关键牌找牌技术的数学原理——逻辑地位、框架模型和分类（一）

早点关注我，精彩不错过！

经过一轮数学和魔术的循环，终于又要回到我们最熟悉和有料的数学魔术的系列了！在前面的魔术系列里（《魔术的定义、评价与分类（八）——按魔术现象分类》），我们用数学模型重新审视了魔术究竟为何的问题，并进一步理清了数学在魔术中的位置和承担的功能。以此做到不妄自菲薄也不极端夸大，能有个正确的认知。接下来的内容，刚巧我们就用这一结构来拆解扑克魔术中经典中的经典——关键牌找牌。

关键牌找牌技术的逻辑地位

在我计划中接着的一个大的魔术系列是打算就用这个框架讲找到观众的牌这一效果的方法，基本也成文了，即将和大家见面。其中集中归为数学原理这一类的，主要有数学强选、托或暗中的编码通信、扑克牌几何性质和由魔术师利用序列规律特征完成的关键牌方法。其中，

1. 数学强选：源于各种暗中的数学常量且有在各原理上有早已超出找牌的各种应用，已零散地分布在各篇文章中，纯强选部分也比较简单，这里不再过多展开，留到专题的课上去用了；

2. 编码通信：在《编码通信与魔术初步（七）——二进制编码经典魔术《街头猜数字》》系列中已经系统讲过，包括暗中和托两种方法。其实还有一种通信完以后再移动到特定位置的玩法，在《27张巴格拉斯》、《完美洗牌巴格拉斯》等作品中也有，不过那里通信的是数字且用巧合呈现的；另外还有仍然利用二进制编码来围绕张数作巧合的作品，也都不错，但不在本找到观众的牌这个最简单朴素的效果中了；

3. 几何性质：这个内容比较少，无非是牌张的形状和图案内容的中心和几何对称性，留到我的课里去讲啦；

而最后一类关键牌法，应该说是所有这些类的原理中，性价比最高的一个。因为无论从效果的神奇、安全、公平和合理的角度，还是方法的简单、巧妙和聪明程度，甚至丰富度来看，它在整个找牌魔术中都处于绝对的领先地位。是那种十分值得珍惜的，有成熟系统的内容。

更何况，它的整个系统，几乎全都是用数学公式描述的，那岂能逃出我的法眼？

这一系列，我们就从数学原理出发，完整系统地阐释关键牌找牌技术的理论和应用。这也是我们第一次从效果（找牌）出发去讲一系列完成它的数学原理。虽然限定了关键牌的基本结构类型，但涉及的数学主题也会有很多。另外，这些原理（比如排列、子串等）很多也不仅用在找牌上，后续可能在其他系列里会再进行拓展，这个我们后续再说。最后，这一篇尽量把所得的魔术效果就限定在找到观众的1张选牌上（少量进行n次重复），不进行诸如巴格拉斯（仅点到为止）等的过多包含了巧合等效果的其他扩展。不然篇幅就限定不下来，没法集中火力把核心问题讲清楚了。

不过放心，略过的分支部分，我都会再成文来分享的。

现在开始。

关键牌找牌技术的框架模型

关键牌找牌魔术的流程一般是这样的：

1. 观众从给定牌叠范围内选一张牌：可以是抽出来拿走，也可以是切牌等操作后的底牌等随机位置的牌等，比较罕见的也可以是直接想的（一般得结合牌序，一般也会升级为巴格拉斯）；

2. 观众把牌放回牌叠中：可以是随机或固定插入，或者把切牌的结果扔回牌叠等，少量也有不放的（选前关键子串，或者直接利用补集来猜的，甚至一开始就是想的）；

3. 魔术师把牌洗乱：不是必要步骤，是在观众认为前面的放回过程不够公平和随机时的补充，是一种在性质成立下的表演效果加强；

4. 魔术师把牌找出来：应用关键牌找牌技术的公式，通过可见的牌叠信息和在前面因特定操作留下来的特征，算出选牌的值。

其实这些步骤基本是找牌魔术通用的，只不过暗中用了关键牌方法来定位。这里我们也给关键牌找牌技术下一个定义：即通过初始若干牌的特征、选牌、放回、打乱下产生的和选牌相关的特征变化，最后通过牌叠结果特征推断选牌的方法。其中特征即牌值和位置的相互关系，而这些用到了特征的特殊的初始牌就叫关键牌。这里特征也可以等价地用信息二字代替，关键牌也可以是个元组、集合，排列、序列等等结构。其中牌叠的主要性质可以是选牌前、中和后为主形成并使用的，相互关系包括单张牌值和位置，多张牌的值和位置的交叉关系。比如某值的下一张的值，某两张牌的位置相差2，某张牌的点数指向了另一张牌的位置等等，甚至都不一定是确定的等式。而如果一开始是一条子串的严格排序信息，那也叫关键序列。而且，牌的位置和值的性质基本不可能孤立存在，除非是整叠牌都不是黑桃这种纯集合性质了。

在后面要发表的找牌系列中，我们限定关键牌找牌这个技术，是个超能力的感应效果。其认知偏差的原因是选后获取中的标记后获取，也即暗中通信法，内部还包含该性质的保持和转化的常量操作。其基本方法由魔术师的基本牌叠操作完成，利用的认知偏差主要来源于对其牌叠起点状态和操作过程中所暗含的数学性质和变化过程无法清晰建模，错误认知为已经洗乱，形成找不到的结论。这里暗中通信的明确信息中，一般要求明确到底是哪张牌，而不是像CATO，MAT一样是一堆牌的性质集合来完成暗中通信，否则还需要别的信息辅助来确定是哪张牌。而且一般要求不能是直接的偷看，那个没有数学结构的应用和计算过程，那是选后获取中的即时获取，不归为此类。

上面这段就是关键牌找牌技术的原理和方法组成的暗中通信结构的数学模型框架了，本系列所有效果都是在这个框架上完成。相信你可能听得也有点晕乎，好像什么都说了，又好像没懂。别急，接下来，整个系列都会继续拆解，这里所谓的暗含的数学性质，到底建立在哪些模型上，又是怎么完成令人迷惑的转化的。

实话说，完成这个模型框架的构建和细致的分类耗费了大量的精力和热爱，市面上我确实也没见到这样的东西，有的倒是不少零零散散各式各样的找牌的单个流程。但是这些离构建系统还差着十万八千里，我虽然佩服这些人是怎么想到这些永垂不朽的方法的。但对于其中的科学式的模式，至今还在苦苦探索，毕竟是理性脑，不玄学。我能把方法背后的数学原理这一点研究清楚，我想也算是我在这个领域能够留的下来的问心无愧的东西了。可能魔术的效果情节，表演呈现上暂时以总结借鉴为主，暂时对我而言，有个及格的水平够用足矣。

关键牌找牌技术的分类

根据关键牌找牌技术的框架模型，整体上应该是和找牌魔术的数学魔术的结构类似，有分关键状态的构建时机（选前（关键子串），选时（排列系列等），选后（放回时相邻等）），中间的转化混淆（切牌（牌环结构不关联顶底位置的都可以）、鸽尾洗牌、其他洗牌），还有中间所用的数学性质和操作的类型以及最后的找牌公式的类型。

可见分类角度非常多，有点混乱。不过好在各个分类之间矛盾不大，没有特别的网格交叉和复杂关联，就其技术的描述范围和内部分类情况，把考虑的各要素整理如下：

1. 入选作品的前提是感应类效果，找到观众选的牌；必须是其中选后获取中的标记后获取的方法，而且有比较重的数学模型来描述和作为产生认知偏差的原因；

2. 从获取找牌关键性质的时间分为：选前、选中、选后，理论上选中和选后也不可能完全不用选前的性质，但核心的性质来自于此时也如此分类了，比如选前记住的几张关键牌，但被赋予找牌能力的选中的切牌过程或选后的挨着关键牌，那就都会归为选中和选后；归为选前的也不是选后完全不用，只是比如选前关键子串已经就把信息记录得很明确了；而有的特征子串流程则是从头到尾都很重要，命名类型时就不加时间特征了；

3. 从性质经历的转化混淆分：是否切牌、riffle shuffle和随意洗牌等操作，本质上是性质的新一轮保持和转化过程；

4. 从所用的数学性质分为：循环序列递推关系、时齐的长距离递推关系（序列值之间的关系）、通项公式；排列模型（排列构造索引关系和排列上的选牌特征）；序列索引和值之间的一一映射，索引间关系；集合的属性区分；Riffle shuffle的子序列性质等等。这些数学性质和魔术之间有多对多的关系，也不单单用在找牌上。

5. 从最后找牌公式划分：循环序列递推关系、索引关系（2索引确定距离张数，选牌之间的索引关系）、索引与值的关系、子串集合特征、子序列的排列特征等等；但这只能反映结果性质，反映不了形成过程的数学性质。

这里因为限定了效果的类型，所以纯按数学性质分并不全，使用到性质的效果也超出很多，和魔术之间有交叉；而最后的公式则并不能完全反映内部经历的数学过程；性质转化是原性质本身的附加的数学性质内容，和数学性质部分有所重合。因此，最后还是按照关键性质获取的时间划分，基本可以兼顾魔术结构下的数学性质和转化的问题，找牌公式中的特性也基本不遗漏了。

接下来，我们一个一个类型看，从获取找牌关键性质的时机划分来看，分别有着怎样的数学性质和转化特色，以及最终是如何反映在找牌公式上的。

下期见！

我们是谁：

MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！