
	private:
		Nood* _nood = nullptr;
	};


}

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原始发表：2025-12-30，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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