C++之二叉搜索树

禁默

发布于 2025-12-20 18:45:56

600

前言

在数据结构中，我们对二叉树这个数据结构有了基本的了解，并对其的部分操作进行学习和实现，在那部分，我们对递归也进行了充分的利用。 本节我们将学习一种新的二叉树结构，叫做二叉搜索树，就如其名字一样，它的功能在于查找搜索。下面我们将进行系统的学习。

1.二叉搜索树的概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:

若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值

若它的右字树不为空，则右子树上所有结点的值都大于等于根结点的值

它的左右子树也分别为二叉搜索树

二叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义，map/set/multimap/multiset系列容器底层就是二叉搜索树，其中map/set不支持插入相等

值，multimap/multiset支持插入相等值。

2.二叉搜索树的性能分析

最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其高度为： O(log2 N)

最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其高度为： O(N/2 )

综合而言二叉搜索树增删查改时间复杂度为： O(N)

显然这样的效率显然是无法满足需求的，后续二叉搜索树的变形，平衡二叉搜索树AVL树和红黑树，才能适用于在内存中存储和搜索数据。

二分查找也可以实现 O( logN) 级别的查找效率，但是二分查找有两大缺陷：

1. 需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且有序。

2. 插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插入和删除数据一般需要挪动数据。

接下来，我们将对二叉树的基本操作进行实现。

首先，我们创建一个节点类，然后再创建树。

template <class K>
struct Node {
	K _key;
	Node<K>* _left;
	Node<K>* _right;
	Node(const K& key)
		:key(Key), _left(nullptr), _right(nullptr)
	{}
};
template<class K>
class BSTree {
	//typedef Node<K> Node;
	using Node = Node<k>;//C++11
public:
	
private:
	Node *_root=nullptr;
};

3.二叉树搜素树的插入

插入的具体过程如下：

1. 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针

2. 树不空，按二叉搜索树性质，插入值比当前结点大往右走，插入值比当前结点小往左走，找到空位置，插入新结点。

3. 如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插入新结点。（ 要注意的是要保持逻辑一致性，插⼊相等的值不要一会往右走，一会往左走）

下面代码是不支持插入相同值的，若要插入相同值，改下逻辑即可。

bool Insert(const K& key) {
	if (_root == nullptr) {
		_root = new Node(key);
		return true;
	}
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur) {
		if (cur->_key < key) {
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_key > key) {
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
			return false;
	}
	cur = new Node(key);
	if (parent->_key < key)
		parent->_right = cur;
	else
		parent->_left = cur;
	return true;
}

while (cur) {
	parent = cur;
	if (key < cur->_key) {
		cur = cur->_left;
	}
	else { // 如果键值相同或更大，则向右移动
		cur = cur->_right;
	}
}

首先我们要找到插入节点的父亲的位置，这时候再根据大小插入到左右节点。

4.二叉搜索树的查找

从根开始比较，查找x，x比根的值大则往右边走查找，x比根值小则往左边走查找。最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。

如果不支持插入相等的值，找到x即可返回

如果支持插入相等的值，意味着有多个x存在，一般要求查找中序的第一个x。如下图，查找3，要找到1的右孩子的那个3返回

bool Find(const K& key) {
	if (_root == nullptr)
		return false;
	Node* cur = _root;
	while (cur) {
		if (cur->_key > key)
			cur = cur->_left;
		else if (cur->_key < key)
			cur = cur->_right;
		else
			return true;
	}
	return false;
}
Node* findX(int key) {
	Node* cur = _root;
	Node* firstX = nullptr;

	while (cur) {
		if (key<cur->_key) {
			
			cur = cur->_left;
		}
		else if (key > cur->_key) {
			
			cur = cur->_right;
		}
		else {
			// 找到了一个值为x的节点
			firstX = cur; // 先记录下这个节点
			cur = cur->_left; //cur->_right;
		}
	}

	// 返回第一个出现的值为x的节点
	return firstX;
}

5.二叉搜索树的删除

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回false。

如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）

1. 要删除结点N左右孩子均为空

2. 要删除的结点N左孩子位空，右孩子结点不为空

3. 要删除的结点N右孩子位空，左孩子结点不为空

4. 要删除的结点N左右孩子结点均不为空

对应以上四种情况的解决方案：

1. 把N结点的父亲对应孩子指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样的）

2. 把N结点的父亲对应孩子指针指向N的右孩子，直接删除N结点。

3. 把N结点的父亲对应孩子指针指向N的左孩子，直接删除N结点。

4. 无法直接删除N结点，因为N的两个孩子无处安放，只能用替换法删除。找N左子树的值最大结点 R(最右结点)或者N右子树的值最小结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意一个，放到N的位置，都满足二叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转而变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。

bool Erase(const K& key) {
    Node* cur = _root;
    Node* parent = nullptr;

    while (cur) {
        if (cur->_key < key) {
            parent = cur;
            cur = cur->_right;
        } else if (cur->_key > key) {
            parent = cur;
            cur = cur->_left;
        } else {
            // 找到要删除的节点，进行删除操作
            if (cur->_left == nullptr) {
                if (cur == _root) {
                    _root = cur->_right; // 更新根节点
                } else {
                    if (parent->_left == cur) {
                        parent->_left = cur->_right;
                    } else {
                        parent->_right = cur->_right;
                    }
                }
                delete cur;
                return true;
            } else if (cur->_right == nullptr) {
                if (cur == _root) {
                    _root = cur->_left; // 更新根节点
                } else {
                    if (parent->_left == cur) {
                        parent->_left = cur->_left;
                    } else {
                        parent->_right = cur->_left;
                    }
                }
                delete cur;
                return true;
            } else {
                // 节点左右孩子均不为空，找到右子树中的最小节点
                Node* replaceParent = cur;
                Node* replace = cur->_right;
                while (replace->_left) {
                    replaceParent = replace;
                    replace = replace->_left;
                }
                cur->_key = replace->_key; // 用右子树中最小节点的值替换当前节点的值
                if (replaceParent->_left == replace) {
                    replaceParent->_left = replace->_right;
                } else {
                    replaceParent->_right = replace->_right;
                }
                delete replace; // 删除替换节点
                return true;
            }
        }
    }
    return false; // 没有找到要删除的节点
}

在代码中我们还考虑了删除的节点就为根节点的情况，而且只有一个分支，就直接更新节点指向。

6.完整代码

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <iostream>
using namespace std;
template <class K>
struct Node {
	K _key;
	Node<K>* _left;
	Node<K>* _right;
	Node(const K& key)
		:_key(key), _left(nullptr), _right(nullptr)
	{}
};
template<class K>
class BSTree {
	//typedef Node<K> Node;
	using Node = Node<K>;
public:
	
	bool Insert(const K& key) {
		if (_root == nullptr) {
			_root = new Node(key);
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur) {
			if (cur->_key < key) {
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key) {
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
				return false;
		}
		cur = new Node(key);
		if (parent->_key < key)
			parent->_right = cur;
		else
			parent->_left = cur;
		return true;
	}
	bool Find(const K& key) {
		if (_root == nullptr)
			return false;
		Node* cur = _root;
		while (cur) {
			if (cur->_key > key)
				cur = cur->_left;
			else if (cur->_key < key)
				cur = cur->_right;
			else
				return true;
		}
		return false;
	}
	bool Erase(const K& key) {
		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;
		while (cur) {
			if (cur->_key < key) {
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key) {
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
				//进行删除操作
			{   //节点左孩子为空
				if (cur->_left == nullptr) {
					if (cur == _root)
						_root = cur->_right;

					else {
						if (parent->_left == cur)
							parent->_left = cur->_right;
						else
							parent->_right = cur->_right;
					}
					delete cur;
					return true;
				}
				//节点右孩子为空
				else if (cur->_right ==nullptr) {
					if (cur == _root)
						_root = cur->_left;
					else {
						if (parent->_left == cur)
							parent->_left = cur->_left;
						else
							parent->_right = cur->_left;
					}
					delete cur;
					return true;
				}
				//节点左右孩子均不为空
				else {
					//我们采用右子树最小(最左)
					Node* replaceParent = cur;
					Node* replace = cur->_right;
					while (replace->_left) {
						replaceParent = replace;
						replace = replace->_left;
					}
					cur->_key = replace->_key;
					if (replaceParent->_left == replace)
						replaceParent->_left = replace->_right;
					else
						replaceParent->_right = replace->_right;

					delete replace;
					return true;
				}			
			}	
		}
		return false;
	}
	//Node* findX(int key) {
	//	Node* cur = _root;
	//	Node* firstX = nullptr;

	//	while (cur) {
	//		if (key<cur->_key) {
	//			
	//			cur = cur->_left;
	//		}
	//		else if (key > cur->_key) {
	//			
	//			cur = cur->_right;
	//		}
	//		else {
	//			// 找到了一个值为x的节点
	//			firstX = cur; // 先记录下这个节点
	//			cur = cur->_left; //cur->_right;
	//		}
	//	}

	//	// 返回第一个出现的值为x的节点
	//	return firstX;
	//}
	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	} 
private:
	void _InOrder(Node* root) {
		if (root == nullptr)
			return;
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_key << " ";
		_InOrder(root->_right);

	}
private:
	Node *_root=nullptr;
};


int main() {
	BSTree<int>t;
	int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };
	for (auto e : a)
		t.Insert(e);
	t.InOrder();
	t.Insert(16);
	//t.Insert(3);
	t.InOrder();
	if (t.Find(5)){
		cout << "找到了" << endl;
}
	t.Erase(3);
	t.InOrder();
	t.Erase(8);
	t.InOrder();
	for (auto e : a) {
		t.Erase(e);
		t.InOrder();
	}
	return 0;
}